1、小学数学教师上课课件小学数学教师业务学习材料开启从错误中学习的新视角时间：2019年4月25日 星期四 主讲：李秀金错误在学习中普遍存在错误并不仅仅出现在学习活动中。一般而言，人们是在认识论的范畴中讨论“错误”，把它与“真理”作为相对的概念提出的，认为“错误”就是与客观实际不相符合的认识。但是，当人们讨论学校学习活动中的“错误”时，错误的概念发生了变化。人们认为错误是学生在学习过程中所产生的各种不同于“标准观念”或“标准答案”的想法或做法。与认识论的“错误”概念比较，变化如下：其一，错误往往被教师理解为学习活动的结果不符合教学要求。如在一堂“分数、小数加减混合运算的简便计算”课中，教师要求学生
2、在算式“0.38+（）-7/5”的括号中填上合适的数，使得计算比较简便，并计算出算式的结果。学生提出填上1.62，使得加法运算的结果为2，但教师却认为这一填法不正确。在这一练习中，教师简便计算的“标准观念”并不只是一级运算，无论学生填写1.62或7/5都不符合教师的“标准观念”。教师希望学生考虑简便的二级运算，最佳的运算结果是0。且不论教师对简便计算的“标准观念”是否真的标准，从这一教学现象中我们不难发现，学生学习结果的错误往往是指不符合教师预设的教学要求。衡量的标准从“客观实际”变为“教学要求”，被赋予了更强的人为色彩。其二，这种学习结果不仅包括认识（观念），也包括行为（做法）。数学学习过程
3、中的“做法”通常指的是技能，包括计算技能与解决问题的技能。因为它不会直接对现实生活造成伤害，因此，学习过程中的错误既被理解为“观念”，又被理解为“做法”。这两者在学习过程中是紧密联系在一起的。教师可以通过学习过程中错误的“做法”去折射学习者错误的“观念”。在数学学习中，学生的错误是普遍的。我们可以毫不夸张地说，每一位数学学习者在数学学习活动中都发生过错误。个体正是通过对抗数学学习中的错误，丰富了自身的认识经验，从而获得发展的。数学学习中的错误更是必然的。首先，数学活动是一种包含有猜测、错误与尝试，证明与反驳，检验与改进的复杂过程。因此，学生在经历这一数学活动过程时产生错误在所难免。其次，数学研
4、究的对象是对现实生活理想化的抽象，许多在现实生活中有原型的数学概念，学生很难区分其与生活概念的差异，因为处于具体形象思维阶段的学生会出现认知不足，进而产生错误观念。例如，学生在理解三角形高的概念时，由于在日常用语中“垂线”只指铅垂位置，所以学生很难理解其他位置的高，更难把握三角形的外高。正是由于这些学习错误具有普遍性与必然性，它们的产生也是有理由、有规律可循的。因此，在建构主义看来，错误的产生具有合理性。有学者认为，从学习者身上观察到的一系列错误表明，错误不是教给的，而是学习者构造了自己特有的概念与程式造成的。错误的价值与有价值的错误在学生的学习过程中，正确有可能是一种模仿，而错误却大凡是一种
5、经历。因为许多错误是学习者在主动构建知识时形成的。在教育活动中，错误是重要的教育资源。首先，错误的教育价值在于它展现了学生的思维历程。“在数学学习活动中，错误表征着学生思想的航行，活动的展开。错误可能意味着学生一次观念的冒险、体验的丰富、超越的契机。”有一个学生提出了这样的疑惑：认识三角形内角和时，我们是通过把长方形沿着对角线一分为二，已知长方形的内角和是360度，一分为二得出直角三角形的内角和就是180度。那么把一个等腰三角形沿着高一分为二，小的直角三角形的内角和为什么不能是90度呢？尽管学生通过类比推演得出小三角形内角和的结论是错误的，但是，学生在错误经历中的思考与质疑却是难能可贵的。其次
6、，错误可以使理解和记忆更加深刻。学生经历错误后，如果教师通过展示学生的错误，辩论错误观点，纠正错误过程，那么，学生会对自身的错误理解得更深刻、记忆得更牢固。因为在错误经历中，学生获得了在平坦的大路上难以见到的景致，也许正是学生经历了一次次错误的探险，感受到心理的挫折、惊喜与顿悟，才从中获得了质疑、反思与多向思维的创新品质。再其次，它折射了学生数学学习的难点问题。学生在数学学习活动中难以理解、难以把握的内容往往成为教学的难点。学生在学习中的错误正是学习难点的折射。当然，并不是学生所有的错误都折射了数学学习的难点，在教师的教学设计中也无法关注每一个学生的错误，这必然引发对有价值错误的思考。我们认为
7、，那些具有规律性的、合理的错误具有教育价值，因为它们具有普遍性，多数学生会遭遇。那些经过思维运演的错误有教育价值，因为它们可以促进学生的理解，强化学生的记忆，并能产生许多非认知的教育价值。教师对待错误的三重境界“从错误中学习”并不是每一位教师都认同的教学原则，错误资源在不同教师的课堂上发挥的教育价值，也因教师对待错误的态度不同而存在差异。我们把教师对待错误的态度分成三重境界。第一重境界是教师害怕、拒绝错误。他们认为学生的学习错误是自身教学缺失的标志，尤其在公开课上，不符合标准答案的观点会被教师们漠视，他们或对学生的错误采取“失聪”、“失明”的做法，或用优生的学习成果掩盖其他学生的学习错误，因为
8、他们对标准答案已经产生了思维定式与心理期待，对课堂中生成的非预设的学习成果缺乏评价能力。第二重境界是教师把学生的学习错误作为有价值的教学资源加以利用。或通过展示错误过程，辩论错误观点提升认识；或故布陷阱，让学生深陷其中而得出显而易见的错误，从中恍然大悟地得出正确结论。第三重境界是教师不仅让学生经历纠错的过程，形成正确的观念与做法，更重要的是让学生反思自身的错误，进而升华为错误观的教育。浙江省特级教师俞正强老师就曾有一堂经典的进行错误观教育的“小数四则运算”练习课。整节课一气呵成，让学生经历了“感受研究错误的必要性小数四则运算的错误类型小数四则运算错误的归因分析小数四则运算的干预策略对错误观的认
9、识”这一完整的反思错误的过程。首先，他在课前让学生计算了20道小数四则混合运算题，然后在课堂上让学生们评价自己的作业，并公布了全班学生的错误率，从而让学生了解小数四则混合运算错误的普遍性，体会到研究学习错误的必要性。然后，教师展示学生的典型错误，让他们依据自身的理解把错误分类，并让产生错误的学生分析原因。许多学生简单地归因为粗心、马虎、不认真。他就耐心地引导学生，提出任何数学学习的错误总有知识的缺陷或技能的不足，只有这样的归因分析才能正确认识并纠正错误。他让学生对那些有错误的同学提出纠错的建议，并进而拓展到对错误观的认识。让学生理解犯错误是难免的，学生的错误不等于错误的学生。但是，人不能两次犯
10、同样的错误，学习如此，未来的生活也如此。学生的学习错误是生成性的教育资源，教师只有放宽心态，理性分析，智慧地把握，才能使错误资源发挥真正的教育价值。（作者为浙江教育学院教授）聚焦小学数学系列八：用研究的心态面对每一堂课今天的新课程改革，已越来越强调理念向实践转化，课程向教学转化，教材向教师转化。在转化过程中，教师的日常教学势必会遇到形形色色的新问题，出现各种各样的新矛盾。面对这些问题与矛盾，需要教师以研究者的姿态出现在教学实践的情境中，通过研究分析问题、破解矛盾，使教学实践呈现出新的状态和水平。把研究作为生存的方式教师不只是教学者、学习者，同时还应该成为一个研究者。教师要实现自己的专业发展，成
11、为一个专家型的教师，仅仅靠自己原有的知识是远远不够的。信息化时代的到来和教育教学改革，都要求教师不断更新自身知识结构，转变一味向学生传授既定知识的做法，通过学习赋予教学新的元素，实现与学生的结伴成长、共同发展。另外，教师在教学中遇到的新问题、新矛盾，几乎都没有现成答案。专家能提供的是关于解决问题的一般认识，但很难提供解决问题的具体方法。教师只有拿起研究的武器，实现由实践者向研究者的转化，才能切实形成解决问题的新思路，找到破解矛盾的新方法。在这种情况下，学习、教学、研究已经成了教师生活中不可或缺的部分。学习与教学并驾齐驱，教学与研究双向互动，学习与研究相互促进，成为教师职业存在的新方式。把问题作
12、为研究的起点教师的教学研究与专业研究有着根本性的差别。它自始至终是在教学现场进行的，是以教师自身为研究主体的，是以解决实际问题为指向、以改进教学实践为衡量标准的。在日常教学中，难免会存在这样或那样的问题。这些问题因其新颖性、不确定性、复杂性等完全有可能成为研究的对象。比如，一位教师对二年级数学关于概率的初步认识“可能、一定”进行教学时，作了这样的教学设计：先让孩子们从装有3个黄球和3个白球的盒子里摸出一个球，让孩子们感受“可能”可能是黄球也可能是白球；然后再让孩子从装有6个黄球（没有白球）的盒子里摸出一个球，让孩子们感受“一定”一定是黄球，不可能是白球，并且告诉孩子们假如能摸出白球的话有奖。没
13、想到，在实际教学中，当第二个孩子摸出黄球后，第三个孩子拒绝再摸，而是说出了这样一番话：“我肯定这盒子里全部都是黄球。第一，您怕同学得到奖品在课上玩。第二，这奖品是买来的，您以后还要用。”这番话让教师很是意外，也引起了教师的思考：学生对教师的行为进行质疑，甚至是伦理上的怀疑了。我们总说，数学要联系学生的生活世界，但什么样的联系才是自然而然的，什么样的联系是有可能弄巧成拙的，解决这些问题就成了教师研究的起点。把反思作为常用的方法日常教学中的研究虽然也会偶尔涉及统计、测量、问卷等方法，但对于教师来说，最常使用也最便于使用的方法还是教学反思。偶发的教学反思并不困难，但将反思作为一种研究方法来改进教学，
14、则需要教师持之以恒，直至找到解决问题的途径。在今天来看，对教师教学帮助较大的是专题性的反思，小题大做的反思，及对比鉴别式的反思。这样的反思集中关注教学中的某一个突出问题，经过不懈探索，理清思路，澄清认识，从而提升教师的实践智慧。比如，一位教师注意到，在学习“互质数”这部分知识时，学生有这样的错觉“5和9都是互质数”；学习了长方形的面积计算方法后，学生经常会用“长宽”来求长方形的周长等。这些错误属于哪些知识类型，在什么情况下会出现，错误对于教学有哪些帮助？教师通过对这些问题的思考与分析，就为把错误转化为教学资源提供了依据。把重建作为改进的途径反思本身并不是目的，反思后的重建同样至关重要。在教学反
15、思中，教师需要在稍纵即逝的教学现象中发现问题，捕捉课堂教学中貌似没有问题的问题，与此同时，还要着力去思考解决问题的方法，并且在后续的教学中加以探索与尝试。这样，反思才能真正为教学服务，教学也才能在研究中走向新形态。前面提到教孩子关于概率初步认识的那位教师，认识到需要在课堂上避免让孩子对教师产生伦理怀疑，但他又不想放弃让孩子摸出白球有奖的设计。在后续平行班的教学中，他进行了这样的重建：他到学校后面的小商店里拍了一张像片，小商店的货架上是琳琅满目的商品。开始上课时，有意不穿外套。到“有奖摸球”前，穿上外套，投影那张像片。然后说：“我是这个商店的老板，你看我这里有吃的，有喝的，有玩的，还能摸球得奖呢
16、！”然后，组织学生摸球当孩子们说教师不让学生摸出白球“坑人”的时候，教师把外套脱了，说：“同学们，老师来了，你有什么话想说？”一件外套，将教师保护了起来，还原了这类游戏的本来面目。 教师备课的过程，很大程度上就是反思自身教学中存在问题，甄别问题产生的原因，并思考后续教学如何重建的过程；而上课的过程，就是把解决问题的设想加以实现的过程；说课、评课的过程，是重新思考教学中存在的新的、更高层次的问题，并致力于寻找解决问题对策的过程。教师日常教学成果的表达形式并不是撰写学术论文，而是记叙自己教育教学经历的日志、叙事、案例、课例。教学日志反映教师在教育教学中的实际情况，思考了教学中需要把握的主要问题；教
17、叙事描述了教师教学中遇到的典型事件，分析这些事件的启示意义；教学案例体现的是教师在教育教学中真实发生的典型性的疑难事件，呈现教师在解决典型问题上的典型经验；教学课例是以某一节课为分析对象，以教学设计、教学进程、教学反思三部分为基本结构形式，将新课程的教学理念转变为教学实践的全过程展示出来。（作者为华东师范大学教育学系教授、博导）聚焦小学数学系列九：积极应对学科知识新挑战全日制义务教育数学课程标准（实验稿）第一次将平移、旋转、中位数、众数、可能性等内容纳入小学数学课程，对小学数学教师的数学素养提出了更高的要求。在教学实践中，小学数学教师本体性知识欠缺的问题逐渐暴露出来。“要给学生一杯水，教师就要
18、有一桶水”的观念经过一次又一次的实践证明，再次成为数学教育界的共识。由于过去的师范教育中没有设置解析几何、概率论等课程，很多小学数学教师从来没有接受过“图形变换”与“统计和概率”等知识的系统培训。还有一些教师，过去虽然学习过相关课程，但由于没有机会再次接触，久而久之，逐渐淡忘。以下的这些教学片断就表明仍有相当一部分教师的数学专业知识结构不能完全满足新课程的要求。片断1教师给学生举出一些生活中常见的旋转实例时，举了房门开关的例子。（事实上，中小学数学中涉及到的图形变换都是在同一平面内讨论的，教师应该意识到两种“旋转”有着本质的区别。）片断2教师引导学生观察方格纸上一个轴对称图形的特点时，总结出“
19、对称轴的两边共有五组对应点，每组对应点的连线和对称轴垂直且到对称轴的距离相等”的结论。（看似准确的结论却在不经意中传达给学生一个错误的信息：对称轴两边只有五组对应点。这仅仅是一个口误，还是教师缺乏应有的数学敏感？）片断3在“数据收集”一课中，教师让学生以小组为单位，调查听课的几十位教师分别喜欢什么小动物。小组成员分别找了一些教师进行调查，然后把调查结果在小组中汇总。（热热闹闹的小组合作学习方式难掩教师统计知识的薄弱，因为同一小组的若干名学生对几位坐在前排的听课教师进行了重复调查，汇总后的结果并不能准确地反映实际情况。对此，执教者竟浑然不觉。）从以上案例可以看出，如果教师缺乏深厚的数学功底，全面
20、培养学生的数学能力就只能是一句空泛的口号而已。因此，需要通过多渠道的学习和培训让小学数学教师尽快补上这一课。首先解决“教得对不对”的问题，再解决“教得好不好”的问题。一方面，教师需要不断提高自己的数学修养，以更高的视角来看待小学数学的内容，即“高处着眼”。另一方面，由于我们的教育对象是小学生，教师又应以一种平易近人、通俗易懂的方式呈现数学知识，即“低处着手”。有了“高处着眼”，才能高屋建瓴，统揽全局。但若没有“低处着手”，就不能化繁为简，寓教于乐，培养学生的数学素养和数学精神更无从谈起。厚积方能薄发。小学数学课程的内容虽然相对简单，但同样蕴含了丰富的数学方法、数学思想和数学文化。要使学生获得适
21、应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，教师首先要具备丰厚的数学知识、扎实的数学技能和成熟的数学思想。只有这样，才能以一种宏观的、联系的、发展的观念去看待数学，而不拘泥于局部的、零散的、静态的认识，才能从更高更广的角度理解“数学是什么”、“小学生应该学习什么样的数学”等问题，才能在实施教学时信手拈来，游刃有余。首先，要及时补充与小学数学内容直接相关的数学知识。要求教师对数学的每个分支都进行深入研究并不现实，也无必要。但对基本内容和核心思想进行全面的了解，还是很有必要的。教师以何种高度看待小学数学内容直接决定了能否把课上出“数学味”来。其次，要关注数学学科的
22、最新发展动向。数学是一个不断发展着的学科，了解数学的发展历史、当前的发展状况以及未来的发展方向，对于教师理解数学的思想和文化至关重要。教师只有了解这些前沿信息，才能以数学自身的旺盛生命力和内在魅力吸引学生不断探索未知世界。深入还需浅出。由于小学教育的特殊性，教师除了具备厚实的数学功底以外，还要拥有将这些抽象的数学知识转化为生动活泼的“儿童数学”的能力，在课堂上以最朴素、最简洁、最直观、最易于理解的方式来呈现数学知识，化平凡为神奇，寓大道于最简，让学生真正体会数学的有趣，从而自发地产生亲近数学的愿望。在素材选取、活动设计等方面，只有充分考虑学生的发展水平，才能为学生提供一种科学性、严谨性与通俗性
23、、趣味性相统一的数学教育。“高处着眼，低处着手”，不仅是对小学数学教师的要求，更是全体数学教育工作者应努力达到的共同目标。所有数学教育工作者，包括理论工作者、课程设计者、教材编写者、教研人员、教师，都需要不断修炼内功，提高数学修养，以适应不断发展的数学教育的需要。同时，又应该以一种“低姿态”来提出教育理论、制订课程标准、编写教科书、设计教学。正如武侠小说中所描述的：“练拳不练功，到老一场空。练功不练拳，犹如无舵船。”如果各个层面的数学教育工作者都能既练好“功”，又练好“拳”，我们的数学教育就能少一分功利与浮躁，多一分平实与和谐。（作者为人民教育出版社小学数学室编辑）聚焦小学数学系列十：仅让学生
24、学会解题是不够的-追寻积极向上的数学教学目标数学是义务教育阶段的基础学科。之所以是基础，一方面是因为所选内容是每一个人在社会生活中必备的基本知识和基本技能；另一方面，还因为所学内容是后续学习的必要基础。然而实际上，在数学学习的过程中存在着大量的“解题”，本该充满基础性的数学学习往往被淹没在题海之中。我们究竟该如何辨析解题与数学学习之间的关系？如何全面考查学生学习数学的目标价值取向呢？解题不可见题发挥“解题”这个概念本身就值得探讨研究。解题是小学数学学习的重要组成部分与重要途径。我们不必讨论数学教学要不要解题，要解多少题，而是要研讨解什么样的题，如果都是“好”题，自然非常必要。如果再追问怎样的题
25、才算好题，那更是需要研讨的了。数学学习与解题的关系显然不能一概而论，需要慎重分析。一味摒弃解题，可能导致学生数学水平的降低；一味主张解题，进行题海战术，无疑会加重学生的负担。“解题”这样的传统话题值得深入细致研究，研究“解题”是减轻学生学习负担的重要途径。我们不能以减轻学生负担为名义对数学题妄加指责，而使数学学习趋向另一个极端。记得曾有多位文化名人对数学题“有一个水池，单开进水管，注满水池要5小时，单开出水管放完一池水要8小时，如果同时开两个水管，几小时能注满水池？”大加指责。其实这种批评是值得商榷的，因为这样的数学模型在现实生活中比比皆是。农田的灌溉，经过a田灌溉b田，影院进场和出场同时进行
26、，飞行工具能源的耗费与输入等，都是这种情境。不可否认，适当的解题是数学学习不可或缺的组成部分，尤其是那些富有现实性、趣味性、基础性、挑战性的问题理应成为学习数学的主要内容。但让人遗憾的是，日常教学中可能绝大多数的“解题”还是相当的程式化、机械化，难免让学生觉得枯燥乏味。数学学习要注重提升素养承认“解题”对数学学习的作用，并不是无限制地扩大它的价值，毕竟解题只是数学学习的途径与手段，绝不是数学学习的终极目标。在新课程背景下，许多学者呼吁从关注“双基”到“四基”，数学学习的目标在于掌握必需的基础知识和基本技能，积累丰富的活动经验，体悟数学的基本思想。数学学习不只是解题，在学习的过程中还将学会观察，
27、学会思考，学会表达，学会书写，学会合作。著名特级教师张天孝研究小学数学教学50年，他有一个治学心得是：“让学生在学习中学会学习，在思考中学会思考。”这正是对数学学习目标的精辟提升。如果以上的表述并不具有数学学科的特点的话，那么加上一个定语让学生用数学的眼光进行数学思考。比如，百货店的促销信息，人们不仅会关注哪个折扣低，还会关注标价的高低。美国统计学家戴维S穆尔的统计学的世界一书中有幅漫画，画的是一个人误以为平均水深就是每一个地方都是这样的水深而溺水死亡，从侧面反映了数学常识在现实生活中的作用。数学地思考，是数学学习的更高目标。数学学习过程中所倡导的思考方式是具有学科特点的。看到下面的图1时，别
28、的学科可能关注的是这幅图是多么的美观，但是对于数学学习来说，教师需要引导学生关注这个图形的组成与分解，引导学生思考的是多边形线的条数等。这种量化、精确化的思考方式是数学教学最根本的目标价值所在。数学要促进人的全面发展数学教学不只是为了数学。作为义务教育阶段的基础学科，数学学习的时间也是学生全面发展的时间。按每天1节课的时间计算，学生接近1/6的在校时间是在学习数学中度过的。这就要求数学教学不能仅限于教学数学，应该真正为人的长远发展服务。怎样与人合作，怎样在小组内表达自己的见解，怎样研究问题，学会分类，学会从多个现象中归纳出特点，学会从一个事件类比到另一个事件。学会学习，学会思考，学会与人相处，
29、这些都是数学教学的目标所在。把德育蕴含在数学学习中，其实大有文章可做。以下面的运行图为例。看完图，学生一般会作出这样的评价：阿明很贪玩，在商店买零食，到游戏机房玩游戏机，到邻居家逗留，最后才回家；阿芳很乖，放学就回家了；阿强丢三落四，回家后发现作业本没带又回去拿了。这时，我总讲八个字：仁者见仁，智者见智。学生的思维马上发散了：阿明到商店买学习用品，发现游戏机房有同学在，他过去劝阻，邻居家有小妹妹或者老奶奶要照顾，阿明很懂事；阿强回家后下雨了，想起学校的教室窗户没有关又回去了，是个爱集体的好学生。在同一节课上，1分钟前后有截然不同的表达。这种表达已经不再是对数学信息的解读。为什么解读不能先从好的
30、角度开始呢？同一个现象，从不同的角度看，所感悟到的是不一样的。乐观、积极、向上的情感态度，看待事物的多元视角是教育的本性诉求，数学教学也是如此。数学教学的评价需多元化数学教学不只是解题，也不只是教学数学。因此在评价数学学习目标的达成时，显然不能用简单的“会不会”来评价。在学习的过程中，教师还要考虑是否渗透了数学的方法，是否在学习的过程营造了学生之间良好的合作氛围，是否促成了学生学习数学的积极情感、态度，是否为后续的学习积累了丰富的活动经验，是否为形成数学的基本思想积存了感悟。例如，“乘法的认识”一节，当面对一个情境列出很多不同的连加算式时，教师可以引导学生把算式分为两类，一类是算式中的数全相同
31、，另一类是算式中的数不全相同。有了这样的分类，再引导学生把算式中数全相同的一类写成乘法的形式。在这个过程中，数学学习不再只是为了学会乘法算式怎么写、怎么读，而是让学生从不同的算式中通过自主分类，概括出乘法算式的意义。同时，在分类的过程中，如果把所有的算式分为两类，一类是“数全相同”，另一类是“数不全相同”，可以做到不重不漏。对于这个学习过程来说，教学的价值并非仅仅为了认识乘法算式，而是学会数学的基本方法分类，从而归纳同类算式的特点，然后用语言概括出乘法的意义。再比如“平均数”的教学，在联系现实生活情境时，面对一个公司平均工资为1000元和另一个公司工资众数为1000元的两个公司，作为一个刚毕业的大学生该如何择业？一方面可以考查学生对平均数的理解，理解平均数并不是代表这个公司的每个人的工资都是这个数；同时，也可以反映学生出对自身素质的定位和面对生活的态度。全面的、科学的数学学习评价，应该不限于对数学学习内容的评价，还应当关注学生的学习是否愉快，是否对内容有兴趣，是否对数学产生了积极的情感。大而言之，在数学学习的过程中，还渗透了一种潜在的理性精神和积极的人生价值观，这或许是数学学习真正“以人为本”的体现。
