1、命题及其关系充分条件和必要条件知识点+例题分类全面教学内容知识模块1四种命题1.命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句，叫做命题.苴中判断为貞的语句叫做真命题：判断为假的语句叫做假命题.如：（1）如果两个三角形全等，那么它们的面积相等：（2） 如果两个三角形的而积相等，那么它们全等：（3） 如果两个三角形不全等，那么它们的而积不想等：（4） 如果两个三角形的而积不想等，那么它们不全等.2.命题的结构：数学中，具有“若p ,则g这种形式的命题是常见的，我们把这种命题中的称为命题的条件，Q称为命题的结论.3.四种命题：一般地，用和分别表示原命题的条件和结论，用r?和F分别表示和的否立，
2、于是四种命题的形式为: 原命题：若P则彳；如命题（1） 逆命题：若g则如命题（2）否命题：若r?则7：如命题（3） 逆否命题：若TZ则rP如命题（4）精典例题透析例1若m，是两条不同的宜线，0, 7是三个不同的平而，则下列命题中的真命题是（）A.若m , 丄0,则In丄aB.若/ = In, = n, InHn 则allC.若7丄0 , mH a,则丄0D.若丄了，丄0,则0丄了巩固在下列命题中，真命题是（）A.u=2 时，x2-3x+2=0,t 的否命题B.“若b=3,则沪=9”的逆命题C.若 acbc,则“bD.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题例2命题“正数加的平方大于0”的否命题是
3、巩固1命题若2i,贝i-r,的逆否命题是 .巩固2命题若x2+y2=0,则X、y全为0”的逆否命题是 .例3已知命题“若“20,则x2+x-a=0有实根”.写岀命题的逆否命题并判断苴真假.巩固写岀命题的“若P，则形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假.命题：两直线平行.同位角相等.知识模块2四种命题的关系 1.四种命题之间的关系2.四种命题的真假关系1）原命题为真，它的逆命题不一泄为真:如：原命题“若“ =0,贝也=0”是真命题，它的逆命题“若=0,贝IJa=OMM假命题.（2）原命题为真，它的否命题不一泄为真：如：原命题“若“ =0,则=0是真命题，它的否命题“若心0,则
4、“20是假命题.）小于（0, y0, q： A+yO,则是Q的充分条件，q是P的必要条件. 从集合观点看，若AUB,则A是B的充分条件，B是A的必要条件.2、其他四种条件1如果paq,且qap,那么称P是g的充分必要条件，简称P是g的充要条件，记作POq；2如果p=q,且q令p,那么称是q的充分不必要条件：3如果P令q,且那么称是“的必要不充分条件；4如果P令q,且q* 那么称是q的既不充分又不必要条件.精典例题透析一 一 一TW J(-2, 2)巩固已知卩：-4j0t若一/7是F的充分条件，则实数的取值范用是-1. 6例2设：x2, q： xs+2,若P是g的必要条件，则实数的取值范围是 .
5、(-8,0巩固已知a： -2xW5, 0： F+lWxW2叶1”，若是0必要条件，则实数加的取值范围是2, 3例3函数fix)=x2+mx+i的图象关于直线斗1对称的充要条件是 m=-2 .巩固在平面直角坐标系中，直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-)y=a-7平行的充要条件是 “=3 .例4已知命题“：x0, y0, q： xy0,则命题是命题g的_充分不必要 条件.巩固1 x-2或y2是xy-4的 必要不充分 条件.巩固2 a = -9f是iitana =9f的充分不必要 条件.4巩固3若函数fx = 2 -伙2-3)2-x,则k=2是函数./W为奇函数的充分不必要 条件.例5已知p
6、： 4x+m0,若卩是q的一个充分不必要条件，则实数皿的取值范用是 4, +8)巩固1已知卩：-2010,牛*2*+1肿伽0),若P是q的必要不充分条件，则实数加的取值范囤是(0, 3巩固2已知0-lW4-3Wly:*(加+g+Mxl)切,若是r7的必要不充分条件,则实数“的取值范围是.巩固3已知p： X x2 -x-2 ,t7: % a-x 力，则Qb“的逆命题：若2,则2-2x+m0, xI其中真命题的个数为 个题型三：命题的否定与否命题例写出下列各命题的否左及英否命题，并判断它们的真假.(1)若X、y都是奇数，则x+y是偶数；(2)若 Xy=0,则 X=O 或 y=0：(3)若一个数是质
7、数，则这个数是奇数.解析：(1)命题的否定：若心y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题 原命題的否命題:若x、y不都是奇数，則x+y不是偶数，是假命題.(2)命题的否定：若Xy=0,則x0且y0,为假命题.原命題的否命題：若q0,則x0且y09是真命題.(3)命题的否定：若一个数是质数，則这个数不是奇数，是假命题. 原命題的否命題：若一个数不是质数，則这个数不是奇数，为假命题.巩固命题“若“=一 1,则“2=1“的逆否命题是 .答案：若t2l则-1 题型四：充要条件的判断例(1) (2014福建)直线/： y=tv 1与圆O： a2+=1相交于A, B两点,则“=1”是AOAB的面积为F 条件
8、.条件.(2)如果川y是实数，那么xy是“cosxHcos *的.解析(1)将直线/的方程化为一般式得-V+1=0,所以圆O： 2y2= 1的圆心到该直线的距离=玄吕又弦长 为21-2+I=Ti,所以SSB=*玄吕醴J =C 1 =解得R=l因此可知S=1”是(AOAB的面 积为扌”的充分而不必要条件，(2)设集合 A = (x9 y)bcy. B=(x. y)lcos xcos y 则 A 的补集 C=(x9 y)x=y, B 的补集 D=(x. y)lcos X=COSy,显然(7 D,所以B A.于是“x是“cosxHcosy”的必要不充分条件.巩固(1)(2014-湖北)设为全集,A,
9、B是集合，则“存在集合C使得AC.BuC是“AQB=夕 的 条件.(2) (2013北京)0=”是“曲线y=sin(2A+0)过坐标原点”的 条件.解析(1)若存在集合C使得AG BUhC,则可以推出ACB=0；若ACB=0,由VCIm图(如图)可知，存在A = G同时满足ACf BGSCU Cor故“存在集合C使得AG BuC9是的充要条件(2)当=时，y=sin(2+0)=-sin 2x过原点.当曲线过原点时，=k. kZ,不一定有=.所以a=是 “曲线y=sin(2x+)过原点”的充分不必要条件.题型五：根据充要条件求解参数的取值范围l2x, x0例函数/U)= F有且只有一个零点的充分
10、不必要条件是 2x+a, W0a1.观察选项，k0巩固(1)条件“：-2v4,条件g： (x+2)(x+)0” .若方程有实根，则J=1+4h0, 即加鼻一占 不能推出加0.所以不是真命题，故选C.4.已知集合A=l,2, B=l, Uf bf 则 tta=2n 是 “AUB” 的 条件.解析 当a=2时，因为B=l,2,们，所以AUB；反之，若AQB.则必有2B,所以a=2或=2,故“=2 是 UAB”的充分不必要条件.选A.5.命题若Fy2,则_xy”的逆否命题是 .解析 根据原命题和逆否命題的条件和结论的关系得命题“若Wy2,则y”的逆否命題是“若xy,则2v2w .6.已知向fl=(,
11、 一9), b=(, 一 1),则“川=一3”是“ab”的 条件.解析 当 m=-3 时,=(9, 9), b = (l, 1),则 a=9b,所以 ab,即 itm=-3,t = itab；当ab时，加2=9,得m=+3,故“加=一3是ttabv的充分不必要条件.7.给岀命题：若函数y=f(x)是幕函数，则函数y=y(A)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是 .解析原命题是真命题，故它的逆否命题是真命題；它的逆命题为若函数y=-r)的图象不过第四象限，则函数y=)是探函数”，显然逆命題为假命題，故原命题的否命題也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否
12、命题3个命题中真命题只有1个.8.函数v)=a-2+x+1的图象关于直线x=l对称的充要条件是 .In =2 =9.“若“Wb,则acbc ,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是 .答案2解析其中原命题和逆否命题为真命題，逆命题和否命题为假命题.10.“心”是“一元二次方程2+x+;M=0有实数解”的 条件.答案充分不必要解析x2x+w=0 实数解等价于J = I-4m0,即n,因为i0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 答案0,2解析 由已知易得xx2-2x-30 1yw1 ,又xix2-2-30 = .rlx3,12.有下列几个命题：1“若“，则a2b2t,的否命题
13、：2“若x+y=O,则X, y互为相反数”的逆命题:3“若x24,则一2t2,f的逆否命题.其中真命题的序号是 答案解析 原命题的否命题为“若Wb,则Xb2 ”错误2原命题的逆命题为：“X, y互为相反数，则x+y=0”正确.3原命题的逆否命题为“若或XW2,则x24正确.能力提升训练13.若集合A = I2xv3, B=x(x+2)(x-u)0,则=1” 是 “ACB=0” 的 条件.解析 当=1 时，B=x-2x是iia2-b2的 条件.解析 Vabt 即 ab- 1.又J, b为正数，.a2(b+1)2=2 1 +2ft2 1 即 a2-h2 成立，反之，当 =3, b=l 时，满足 c
14、rb1,但 abl 不成立.所 以“一bl”是“2_沪1”充分不必要条件.15.给世两个命题卩、q,若是g的必要不充分条件，则”是彳的 条件.答案充分不必要条件解析 若綁。是4的必要不充分条件，则q* P但綁 Qq,其逆否命题为P与綁q但繍g岁 丹 所以“是繍的充 分不必要条件.16.已知“命题p： (-m)23(-Zn)”是“命题彳：x2+3-4n+3或xm,命题q: 4vl,故加的取值范围是(一 8, -7U1, +8).17.已知集合A=v2l8, -R, B=W lvis+l, R,若xB成立的一个充分不必要条件是xA,则实数m的取值范围是 .答案(2, +8)解析 A=xl2v8,
15、xR =- 1 v3,即 m2.18.下列四个结论中：1“2=0”是“加=0”的充分不必要条件：2在AABC中，A+AC2=BC2是ZXABC为直角三角形”的充要条件：3若，7R,则“(+/HO”是“，b全不为零”的充要条件：4若“，R,则“以+沪工0”是“(J, b不全为零”的充要条件.正确的是 .答案解析 由人=0可以推出=0,但是由加=O不一定推出2=0成立，所以正确.由ABAC2=BC2可以推出AABC是直角三角形，但是由ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以不正确.由a2+h2O可以推出“，b不全为篆，反之，由“，b不全为零可以推出0+b2HO,所以不正确，正确.1. 下列命题中为真命题的是()A.命题“若xy,则QIyI”的逆命题B.命题若xl,贝IJW1”的否命题C.命题若x=l,则a1 2 3+x2=0”的否命题D.命题“若Fo,则Q1”的逆否命题答案A2. “如果x、yR.且x2+y2=O,则x、y全为0”的否命题是 .答案 若八yR且W+FHO,则x、y不全为O3. 下列结论错误的是()A.命题“若以一 3-4=0,贝IIX=4”的逆否命题为“若x4,则X23-4H0”B.x=4” 是x2-3x-4=0的充分条件C.命题“若M0,则方程F+x加=0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若=0,则加=O且=0的否命题是“若m2+n20f则丹Ho或nQn
