1、正弦定理和余弦定理知识点总结附答案高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形A 1 个B2个C 0 个D无法确定(2) 在 ABC中，已知 次是 sin Asin B 21，c2 b2 2bc，则三内角 A，B，C的度数依)例 1、 (1) 在 ABC中，已知 a2， b 6， A45，则满足条件的三角形有 (1(3)(2015 广东 )设 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.若a 3，sin B2，C6 ，则b .答案(1)B (2)45 ， 30， 105 (3)1解析(1) bsin A 6 22 3 ， bsin Aa2 B x2C2x 2 2 D 2xb， x 2，a
2、x 2又由 sin A sin B 1，b 2 2可得 x 2 2，x 的取值范围是 2x 2 2.(2) A60， AC2， BC 3，设 AB x，由余弦定理，得BCAC AB 2AC ABcos A，化简得 x 2x 1 0，x 1，即 AB 1.高频考点二 和三角形面积有关的问题所以 cos2 B sin 2C. 3又由 A 4 ，即 BC4，得3cos2 B cos2 C4 cos 2 2Csin2 C 2sin Ccos C，由解得 tan C 2.【感悟提升】111(1) 对于面积公式 S2absin C2acsin B 2bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个 公式(2
3、) 与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化【变式探究】四边形 ABCD的内角 A与 C互补， AB1，BC3，CDDA 2.(1) 求 C 和 BD；(2) 求四边形 ABCD的面积解 (1) 由题设 A 与 C互补及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosC1312cosC，BDAB DA 2AB DAcos A 5 4cos C由得 cos C 2， BD 7，因为 C 为三角形内角，故 C60(2) 四边形 ABCD的面积11S 2AB DAsin A 2BC CDsin C11 2 1 2 232 sin60 2 3.高频考点三 正弦、余弦定理的简单应用c例
4、 3、(1) 在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 cosA，则 ABC为( )bA钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形2B a c(2)在 ABC中，cos ( a，b，c分别为角 A，B，C的对边) ，则 ABC的形状为 ( )2 2cA等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案 (1)A (2)B【举一反三】 (2015课标全国 )如图，在 ABC中， D是BC上的点， AD平分 BAC，ABD面积是 ADC面积的 2 倍sin B(1) 求 ；sin C解 (1) SABD 2AB ADsin BAD，1SADC 2AC AD
5、sin CAD.因为 SABD 2S ADC， BAD CAD，所以 AB 2AC.sin B AC 1 由正弦定理可得 sin C AB2.(2) 因为 S ABD SADCBD DC，所以 BD 2.在 ABD和 ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，ACAD DC 2AD DCcos ADC.故 AB2 2AC2 3AD2 BD2 2DC26，由(1) 知 AB 2AC，所以 AC 1.【感悟提升】 (1) 判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注
6、意应用 A BC 这个结论(2) 求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理【变式探究】 (1) 在 ABC中，内角 A，B，C所对的边长分别是 a，b，c，若 c acos B(2 a b)cos A，则 ABC的形状为 ( )A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形AD(2) 如图，在 ABC中，已知点 D在 BC边上， ADAC，sin BAC2 3 2， AB 3 2，3，则 BD的长为 答案 (1)D (2) 3 (2)sin BAC sin( 2 BAD) cos BAD，BD2AB2AD22ABADco
7、sBAD即 BD2 3， BD 3.1，1已知 ABC中，内角 A，B， C所对边分别为 a，b，c，若 A 3 ， b2acosB，c 则 ABC的面积等于 ( )c2在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a， b，c，若 C2B，则 为( )bA2sin C B 2cosBC2sin B D 2cosCsinC解析：由于 C 2B，故 sin Csin 2B2sin BcosB，所以 sin C 2cosB，由正弦定理可得 sinBsin C 2cosB，故选 B。sin B答案： Bc b sin A3已知 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ，则 B( )ca
8、sin C sin B答案： C14在 ABC中，若 lg（a c） lg （ac） lg b lg b c，则 A（ ）b cA 90 B60C 120 D 15022 2sin 2B sin 2A a，b，c. 若 3a2b，则 sin 2A 的 值为 ( )AC1答案： Dsin A sin B的最大值是 ( )A1D3解析：由 csin A 3acosC，所以 sin Csin A 3sin AcosC，即 sinC 3cosC，所以 tanC 3，C 3 ，A 3 B，所以 sin Asin Bsin 3 B sin B 3sin B 6 ，2 50B23 ， 6 B 6 56 ，答
9、案： C8.在ABC中, 若 a2+b2c 2,则 ABC的形状是 ( )C.钝角三角形D.不能确定【答案】 C【解析】由余弦定理2 2 2 :a +b -2abcosC=c2 2 2因为 a2+b2c2, 所以 2abcosCb b =b 与 b 的大小关系不能确定答案】 A解析】由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120 ,b 2+ab-a 2=0,即 + -1=0, = 1, 故 ba.11.在 ABC中 , a=15,b=10,A=60, 则 cosB=再由 ba, 可得 B 为锐角 , 所以 cosB=答案:12.为 a,b,c, 若在 ABC 中 , 三 个 内 角 A,
10、B,C 所 对 的 边 分 别 sin A+sin 2C-sin 2B= sinAsinC, 则 B= .解析】在 ABC中,因为 sin 2 A+sin 2C-sin 2B= sinAsinC,答案:13.ABC中, 点 D是 BC上的点 ,AD 平分 BAC,BD=2DC.(1) 求 .(2) 若BAC=60, 求 B.【解析】 (1) 如图, 由正弦定理得 := , = ,因为 AD平分 BAC,BD=2DC,=所以由(1) 知 2sinB=sinC,所以 tanB=, 即 B=3014.在 ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 bcosC=3acosB-ccosB
11、.(1) 求 cosB 的值 .(2) 若 =2,且 b=2 ,求 a和 c 的值.【解析】 (1) 由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,故 sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即 sin(B+C)=3sinAcosB,可得 sinA=3sinAcosB. 又 sinA 0,因此 cosB(2) 由 =2,可得 accosB=2,2 2 2 2 2 由 b =a +c -2accosB, 可得 a +c =12,
12、所以(a-c) 2=0,即 a=c, 所以 a=c= .15.在 ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 点 (a,b) 在 直 线 x(sinA-sinB)+ysinB=csinC 上 .(1) 求角 C 的值 .(2)cosB=cosA+coscosAsinA=sin因为 A+B=, 且 AB,所以 0A ,则=16.如图 ,在平面四边形 ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .(1) 求 cosCAD的值 .于是 sin =sin( BAD- CAD)=sin BADcosCAD- cosBADsinCAD2 2 1 2 b a 2c .(1) 求 tan C的值；(2) 若 ABC的面积为 3，求 b 的值2 2 1 2 解 (1) 由 b2a22c2 及正弦定理得
