1、相似三角形证明技巧专题相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础 二、相似三角形(1)三角形相似的判定： ； ； .三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例
2、； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。 “横定”； “竖定”。例1、已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证: 例2、如图，CD是RtABC的斜边AB上的高，BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，ACAE=AFAB吗？说明理由。）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑运用“过渡”，其主要类型有下面三种:1、等量过渡法（等线段代换法）需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。
3、只要代换得当，问题往往可以得到解决。 例1：如图3，ABC中，AD平分BAC， AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E求证：DE2BECE2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换。例2：如图4，在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F求证：3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，若以上三种方法行不通时，
4、则考虑用等积代换法。例3：如图5，在ABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BEAG，垂足为E，交CD于点F求证：CD2DFDG小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替。”同类练习：1 如图，点D、E分别在边AB、AC上，且ADE=C 求证：（1）ADEACB; (2)ADAB=AEAC. （1题图） 2 如图，ABC中，点DE在边BC上，且ADE是等边三角形，BAC=120求证： （1）ADBCEA;（2）DE=BDCE; (3)ABAC=ADBC. （2题图） 3 如图， 平行四边形ABCD中，E为BA延长
5、线上一点， D=ECA. 求证：ADEC=ACEB . 4 如图，AD为ABC中BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。求证：FD=FCFB。5如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC=FGEF. 6如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FMBE交DE于M.求证：FM=CF.7如图，ABC中，AB=AC,点D为BC边中点，CEAB,BE分别交AD、AC于点F、G，连接FC.求证：（1）BF=CF. (2)BF=FGFE. 8 如图，ABCD为直角梯形，ABCD,ABBC,ACBD。AD= BD，过E作EFAB交AD于F
6、.是说明：（1）AF=BE;(2)AF=AEEC.七、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明 可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截； 平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和圆幂例1如图5在ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DFAB于F，交AC的延长线于H，交BE于G，求证：(1)FG / FAFB / FH (2)FD是FG与FH的比例中
7、项1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换例2如图6，ABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F，已知BE：EC3：1， SFBE18，求：(1)BF：FD (2)SFDA 例3如图7在ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N求：AN：AB的值； 2说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡例4如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC交AC于F，过F作FGAB交AE于G
8、求证：AG 2AFFC 3说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定要证明的两个三角形相似、例5如图在ABC中，D是BC边的中点，且ADAC，DEBC，交AB于点E，EC交AD于点F(1)求证：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的长4说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长例6如图10过ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E过点D作DMFC交AB于点M(1)若SAEF：S四边形MDEF2：3，求AE：ED； (2
9、)求证：AEFB2AFED 5说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比注意平截比定理的应用例7己知如图11在正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，ADP与QCP相似？ 6说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点P所在的位置本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解例8己知如图12在梯形ABCD中，ADBC，A900，AB7，AD2，BC3试在边AB上确定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似 8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的
10、对应关系然后再确定顶点P所在的位置本题有多个位置，应注意计算，严防漏解例11如图，已知ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CFBA，BF交AD于P点，交AC于E点。 求证：BP2=PEPF。 九、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证： 例2. 如图，ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线
11、相交于点F，证明：ABDF=ACEF。 例3、ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE例4：如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。二、作延长线例1. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF例8如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，连E、F交AC于G求AG：AC的值 三、作中线例10： 已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D求证： BC22CDAC中考综合题型1.已知：如图，在中，是角平
12、分线，试利用三角形相似的关系说明 2. （2012四川巴中，31， 12分）如图12，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，AB:BC=4:3，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且CEF=ACB.（1）求AC的长和点D的坐标；（2）说明AEF与DCE相似；3. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，A
13、D与HG的交点为M.(1)求证：(2)求这个矩形EFGH的周长.4. （2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分）（1）如图1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P求证： （2）如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；5如图，在ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点且满足ADAB，ADEC（1）求证：AED=ADC，DEC=B；（2）求证：AB2AEAC 6（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果45，AB，AF3，求FG的长7（2009年中山）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；（3）当点运动到什么位置时，求的值8（2009年崇左）如图，中，分别是边的中点，相交于求证：
