1、第三章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式第三节 三角函数的图象与性质第四节函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用第五节两角和与差的正弦、余弦、正切公式第六节正弦定理和余弦定理第七节解三角形应用举例专家讲坛,备考方向要明了,考 什 么,怎 么 考,1.了解任意角的概念2.了解弧度制的概念，能进 行弧度与角度的互化3.理解任意角三角函数(正 弦、余弦、正切)的定义,1.三角函数的定义与三 角恒等变换等相结 合，考查三角函数求 值问 题，如2008年 高考T15等.,归纳 知识整合,1角的有关概念,正角,负角,零角,象限角,k
2、360(kZ),探究1.终边相同的角相等吗？它们的大小有什么关系？提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360的整数倍，相等的角终边一定相同,2弧度的概念与公式,半径,|r,在半径为r的圆中,探究2.锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90的角是锐角吗？提示：锐角是大于0且小于90的角，第一象限角不一定是锐角，如390，300都是第一象限角小于90的角不一定是锐角，如0，30都不是锐角,3任意角的三角函数,y,x,正,正,正,负,正,负,负,负,正,负,正,负,MP,OM,AT,探究3.三角函数线的长度及方向各有什么意义？提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的
3、正负,自测 牛刀小试,答案：|k36045(kZ),2(教材习题改编)若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定落在第_象限解析：由sin 0，可知的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合由tan 0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，可知的终边只能位于第四象限答案：四,3已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆 心角的弧度数是_,答案：1或4,象限角及终边相同的角,答案：(1)1(2)二,三角函数的定义,2已知角的终边在直线3x4y0上，求sin，cos，tan 的值,弧度制下扇形弧长与面积公式的应用,创新交汇三角函数的定义与向量的交汇问题 三角函数
4、的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，但难度不大,典例(2012山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_,答案(2sin 2,1cos 2),答案：,备考方向要明了,1.利用诱导公式及同角三角函 数基本关系式解决条件求值 问题，主要包括知角求值、知值求角和知值求值2.作为一种运用与三角恒等变 换相结合出现在解答题中，主要起到化简三角函数关系 式的作用，如2012年
5、高考 T15,2011年高考T15.,考 什 么,怎 么 考,归纳 知识整合,sin2cos2,探究1.如何理解基本关系中“同角”的含义？,2诱导公式,sin sin sin sin cos cos,cos cos cos cos sin sin,tan tan tan tan,锐角,探究2.有人说sin(k)sin()sin(kZ)，你认为正确吗？提示：不正确当k2n(nZ)时，sin(k)sin(2n)sin()sin；当k2n1(nZ)时，sin(k)sin(2n1)sin(2n)sin()sin.,3诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与的大小有关？,自测 牛刀小试
6、,同角三角函数关系式的应用,1已知sin 2sin，tan 3tan，求cos.解：sin 2sin，tan 3 tan，sin24sin2，tan29tan2.由得，9cos24cos2.由得，sin29cos24.又sin2cos21，,诱导公式的应用,诱导公式在三角形中的应用,(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐 特别注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.,1解答本题时，常会出现以下两种失误(1)忽视题目中已知条件的范围，
7、求得sin 的两个值而致误；(2)只注意到的范围，但判断错sin 的符号而导致tan 的值错误2由同角三角函数的平方关系求sin 或cos 时，要注意以下两点(1)题目中若没有限定角的范围，则sin 或cos 的符号应有两种情况，不可漏掉(2)若已给出的范围，则要准确判断在给定范围内sin 或cos 的符号，不合题意的一定要舍去,3求值：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)tan 945.,4若sin，cos 是关于x的方程5x2xa0(a是常数)的两根，(0，)，求cos 2的值,备考方向要明了,考 什 么,怎 么 考,1.能画出ysin x，yco
8、s x，y tan x的图象，了解三角函数的周 期性,1.填空题的形式考查三 角函数的单调性、周 期性、对称性以及最 值，如2010年高考 T10,2008年高考T1.2.常与三角恒等变换相 结合出现在解答题中.,归纳 知识整合,正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,R,1,1,R,2k，2k,(kZ),2k，2k(kZ),R,1,1,2k(kZ),2k(kZ),奇函数,偶函数,奇函数,(k，0)，kZ,xk，kZ,2,探究1.正切函数ytan x在定义域内是增函数吗？,2当函数yAsin(x)分别为奇函数和偶函数时，的取值是什么？对于函数yAcos(x)呢？,自测 牛刀小试,答案：偶,答
9、案：4,三角函数的定义域和值域,三角函数的单调性,1正弦、余弦函数单调区间的求法 求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中A0，0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答列不等式的原则是：(1)把“x(0)”视为一个“整体”；(2)A0(A0)时，所列不等式的方向与ysin x(xR)，ycos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反),三角函数的周期性、奇偶性与对称性,本例(1)中函数f(x)的对称中心是什么？,函数f(x)Asin(x)为奇函数、周期性及对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值 若f(x)Asin(x)为奇函数，
10、则当x0时，f(x)0.(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断,(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题(1)三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象,(2)闭区间上最值或值域问题，首先要在定
11、义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响(3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x系数的正负(4)利用换元法求三角函数最值时要注意三角函数的有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，则y(t2)211，解法错误.,创新交汇与三角函数性质有关的交汇问题 1高考对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、数列、函数与导数等考查三角函数的相关性质；解答题主要与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题 2解决此类交汇问题的关键有以下两点：(1)熟记三角函数的性质，主要为定义域、值域、单调性、奇偶性、
12、周期性、对称性等及有关结论(2)要善于利用函数图象的形象性和直观性分析解决问题,答案86,答案：2,备考方向要明了,考 什 么,1.了解函数yAsin(x)的 物理意义；能画出y Asin(x)的图象，了解参 数A，对函数图象变化 的影响2.了解三角函数是描述周期变 化现象的重要函数模型，会 用三角函数解决一些简单实 际问题.,1.以填空题的形式考查三角函 数的图象变换及由图象确定 解析式等问题，如2009年高 考T3,2011年高考T9.2.与三角恒等变换相结合考查y Asin(x)的性质及简 单应用且常以解答题的形式 出现.,怎 么 考,归纳 知识整合1yAsin(x)的有关概念,x,2用
13、五点法画yAsin(x)一个周期内的简图 用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：,0,0,2,3函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)的图象的步骤法一法二,探究2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？,自测 牛刀小试,5函数yAsin(x)(A、为常数，A0，0)在闭区间，0 上的图象如图所示，则_.,函数yAsin(x)的图象及变换,若将本例(3)中“ysin x”改为“y2cos 2x”，则如何变换？,求函数yAsin(x)的解析式,图(1)图(2),2函数f(x)Asin(x)(A，
14、为常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为_.,函数yAsin(x)的图象与性质的综合应用,答题模板由三角函数图象确定解析式,准确规范答题,答题模板速成,答案：1,(2)列出下表,描点画出图象如图,(1)求其解析式；(2)若将yAsin(x)的图象向左平 移个单位后得yf(x)的图象，求f(x)的对称轴方程,备考方向要明了,考 什 么,怎 么 考,1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦 公式2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差 的正弦、正切公式3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和 的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍 角的正弦、余弦、正切公式，了解它们 的内在联系.,1.主要
15、考查利用两 角和与差的正弦、余弦、正切公式 及二倍角公式进 行化简、求值，如2012年高考 T11,2011年高考 T7.2.考查形式有解答 题和填空题.,归纳 知识整合,sin cos cos sin,cos cos sin sin,探究1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？,2sin cos,cos2sin2,2cos21,12sin2,探究2.二倍角余弦公式的常用变形是什么？它有何重要应用？,自测 牛刀小试,答案：1,答案：3,三角函数式的化简,三角函数的求值问题,三角函数的求角问题,若将“A，B均为钝角”改为“A，B均为锐角”，如何求解？,(1)变角：目
16、的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等,变式训练,备考方向要明了,考 什 么,怎 么 考,掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.,1.以填空题的形式考查正、余弦定 理在求三角形边或角中的应用，如2010年高考T13.2.与平面向量、三角恒等变换等相 结合出现在解答题中，如2011年 高考T15,201
17、2年高考T15等.,归纳 知识整合1正弦定理和余弦定理,a2c22accos B,a2b22abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin Asin Bsin C,探究1.在三角形ABC中，“AB”是“sin Asin B”的什么条件？“AB”是“cos Acos B”的什么条件？提示：“AB”是“sin Asin B”的充要条件，“AB”是“cos Acos B”的充要条件,2在ABC中，已知a、b和A时，解的情况,一解 两解 一解 一解 无解,探究2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A为例)提示：cos A与b2c2a2同号，当b2c2a20时，角A为锐角，若可判定其他两角
18、也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2c2a20时，角A为直角，三角形为直角三角形；当b2c2a20时，角A为钝角，三角形为钝角三角形,自测 牛刀小试,答案：2,5在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b2asin B，则角A的大小为_,答案：30或150,利用正、余弦定理解三角形,例1(2012浙江高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值,正余弦定理的选用原则 解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷在解题时，还要根据所给的条件，
19、利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化,利用正、余弦定理判断三角形的形状,例2在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状自主解答(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.法一：由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin
20、2Asin 2B.,1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.,与三角形面积有关的问题,例3(2012山东高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan Atan C)t
21、an Atan C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a1，c2，求ABC的面积S.,答题模板利用正、余弦定理解三角形,快速规范审题,准确规范答题,答题模板速成,解决解三角形问题一般可用以下几步解答：,备考方向要明了,考 什 么,能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题.,怎 么 考,考查正、余弦定理在解决与角度、方向、距离及测量等问题有关的实际问题中的应用，如2010年高考T17.,归纳 知识整合1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等,2实际应用中的常用术语,术语名称,仰角与俯角,方
22、位角,术语意义,在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角,从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角方位角的范围是(0，360),图形表示,术语名称,术语意义,图形表示,方向角,正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度,例：(1)北偏东m：,(2)南偏西n：,术语名称,术语意义,图形表示,坡角,坡度,坡面与水平面的夹角,坡面的垂直高度h和水平宽度l的比,探究1.仰角、俯角、方位角有什么区别？提示：三者的参照不同仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的2如何用方位
23、角、方向角确定一点的位置？提示：利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置,自测 牛刀小试1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则与的关系为_.解析：根据仰角和俯角的定义可知.,答案：,2.(2012苏州模拟)如图，测量河对岸的 塔高AB时，选与塔底B在同一水平面 内的两个测点C与D，测得BCD30，BDC120，CD10 m，并在点C测得塔顶A的仰角 为60，则塔高AB_m.,答案：30,3.如图所示，B，C，D三点在地面同一直 线上，DCa，从C，D两点测得A点的 仰角分别为和()，则可以求出 A点距地面的高AB_.,4(教材习题改编)海上有A，B，C三个小岛，测
24、得A，B两岛相距10海里，BAC60，ABC75，则B，C间的距离是_海里,5(教材习题改编)如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35 m，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91 m，从A观测电视发射塔CD的视角(CAD)为45，则这座电视发射塔的高度CD为_m.,答案：169,测量距离问题,若将本例中A、B两点放到河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，求A、B两点间的距离,1如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB75
25、，CBA45，且AB100 m求该河段的宽度,测量高度问题,处理高度问题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合,2如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60，在山顶C测得塔顶A的俯角为45，已知塔高AB20 m，求山高CD.,测量角度问题,2如图，位
26、于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值,(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解,(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样
27、可以优化解题过程(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量.,创新交汇数形结合思想在解三角形中的应用 三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函数等知识为核心，以测量、航海、筑路、天文等为代表的实际应用题求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解,(1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由,(1)对于第(1)问，知道两边夹一角，由余弦定
28、理求得BC的长，然后除以行驶时间即可求得速度；对于第(2)问，延长BC交直线AE于点Q，然后在ABQ中，由正弦定理求得AQ的长、判断点Q的位置，最后在QPE中结合已知条件即可作出判断(2)解此类问题，首先根据题意合理画出示意图是解题关键；将条件归纳到某一三角形中是基本的策略；合理运用正、余弦定理并注意与平面几何相关知识结合有助于问题的解决,变式训练,某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1
29、)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由,1为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤,解：需要测量的数据有：A点到M，N的俯角1，1；B点到M，N的俯角2，2；A，B间的距离d(如图所示),数学思想在三角函数中
30、的应用及三角函数的求参问题,一、数学思想在三角函数中的应用 1数形结合思想 数形结合思想可以使抽象的、复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，在学习三角函数的过程中，应把三角函数的性质融于函数的图形之中，充分利用三角函数的图象来解决问题,2化归与转化思想 化归与转化思想指研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，一般有以下几种方法：(1)未知化为已知，(2)特殊化为一般，(3)一般化为特殊，(4)等价转化,点评化归与转化思想体现在三角函数中，主要是利用切割化弦、统一角、统一函数名、换元等手段处理求值(域)、最值、比较大小等问题本题的关键是要化简已
31、知条件，用两角和与差的正、余弦公式化简条件，得到sin 2sin，再代入所求式子,(1)求函数的解析式；(2)设0 x，且方程f(x)m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和,3函数与方程思想,点评本题将方程的根的问题转化成两个函数图象交点的个数问题，把代数问题转化成几何问题求解从函数图象上可以清楚地看出当2m1或1m2时，直线ym与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，这也体现了函数与方程思想的具体应用 4分类讨论思想 分类讨论的原则是分类的标准要统一，分类要做到不重复不遗漏，能不分类的尽量不分类，绝不无原则的分类，分类的步骤有四步：(1)明确讨论的对象；(2)确
32、定分类标准；(3)逐步进行讨论；(4)归纳小结，总结出结论,点评本题是一种典型的三角函数求最值的题型，通过换元将三角问题转化成我们熟知的二次函数求最值问题，然后根据对称轴与自变量的位置关系进行分类讨论5整体思想,点评整体思想在三角函数中主要体现在利用整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数的性质等，本题第(2)问求解的关键是整体运用已知角()和角来表示角，即()，这样可以直接利用已知条件求解 数学思想较多，除了以上几种外，还有类比等数学思想，只要大家认真思考，灵活运用，数学思想一定能给你的学习带来事半功倍的效果,答案D,答案2,答案7,4根据三角函数的最值求解参数,
