1、第六章 a 小波应用 基于MATLAB的系统方析与设计小波分析3基于MATLAB的系统方析与设计小波分析胡昌华 张军波 夏 军 张 伟 编著第3章 小波分析的应用技术随着小波理论的日益成熟，人们对小波分析的实际应用越来越重视它已经广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场沦、地震勘探、话音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形以及数字电视等科技领域。在本章，主要介绍如何利用小波分析函数处理一些实际的工程问题。在上一章，我们知道，MATLAB所提供的小波分析工具有两种：第一种提供的是命令行形式的函数，用户可通过这些函数，根据实际分析的需要，
2、在调试状态下、编写自己的MATLAB程序。这种方式虽不直观，但它可以按照用户自己的思维编写出功能强大的MATLAB程序，完成各种信号的小波分析。第二种提供的是图形用户接口(Graphic User Interface：GUI)工具，这种方式简单直观，不需要进行复杂的编程，并且将计算结果直接以图形方式显示出来，用户可以立即评价自己分析的结果是否正确，但是GUI方式的处理模式比较固定，且它所提供的小波函数种类教少，在进行复杂的信号分析时，有些功能无法实现。从思维角度来讲，利用MATLAB提供的命令行形式的函数编程，可以领会小波分析中的许多细节部分，因此在本章中，我们只讲解第一种方式的应用。31 一
3、维小波分析的应用首先，我们将用于一维小波图像分析的主要函数作一个简要介绍，这些函数在第2章中已做过详细说明，在此为了方便读者的使用而作一个归纳总结，具体每个函数的用法，请参阅第2章的有关内容。用于一维信号分析的函数主要有：(1) 小波分解函数(2) 小波重建函数(3)分解结构应用函数（4）噪声函数(5)消噪和压缩函数31I 小按分析的一些数学计算 在这里，我们以小波分析这数学工具处理一些数学问题，从某种意义上讲，这种应用是帮助读者对小波分析理论本身有进一步的理解。例3-1：对于一给定的正弦信号 请利用多分辨分析对该信号进行分解与重构。例3-2: 给定一信号(信号文件名为leleccam.mat
4、)，请用dbl小波对信号分别进行单尺度和三尺度分解，求出各次分解的低频系数和高频系数并分别对低频系数、高频系数以及低高频系数进行重构。312 小波函数中的过零点分析下面我们先简单地介绍一下过零点及相关的一些概念。由定义31我们看出小波变换模极大值点(a0，b0)在点b0的右邻域和左邻域都是严格局部最大的。关于模极值与函数的奇异性有下面的定理：313信号奇异性检测 信号中的奇异点及不规则的突变部分经常带有比较重要的信息，它是信号重要的特征之一。比如，在故障诊断(特别是机械故障诊断)中，故障通常表现为输出信号发生突变，因而对突变点的检测在故陪诊断中有着非常至要的意义。长期以来，傅里叶变换是研究函数
5、奇异性的丰要工具，其方法是研究函数在傅里叶变换域的衰减以推断函数是否具有奇异性及奇异件的大小。但傅里叶变换缺乏空间局部性，它只能确定一个函数奇异性的整体性质，而难以确定奇异点在空间的位置及分布情况。我们知道，小波变换具有空间局部比性质，因此，利用小波变换来分析信号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小是比较有效的。通常情况下，信号奇异性分两种情况：一种是信号在某个时刻内，其幅值发生突变，引起信号的非连续，幅值的突变处是第一种类型的间断点；另一种是信号外观上很光滑，幅值没有突变，但是，信号的一阶微分有突变产生、且一阶微分是不连续的，称为第二种类型的间断点。通常，用李普西兹指数(Lipschitz)来
6、描述函数的局部奇异性。下面我们给出个描述信号奇异度的一般定义。在利用小波分析这种局部奇异性时，小波系数取决于f(x)在x0点的邻域内的特性及小波变换所选取的尺度。在小波变换中，局部奇异性可定义为：1、检测第一种类型的间断点 在这个例子中，介绍了在用小波分析来检测第一类间断点情况下，信号幅位变化的准确时间，即间断点的准确位置。在这个例子中，信号的不连续是由于低频持征的正弦信号在后半部分中，突然有中高频特征的正弦信号加入了。分析的目的是将中高频特征的正弦信号加入的时间点检测出来。例：对一个给定的含有突变点的信号(信号的文件名为freqbrk.mat)，请利用小波分 析对信号突变点的时机进行检测。L
7、oad freqbrkS = freqbrkLs = length(s)c,l = wavedec(s,6,db5)Subplot(811)plot(s)a6=wrcoef(a,c,l,db5,6)subplot(812)plot(a6)for i=1:6decmp=wrcoef(d,c,l,db5,7-i)subplot(8,1,i+2)plot(decmp)end 我们看到，在该信号的小波分解中，第一层(D1)和第二层(D2)的高频部分将信号的不连续点显示得相当明显，因为信号的断裂部分包含的是高频部分。这里需要说明的是，如果我们只想辨别出信号的不连续点，用dbl小波比db54、波效果更好。
8、由上固可以看出，信号不连续点的时域定位非常精确，即该点在时域中(t500)一个非常小的范围之内。这种情况一般是在小波分解的第一层和第二层高频中判断。 这个例子有力地说明了小波分析比传统的博立叶分析有更大的优越性。如果这种信号用傅立叶分析方法进行，我们在领域中是无法检测出信号在时域中的突变点的，而在小波分析中，这种突变点的特征就表现得相当明显。在信号处理中，信号中含有噪声是一种相当普遍的情况，而噪声的存在增加了辨别信号不连续点的复杂性。一般说来，如果信号用小波分解的第一层能够估计出噪声的大体位置，则信号的断裂点(频率变化点)就能够在小波分解的更深的层次上显示出来。例34 某一正在工作的系统，其正
9、常工作时，输出点的采样信号应为一蠕变信号当系统出现故障时，输出信号将会出现一突变信号(主要表现在幅度和频率的突变)。现给出该系统从正常到出现故障的一采样序列，请利用小波分析方法分析故障出现的时间耘。解：该问题是一个检测突变点(或不连续点)的问题，利用小波分析可以精确地检测出信号突变的时间点。利用小波分析检测信号突变点的一般方法是：对信号进行多尺度分析，在信号出现突变时，其小波变换后的系数具有模量极大值，因而可以通过对模量极大值点的检测来确定故障发生的时间点。2检测第二种类型的间断点 例35 对某一给定的信号，它是由两个独立的满足指数方程的信号连接起来的请利用小波分析来检测出第二类司断点的准确位
10、置。 解：这个例子中的信号，在外观上是很光滑的曲线变。分析的目的是将第二类间断点寻找出来。程序清单： 我们看到，该信号的一阶微分曲线在t100点处，有明显的不连续。将该信号进行小波分解后，第一层的高频部分d1将信号的不连续点显示得相当明显，这个断裂点在信号的中部发生，在其它地方可以忽略。由上图可以看出，利用小波分析进行信号的不连续点的定位非常精确。像这种间断点的定位，一般来说，是在小波分解的第一层和第二层高频部分中进行判断的。 注意：在选择小波的过程中，正则性是一条很重要的规则，在这里我们选择的是dbl小波，这种小波正则性很好，如果选择db4小波，会发现在t100点处，高频部分的值几乎为o，检
11、测不出信号的不连续点(第二类间断点)。为了检测出信号中的奇异点，所选择的小波必须很正则(有规则)，这时的小波可实现一个更长的冲击响应滤波器。314小波分析用于信号消噪处理1噪声情号的小波分析特性 运用小波分析进行一维信号消噪处理是小波分析的一个重要应用之一，下面我们将其消噪的基本原理作一个简要的说明。一个含噪声的一维信号的模型可以表示成如下的形式： 在这里，我们以一个最简单的噪声模型加以说明，即认为e（i）为高斯白噪声N(0，1)，噪声级(noise level)为1。在实际的工程中，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频传号。所以消噪过程可按如下方法进行
12、处理：首先对信号进行小波分解(如进行三层分解，分解过程如图37所示)，则噪声部分通常包含在cDl，cD2，cD3中，因而，可以以门限阈值等形式对小波系数进行处理，然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。对信号s(i)消噪的目的就是要抑制信号中的噪声部分，从而在s(i)中恢复出真实信号f(i)。 一般说来，一维信号的消噪过程可分为三个步骤进行： (1)一维信号的小波分解。选择一个小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号s进行N层小波分解。 (2)小波分解高频系数的阈值量化。对第1到第N层的每一层高频系数，选择一个阈值进行软阈值量化处理。 (3)一维小波的重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经
13、过量化处理后的第1层到第N层的高频系数，进行一维信号的小波重构。 在这三个步骤之中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化，从某种程度上说，它直接关系到信号消噪的质量。 在上面的说明过程中，我们是以最简单的信号模型对信号消噪进行说明在实际中，这种最基本的模型是不能直接运甩的，为了求得模型的标准偏差需要对信号消噪的主要函数wden的输入参数进行设置。该函数最简单的用法是： 它返回的是经过对原始信号s进行消噪处理后的信号sd。另外，sorh指定软阈值(sorh=s)或硬闻值(sorhh)的选择，tptr指定阈值选取的规则，n为小波分解的层数，wav指定分解时所用的小波，参数scaI是闭值尺度
14、改变的比例，它有以下三种选择，具体说明见表36。一般说来，可以忽略噪声的层次。在小波分解的高频层cDl(最精细的尺度)中，主要是噪声的系数，它的标准偏差等于，绝对标准偏差比较稳定，其估计值总是。这种稳定的估计值在信号分析中很重要，主要有两个原因；第一个是如果第一层的系数中含有信号f的高频传息，并且信号本身是很规则的，则这种高频信息在几个高频层中都能集中显示出来；第二个原因是可以避免信号本身的截短效应，这种截短效应是在计算信号的边缘时，产生的无用信息。当认为噪声e是一个非白噪声时，必须在每个不同的小波分解层次上估计噪声的层次，并由此来变换阈值尺度，即根据小波分解的层次level，来估计level
15、，这种估计算法在函数wnoise中实现，它是通过直接计算信号s的小波分解的结构来实现的。scalsln时，只根据第一层的小波分解系数来估计噪声的层次，并且只进行一次估计。以此来变换 阈值的尺度。scalmln时，在每个不同的小波分解层次上都估计噪声的层次，并且变换阈值尺度。 另外一种更普遍的函数是wdencmp, 它可以直接对一维信号或二维信号进行消噪或压缩处理，方法也是通过对小波分解系数进行阈值量化来实现的。它可以让用户选择自己的阈 值量化方案，其使用方式是：2噪声在小波分解下的特性在这里，我们将噪声看成是一个普通的信号，并对它进行分析，那么有三个主要的特征需要注意，即相关性、频谱和频率分布
16、。总体上来说，一个一维离散的信号，它的高频部分影响的是小波分解的高频第一层，低频部分影响的是小波分解的最深层及其低频层。如果对一个只是由白噪声组成的信号进行小波分解，则可以看出：高频系数的幅值随着分解层次的增加而很快地衰减并且，高频系数的方差也很快地衰减。当通过滤波器将有色噪声引入后，该信号就不是白噪声了。对噪声用小波分解的系数仍用c (j，k) 表示，其个，J代表小波尺度，k代表时间，我们可以对噪声信号引入一些常用的属性：(1)如果所分析的信号s是一个干稳、零均值的白噪声，则其小波分解系数是不相关的。 (2)如果s是个高斯噪声，则其小波分解系数是独立的，也是高斯分布的。(3)如果s是个有色、
17、平稳、零均值的高斯噪声序列，则其小波分解系数也是高斯序列。对每一个分解尺度j，其系数是一个有色、平稳的序列。我们感兴趣的是如何选择小波，对分解系数解相关(de correlate)，这个问题在目前还没有很好地解决。进一步需要指出的是，即使一个小波确实行在，它对噪声的解相关性也取决于信号噪声的有色性。为了用小波计算噪声分解系数的相关性，噪声本身的颜色必须知道。这方面的讨论已超出本书的范围，不再讲述。(4)如果s是一个固定的零均值ARMA模型，则对每一个小波分解尺度J，C(J，k)(kz)也是固定的、零均值的ARMA模型，它的特性取决于j。(5)如果s是一个噪声，并且它的相关函数知道，我们就可以计
18、算出系数序列C(J，k)和C(j，kp)；如果其相关函数的谱P知道，则我们就可以计算出c(J，k)(kz)的谱，以及不同尺度j和jp的交叉谱。3一维小波分析对平稳信号消噪例36 菜单位为了考察其用电情况，对其中二天的电网电压值进行监洲，得到了一个电压采样序列，但由于在采样过程中，监侧设备出现了一些故障，使得所采集的信号引入了噪声，现利用小波分析，将这种由十仪器故障引起的噪声进行消噪处59。解： 该问题是一个消噪问题，利用小波消噪的基本原理，首先我们选择一个小波dbl，然后确定小波分解的层数N(在这里，我们取N为3)。从小波消噪处理的方法上说，一般有3种：(1)强制消噪处理。该方法把小波分解结构
19、户的高频系数全部变为0，即把高频部分全部滤除掉，然后冉对信号进行重构处理。这种方法比较简单，重构后的消噪信号也比较平滑，但容易丢失信号的有用成份，(2)默认阈值消噪处理。该方法利用ddencmp函数产生信号的默认阂值，然后利用wdencmp函数进行消噪处理。(3)给定软(或硬) 阈值消噪处理。在实际的消噪处理过程户，阂值往往可以通过经验公式获得。而且这种阈值比默认阈值更具有可信度。在进行阈值量化处理户可用wthresh函数进行。针对本问题，这里分别用上面三种消噪方法进行消噪处理，并对消噪的结果加以对比。4一维小波分析对非平稳信号消噪在实际的工程应用中，所分析的信号可能包含许多尖峰或突变部分，并
20、且噪声也不是平稳的白噪声，对这种信号进行分析，首先需要作信号的领处理，将信号的噪声部分去除，提取有用信号。而这种情号的消噪，用传统的博立叶变换分析，显得无能为力，因为傅立叶分析是将信号完全在频率域中进行分析，它不能给出信号在某个时间点上的变化情况，使得信号在时间袖上的任何个突变，都会影响信号的整个谱图。而小波分析由于能同时在时频域户对信号进行分析(并且在频率域内分辨率高时，时间域内分辨率则低，在频率域内分辨率低时，时间域内分辨率则高，且有自动变焦的功能)，所以它能有效地区分信号户的突变部分和噪声，从而实现信号的消噪。下面将一个信号加入白噪声，然后用傅立叶分析方法和小波分析方法同时对加入白噪声的
21、信号进行消噪处理，可以看出小波分析比传统的博立叶分析更加优越。例37 产生一含噪声的矩形波信号，请分别用小波分析和傅里叶变换进行信号噪声消除。解：该问题是一个非平稳信号噪声消除的问题，可按如下程序进行噪声消除。 程序清单：从下图的比较中，可以看出，用小波进行信号的消噪可以很好地保存有用信号中的尖峰和突变部分。而用博立叶分析进行滤波时，由于信号集中在低频部分，噪声分布在高频部分，所以，可用低通滤波器进行滤波，但是，它不能将有用信号的高频部分和由噪声引起的高频干扰加以有效地区分。若低通滤波器太窄，则在滤波后，信号中仍存在大量的噪声，若低通滤波器太宽，则将一部分有用信号当作噪声而滤掉丁。因此，小波分
22、析对非平稳信号消噪有着博早叶分析不可比拟的优点。5小波消噪中闽值的选取规则 在用一维小波进行信号的消噪和压缩过程中，都要用阂值进行小波分解系数的量化处理，在这两种信号处理中，最重要的环节就是如何选取闭值和如何进行阂值的量化。所以下面对阂值的选取原则进行说明。 根据基本的噪声模型，可以在thselect函数中使用四种规则来选取阀值，每一种规则的选择由该函数中所对应的输入参数tptr决定。该函数返回的是所求闭值的值。tptr有四种规则，具体见表37。 阂值选择规则是基于基本模型yf(t)十e，其中e是白噪声N(0，1)，对于方差未知的噪声或非白噪声可以重新调节输出阁值THR(参见wden中的sca
23、l参数)。可以选择以下几种闻值：tptrrigrsure是一种基于史坦的无偏似然估计(二次方程)原理的自适应阂值选择。对一个给定的阐值t，得到它的似然估计，再将非似然t最小化，就得到了所选的阂值，它是一种软件阐值估计器。 tptrsqtwo1og采用的是固定的阂值形式，产生的阉恒大小是sqrt(2*log(length(x)。 tptrheursure是前两种困值的纳综合，是最优预测变量闭值选择。如果信噪比很小，sure估计有很大的噪声。如果有这种情况，就采用这种固定的闻值。 tplrminimaxi采用的也是一种固定的阂值，它产生一个最小均方误差的极值，而不是无误差。在统计学上，这种极值原理
24、用于设计估计器。因为被消噪的信号可以看作与未知回归函数的估计式相似，这种极值估计器可以在一个给定的函数集中实现最大均方误差最小化。如果信号y表示的是一个高斯白噪声信号N(o，1)，那么，各个闭值选择规则下的thselet命令函数是如何选取阂值的。 例3. 8 下面给出一个白噪声情号(信号采样点的个数为1000)，请计算四种阂值选择的闻值大小。解；四种阂值的计算可按如下的程序进行。 程序清单：由于y是一个标准的高斯白噪声，我们希望每一种方法都能将系数中的大部分数值去掉。对于stein的无偏似然估计(sure)和极大极小原理(minimaxi)的阁值选择规则，只大约保存3的系数而对于另外两种竭值选
25、取规则，所有的系数都被变成了零。我们知道，当对噪声e进行小波分解时，它同样会产生高频系数，所以，一个信号的高频系数向量是有用信号f和噪声信号e的高频系数的叠加。由干minimaxi和sure阂值选取规则比较保守(它只将部分系数置o)当信号f的高频信息有很少一部分在噪声范围内时，这两种阂值非常有用可以将弱小的信号提取出来；另外两种闭值选取原则，在去除噪声时，显得更为有效，但它有可能把有用的高频特征信号当做噪声信号消除。315 识别在含噪信号中有用信号的发展趋势 例39 一个有用的斜坡信号由于被有色噪声(即能量有限噪声)所污染，(信号的文件名为：cnoislopmat)使有甩信号的斜线趋势在时域中
26、看不出来。请利用小波分析出这个信号的整体发展趋势。 解：在这个例子中，我们甩一个db3小波的六层分析，使斜坡信号的斜坡发展趋势随着层次的升高，表现得越来越清楚。下面是实现这一过程的程序清单。程序情单： 信号中低频部分代表着信号的发展趋势，在小波分析中，则对应着最大的尺度小波变换的低频系数。随着尺度的增加，时间分辨率的降低，对信号的这种发展趋势会表现得更明显。另外，我们还可在频率中理解它，尺度分解中的低频部分随着层次的增加，它含有的高频信息会随之减少。：5分解到下一个层次时，就有更高频率的信息被去除，则剩下的就是信号的发展趋势。从这里可以看出，小波分析在展示信号的发展趋势中很有用，另外，这种分析
27、还有一个目的就是将藏在噪声中的信号显尔比来。需要强调的是，信号的发展趋势代表的是信号中最低的频率部分，如果信号本身包含有很陡的变化，那么在多尺度小波变换的低频部分中，显小的传号则越来越不像原始信号因为它将信号本身的陡峭变化当作高频滤掉了。 例310 对某型号导弹上的加速度表进行测试时，主要评定加速度表的极性及其灵敏度。加速度表的正常与故障往往表现在它的低频信号(细节信号)的发展趋势不同。现用AD采样板分别采样得到加速度表在正常相故障两种状态时的两组数据，但由于某种原因使得测试数据中混入了噪声干扰，因而正常数据和故障数据的波形不易区分，试用小波分析对加速度表正常与故障时信号的发展趋势加以区分。解
28、：用AD采样板采样得到正常与故障的两组数据分别为：a152ms.dat相a162ms.dat，现对这两组信号分别进行小波变换，然后提取信号的低濒成份(细节部分)，即可以判定信号的发展趋势。该问题的处理可编程如下： 从第六层的细节信号，我们可以明显看出正常情况和故障情况的信号发展趋势是完全不一样的，但如果从原始图形上观察，则很难判断信号的发展趋势。31，6 提取信号中某一频率区间的信号 在博立叶分析中，如果一个信号是由几个不同频率的正弦信号所组成，则FFT可以很有效地分辨这些不同频率的正弦信号。在这个例子中，我们月小波分析来实现这一功能。所分析的信号是由三个不同频率的正弦信号所组成。例311 给
29、定一信号，请利用小波分析把信号的各个频率成份分开。 在显示的分解结果中，可以看到，低频的第4层将正弦信号中的最低频率组成清晰地分离出来了。在小波分解巾，苦将信号中的最高频率成分看作是1，则各层小波分解便是带通或低通滤波器，且各层所占的具体频带为：该信号是由三个不同频率的正弦信号所组成，其频率在小波分解下的相对频率分别为：高频正弦(1)、中频正弦(o1)、低频正弦(o01)。由信号频率的组成部分和小波分解下各层频率的分布可知，高频正弦定位于d1层，实际上也是如此。左上图显示的是放大后的dl层信号图。从该图可以看出，每一个信号包络中，有10个正弦振荡，它的相对周期的估计值为200(在小波分析中的频
30、率为1)。而d4层则包含中频层的正弦信号。我们注意到在a3层和a4层中间有不连续的点出现，因为中频正弦信号是由这两层共同表达的，d4层的信息有一部分被d3层减去了。我们需要用a15rj a3层的信息来估计中频层的正弦信号，将a1放大后可以看出中频层的正弦信号，其相对周期大约是20(在小被分析中的频率为o1)。最后。只剩厂低频正弦信号没有提取出来，在a4层中对其进行估计，可以看出其相对周期大约是2，一个周期占200个点(在小波分析下的频率为o01)。其实，低频正弦信号在a5层也能看出来，但是，这就必须将信号进行小波的进一步分解。若进一步分解，可以看到，该信号在a4层消失了，而出现在d8层。总之，我们能够用小波分析将合成信号中的单纯正弦信号的频率提取出来。因为在小波分解下，不同的尺度具有不同的时间和频率分辨率，因而小波分解能将信号的不同频率成份分开。
