1、解析几何高考试题汇编解析几何高考试题汇编课标理数15.H12011安徽卷 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号)存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点；直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；存在恰经过一个整点的直线课标理数15.H12011安徽卷 【解析】 正确，比如直线yx，不与坐标轴平行，且当x取整数时，y始终是一个无理数，即不经过任何整点；错，直线yx中k与b都是无理数，但直线
2、经过整点(1，0)；正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；错误，当k0，b时，直线y不通过任何整点；正确，比如直线yx只经过一个整点(1，0)课标文数17.H2，H52011安徽卷 设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上课标文数17.H2，H52011安徽卷 本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识考查推理论证能力和运算求解能力【解答】 (1)反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1k2，代入k1k220，
3、得k20.此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(2)(方法一)由方程组解得交点P的坐标(x，y)为而2x2y2221.此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2y21上(方法二)交点P的坐标(x，y)满足故知x0，从而代入k1k220，得20.整理后，得2x2y21，所以交点P在椭圆2x2y21上课标文数8.B5，H22011北京卷 已知点A(0，2)，B(2，0)若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A4 B3 C2 D1课标文数8.B5，H22011北京卷 A【解析】 由已知可得|AB|2，要使SABC2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x
4、，x2)，而lAB：xy20，所以有，所以x2x22，当x2x22时，有两个不同的C点；当x2x22时，亦有两个不同的C点因此满足条件的C点有4个，故应选A.课标文数14.H4，H22011湖北卷 过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，则直线l的斜率为_课标文数14.H4，H22011湖北卷 1或【解析】 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k，则直线l的方程为y2k.又圆的方程为1，圆心为，半径为1，所以圆心到直线的距离d，解得k1或.课标理数20.H2，H92011课标全国卷 【解答】 (1)设M(x，y)，由已知得B(x，3)，A(0，1)所以(x，1y)，(
5、0，3y)，(x，2)再由题意可知()0，即(x，42y)(x，2)0，所以曲线C的方程为yx22.(2)设P(x0，y0)为曲线C：yx22上一点，因为yx，所以l的斜率为x0.因此直线l的方程为yy0x0(xx0)，即x0x2y2y0x0.则O点到l的距离d，又y0x2，所以d2，当x00时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.课标文数12.H22011浙江卷 若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m_.课标文数12.H22011浙江卷 1【解析】 直线x2y50与直线2xmy60，122m0，即m1.大纲文数11.H32011全国卷 设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点
6、(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|()A4 B4 C8 D8大纲文数11.H32011全国卷 C【解析】 由题意知两圆的圆心在直线yx上，设C1(a，a)，C2(b，b)，可得(a4)2(a1)2a2，(b4)2(b1)2b2，即a，b是方程x210x170的两根，ab10，ab17，|C1C2|8，故选C.课标理数17.H7，H3，H42011福建卷 已知直线l：yxm，mR.(1)若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：x24y是否相切？说明理由课标理数17.H7，H3，H42011福建卷
7、【解答】 解法一：图16(1)依题意，点P的坐标为(0，m)因为MPl，所以11，解得m2，即点P的坐标为(0，2)从而圆的半径r|MP|2，故所求圆的方程为(x2)2y28.(2)因为直线l的方程为yxm，所以直线l的方程为yxm.由得x24x4m0.4244m16(1m)当m1，即0时，直线l与抛物线C相切；当m1，即0时，直线l与抛物线C不相切综上，当m1时，直线l与抛物线C相切；当m1时，直线l与抛物线C不相切解法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x2)2y2r2.依题意，所求圆与直线l：xym0相切于点P(0，m)，则解得所以所求圆的方程为(x2)2y28.(2)同解法
8、一图14课标文数18.H3，H4，H72011福建卷 如图14，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程课标文数18.H3，H4，H72011福建卷 【解答】 (1)由得x24x4b0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0.解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)即为x24x40.解得x2，代入x24y，得y1，故点A(2，1)因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2.所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.图12课标理数14.H
9、32011湖北卷 如图12，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy(其中y轴与y轴重合)所在的平面为，xOx45.(1)已知平面内有一点P(2，2)，则点P在平面内的射影P的坐标为_；(2)已知平面内的曲线C的方程是(x)22y220，则曲线C在平面内的射影C的方程是_课标理数14.H32011湖北卷 y21【解析】 (1)过点P作PP，垂足为P，过P作PMy轴于M，连接PM，则PMP45.又MP2，所以MP2cos452.所以点P.(2)设曲线C上任意一点为，则该点在平面内的射影为，故有 即 代入2y220中，得y210，即y21.课标文数13.H32011辽宁卷 已知圆C经过A(5
10、，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为_课标文数13.H32011辽宁卷 (x2)2y210【解析】 设圆心坐标为(x，0)，则有，解得x2.由两点距离得r，所以圆的方程为(x2)2y210.课标文数20.H3，H42011课标全国卷 在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线xya0交于A、B两点，且OAOB，求a的值课标文数20.H3，H42011课标全国卷 【解答】 (1)曲线yx26x1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，
11、解得t1.则圆C的半径为3.所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y，得到方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判别式5616a4a20.从而x1x24a，x1x2.由于OAOB，可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20.由，得a1，满足0，故a1.大纲文数3.H32011四川卷 圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2，3) B(2，3)C(2，3) D(2，3)大纲文数3.H32011四川卷 D【解析】 圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，
12、选D.大纲理数8.H32011重庆卷 在圆x2y22x6y0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A5 B10C15 D20大纲理数8.H32011重庆卷 B【解析】 将圆方程配方得(x1)2(y3)210.图12设圆心为G，易知G(1，3)最长弦AC为过E的直径，则|AC|2.最短弦BD为与GE垂直的弦，如图12所示易知|BG|，|EG|，|BD|2|BE|22.所以四边形ABCD的面积为S|AC|BD|10.故选B.课标文数4.H42011安徽卷 若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为()A1 B1C3 D3课标文数4.H420
13、11安徽卷 B【解析】 圆的方程可化为(x1)2(y2)25，因为直线经过圆的圆心(1，2)，所以3(1)2a0，得a1.课标理数17.H7，H3，H42011福建卷 已知直线l：yxm，mR.(1)若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：x24y是否相切？说明理由课标理数17.H7，H3，H42011福建卷 【解答】 解法一：图16(1)依题意，点P的坐标为(0，m)因为MPl，所以11，解得m2，即点P的坐标为(0，2)从而圆的半径r|MP|2，故所求圆的方程为(x2)2y28.(2)因为直线l
14、的方程为yxm，所以直线l的方程为yxm.由得x24x4m0.4244m16(1m)当m1，即0时，直线l与抛物线C相切；当m1，即0时，直线l与抛物线C不相切综上，当m1时，直线l与抛物线C相切；当m1时，直线l与抛物线C不相切解法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x2)2y2r2.依题意，所求圆与直线l：xym0相切于点P(0，m)，则解得所以所求圆的方程为(x2)2y28.(2)同解法一图14课标文数18.H3，H4，H72011福建卷 如图14，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程课标文数
15、18.H3，H4，H72011福建卷 【解答】 (1)由得x24x4b0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0.解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)即为x24x40.解得x2，代入x24y，得y1，故点A(2，1)因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2.所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.课标文数8.H42011广东卷 设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆课标文数8.H42011广东卷 A【解析】 设圆心C的坐标C(x，y)，由题意知y0
16、，则圆C的半径为y，由于圆C与已知圆相外切，则由两圆心距等于半径之和，得1y，整理得：x28(y1)，所以轨迹为抛物线课标文数14.H4，H22011湖北卷 过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，则直线l的斜率为_课标文数14.H4，H22011湖北卷 1或【解析】 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k，则直线l的方程为y2k.又圆的方程为1，圆心为，半径为1，所以圆心到直线的距离d，解得k1或.课标文数15.H4，K32011湖南卷 已知圆C：x2y212，直线l：4x3y25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为_；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率
17、为_课标文数15.H4，K32011湖南卷 (1)5(2)【解析】 (1)圆心到直线的距离为：d5; 图14(2)当圆C上的点到直线l的距离是2时有两个点为点B与点D，设过这两点的直线方程为4x3yc0，同时可得到的圆心到直线4x3yc0的距离为OC3，又圆的半径为r2，可得BOD60，由图12可知点A在弧BD上移动，弧长lBDc，圆周长c，故P(A).课标文数20.H3，H42011课标全国卷 在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线xya0交于A、B两点，且OAOB，求a的值课标文数20.H3，H42011课标全国卷 【解答】
18、 (1)曲线yx26x1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3.所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y，得到方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判别式5616a4a20.从而x1x24a，x1x2.由于OAOB，可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20.由，得a1，满足0，故a1.大纲文数13.H42011重庆卷 过原点的直线与圆x2y22x4y40相交所得的
19、弦长为2，则该直线的方程为_大纲文数13.H42011重庆卷 2xy0【解析】 将圆x2y22x4y40配方得(x1)2(y2)21，该圆半径为1，圆心M(1，2)直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径，该直线的方程的斜率k2，该直线的方程为y2x，即2xy0.课标文数17.H2，H52011安徽卷 设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上课标文数17.H2，H52011安徽卷 本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识考查推理论
20、证能力和运算求解能力【解答】 (1)反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1k2，代入k1k220，得k20.此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(2)(方法一)由方程组解得交点P的坐标(x，y)为而2x2y2221.此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2y21上(方法二)交点P的坐标(x，y)满足故知x0，从而代入k1k220，得20.整理后，得2x2y21，所以交点P在椭圆2x2y21上课标理数7.H5，H62011福建卷 设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于()A.或 B.或2C
21、.或2 D.或课标理数7.H5，H62011福建卷 A【解析】 设|F1F2|2c(c0)，由已知|PF1|F1F2|PF2|432，得|PF1|c，|PF2|c，且|PF1|PF2|，若圆锥曲线为椭圆，则2a|PF1|PF2|4c，离心率e；若圆锥曲线为双曲线，则2a|PF1|PF2|c，离心率e，故选A.课标文数11.H5，H62011福建卷 设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或课标文数11.H5，H62011福建卷 A【解析】 设|F1F2|2c(c0)，由已知|PF1|F1F
22、2|PF2|432，得|PF1|c，|PF2|c，且|PF1|PF2|，若圆锥曲线为椭圆，则2a|PF1|PF2|4c，离心率e；若圆锥曲线为双曲线，则2a|PF1|PF2|c，离心率e，故选A.课标理数21.H5，H7，H82011湖南卷 如图19，椭圆C1：1(ab0)的离心率为，x轴被曲线C2：yx2b截得的线段长等于C1的长半轴长(1)求C1，C2的方程；(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.证明：MDME；记MAB，MDE的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得？请说明理由图110课标理数21.H5，H
23、7，H82011湖南卷 【解答】 (1)由题意知，e，从而a2b.又2a，解得a2，b1.故C1，C2的方程分别为y21，yx21.(2)由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为ykx.由得x2kx10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1x2k，x1x21.又点M的坐标为(0，1)，所以kMAkMB1.故MAMB，即MDME.设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为yk1x1，由解得或则点A的坐标为(k1，k1)又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标为.于是S1|MA|MB|k1|.由得(14k)x28k1x0.解得或则点D的坐标为.
24、又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为.于是S2|MD|ME|.因此.由题意知，解得k4，或k.又由点A，B的坐标可知，kk1，所以k.故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为yx和yx.课标理数14.H52011江西卷 若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_课标理数14.H52011江西卷 【答案】 1【解析】 由题可知过点与圆x2y21的圆心的直线方程为yx，由垂径定理可得kAB2.显然过点的一条切线为直线x1，此时切点记为A(1，0)，即为椭圆的右焦点，故c1.由点斜式可得，直线AB的方程为y2(x
25、1)，即AB：2xy20.令x0得上顶点为(0，2)，b2，a2b2c25，故得所求椭圆方程为1.课标理数14.H52011课标全国卷 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_课标理数14.H52011课标全国卷 1【解析】 设椭圆方程为1(ab0)因为离心率为，所以，解得，即a22b2.图17又ABF2的周长为()()2a2a4a，所以4a16，a4，所以b2，所以椭圆方程为1.课标文数4.H52011课标全国卷 椭圆1的离心率为()A. B. C. D.课标文数4.H52011课
26、标全国卷 D【解析】 由题意a4，c28，c2，所以离心率为e.课标理数17.H5，H82011陕西卷 图18如图18，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度课标理数17.H5，H82011陕西卷 【解答】 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得P在圆上，x225，即C的方程为1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.x1，x2.线段AB的长度为|AB|.课标文数17.H52011陕西卷 设椭圆C：1(ab0)过点(0，4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标课标文数17.H52011陕西卷 【解答】 (1)将(0，4)代入椭圆C的方程得1，b4.又e得，即1，a5，
