1、湘教版九年级上册数学教案1第1章 一元二次方程第1课时 建立一元二次方程模型教学目标 1、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识。 2、理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程。 3、知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。重点难点重点：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式。难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型。教学过程（一）创设情境前面我们曾把实际问题转化成一元一次方程和二元一次方程组的模型，大家已经感受到了方程是刻画现实世界数量关系的工具。本节课我们将继续进行
2、建立方程模型的探究。 1、展示课本P.2问题一 引导学生设人行道宽度为xm，表示草坪边长为35-2xm，找等量关系，列出方程。(35-2x)2=900 2、展示课本P2问题二 引导思考：小明与小亮第一次相遇以后要再次相遇，他们走的路程有何关系?怎样用他们再次相遇的时间表示他们各自行驶的路程？通过思考上述问题，引导学生设经过ts小明与小亮相遇，用s表示他们各自行驶的路程，利用路程方面的等量关系列出方程2t+ 0.01t2=3t。 3、能把，化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把，化成下列形式： 4x2-140x+325=0， 0.01t2-2t=
3、0。 （二）探究新知1、观察上述方程和，启发学生归纳得出： 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知数且a0)， 其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。 2、让学生指出方程，中的二次项系数、一次项系数和常数项。（三）讲解例题例1：把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 解去括号，得 3x2+5x-12=x2+4x+4， 化简，得 2x2+x-16=0。 二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是-16
4、。 点评：一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a0)具有两个特征：一是方程的右边为0，二是左边二次项系数不能为0。此外要使学生认识到：二次项系数、一次项系数和常数项都是包括符号的。例2：下列方程，哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程?(1) 2x+3=5x-2； (2) x2=25；(3) (x-1)(x-2)=x2+6； (4) (x+2)(3x-1)=(x-1)2。解方程(1)，(3)是一元一次方程；方程(2)，(4)是一元二次方程。点评：通过一元一次方程与一元二次方程的比较，使学生深刻理解一元二次方程的意义。（四）应用新知课本P4，练习第3题，（五）课堂小结 1、一元二次方程的
5、显著特征是：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。 2、一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a0)，一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的。 3、在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。 （六）思考与拓展 当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程? 当a1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b0时是一元一次方程
6、。布置作业 课本习题1.1中A组第1，2，3题。第2课时 因式分解法、直接开平方法（一）教学目标1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k0)的方程。3、引导学生体会“降次”化归的思路。重点难点重点：掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k0)的方程。难点：通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。教学过程 （一）复习引入1、判断下列说法是否正确(1) 若p=1，q=1，则pq=l( )， 若pq=l，则p=1，q=1( )；(2) 若p=0，g=0，则pq=0
7、( )， 若pq=0，则p=0或q=0( )；(3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )， 若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )；(4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )， 若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。答案：(1) ，。 (2) ，。 (3)，。 (4)，。2、填空：若x2=a；则x叫a的 ，x= ；若x2=4，则x= ； 若x2=2，则x= 。答案：平方根， ，2， 。 （二）创设情境前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方
8、程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。 给出11节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? （三）探究新知让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。 （四）讲解例题展示课本P7例1，例2。 按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一
9、元二次方程。 引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。 因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。 直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。 注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程； (2) 直接开平方法
10、适用于形如(ax+b)2=k(k0)的方程，由于负数没有平方根，所以规定k0，当k0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；由例11知，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 2、让学生观察方程(x+ )2- =0，当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实数解吗？试讨论方程x2+x+1=0有没有实数解？ 通过对此问题的讨论让学生明确：当b2-4ac0时，一元二次方程没有实数解。所以在运用公式法解一元二次方程时，先要计算b2-4ac的值，当b2-4ac0时，可以用公式法求解；当b2-4ac0， 所以原方程有两个不相等的实数根。 (2) 原方程可化为x2-3x+ =0
11、， 因为b2-4ac=(-3)2-41 =0，所以原方程有两个相等的实数根。(3) 因为b2-4ac=(-6)2-4 21=-60，即m1。 (2) 因为原方程有两个相等的实数根，所以-4m+4=0，即m=1。 (3) 因为原方程无实数根，所以-4m+41。布置作业课本习题12中A组第5题，选做B组第1题的(2)(4)(6)(8)，第4题。第8课时 一元二次方程的应用（一）教学目标 1、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。 2、在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力。重点难点重点：建立一元二次方程模型解决一些代数问题。难点：把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题。教学过程（一）复习引入1、回顾：你已经学过了用什么样的方程解应用题？“列方程解应用题”你有什么经验？让学生自己总结，因人而异，教师可以加以引导归纳。 2、填空： （1）当x= 时，代数式3x-5与3-2x的值互为相反数。 （2）当x= ，y= 时，代数式2x+y的值为6，代数式3x-y的值为9。 （3）一元二次方程ax2bxc0（a0），当b2-4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程没有实数根。（二）创设情境前面我们已经体会到方程是刻画现实世界数
