1、整式的乘法与因式分解知识点及例题整 式 乘 除 与 因 式 分一.知识点(重点)1幕的运算性质：am an= am*n (m、n为正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加例： (2a)2( 3a2)3m n2.a = amn (m、n为正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘.例： (a5)5n n n3.ab a b (n为正整数)积的乘方等于各因式乘方的积.例： (一a2b)3练习：(1) 5x3 2x2y(2)23ab ( 4b )(3) 3ab 2a(4) yz 2y2z2(5)3(2x y) ( 4xy ),、1 3, 小 5, 2 , 2、2(6) a b 6a b c ( ac )3
2、4. a a = am n (0, m、n 都是正整数，且 m n) 同底数幕相除，底数不变，指数相减.例：(1) x8十 x2 ( 2) a4+ a (3) (ab) 5十(ab) 2(4) (-a) 7*(-a) ( 5) (-b) 5* (-b)25.零指数幕的概念：a0= 1 (az 0)任何一个不等于零的数的零指数幕都等于 I.例：若(2a 3b) 1成立，则a, b满足什么条件？丄 p6负指数幕的概念：a p= a ( az 0, p是正整数)任何一个不等于零的数的- p (p是正整数)指数幕，等于这个数的 p指数幕的倒数.p pn m也可表示为： m n (m z0, nz 0,
3、 p为正整数)7单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幕分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数 作为积的一个因式.1 i例：(1) 3a2b 2abc abc2 (2) ( m3n)3 ( 2m2n)43 2&单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.2 2 2 2 1例：(1) 2ab(5ab 3a b) (2) (ab 2ab) ab3 22 2 2 2 3(3) (-5m n) (2n 3m n ) (4) 2(x y z xy z ) xyz9 多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，
4、先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.例：(1)(1 x)(0.6 x) (2)(2x y)( x y) (3)( 2m n)2练习：11计算 2x 3 (-2xy)( xy) 3 的结果是 2. (3 X 10 8) x (-4X 10 4)=23.若n为正整数，且x 2n= 3,则(3x 3n) 2的值为 4如果(a nb ab m) 3= a 9b 15，那么mn的值是 15. a 2(2a 3 a) = 6. ( 4x 2+ 6x 8) ( 1 x 2)=27. 2n( 1 + 3mn 2) = 8.若 k(2k 5) + 2k(1 k) = 32,贝U
5、k= 9.( 3x 2)+ (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y) = 110 .在(ax 2+ bx 3)(x 2 x+ 8)的结果中不含 x 3 和 x 项，贝V a= , b =_211. 一个长方体的长为(a+ 4)cm，宽为(a 3)cm，高为(a + 5)cm，则它的表面积为 ，体积为 。12. 一个长方形的长是 10cm,宽比长少6cm，则它的面积是 ，若将长方形的长和都扩大了 2cm，则面积增大了 。10.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.例：(1) 28x4y2- 7x3
6、y (2) -5a5b3c+ 15a4b (3) (2x2y) 3 (-7xy2)+ 14x4y3多项式除以单项式，先把这个多项式的每一单项式，再把所得的商相加.6xy)6xy例：(1) (3x2y练习：1.计算：3 4 2 312 22 3(1)xyzx y ；(2)2x y77(3)616a b4 ab 2 .(4).3 2n 24x y(5)4 109210311.多项式除以单项式的法则:项除以这个(5a3b 10a2b2 15ab3) ( 5ab)2xyn2计算:3 3 12 312 21 2(1) 16x y x yxy ；(2) x yx y225233221xy5 n 12(3)
7、 a b2-anbn53计算:/八， 5 4 小 3 2(1) 4 x y x y 6 y x x y ；6 , 5 , 3(2) 16 a b a b aba4.若(ax3my12)十3x3y2n)=4x 6y8 ,则 a =易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；有关多项式的乘法计算出现错误；误用同底数幕的除法法则；用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错;乘除混合运算顺序出错。12.乘法公式：1平方差公式：(a+ b) (a b)= a2 b2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.2完全平方公式：(a+ b) 2= a2+ 2ab+ b2(a
8、b) 2= a2 2ab+ b2文字语言叙述：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2 倍.例1:(1) (7+6x)(7-6x)；(2) (3y + x)(x-3y)；(3) (-m + 2n)(-m-2n)例2:2(1) (x+6) (2) (y-5)2(3) (-2x+5)2练习：厂 4c 3521、aa = o2、6a4b312a3b4 8a3b2x(x3y2)2 2(x2y)3 ( xy2)3 =2a3b2 ( )3、29y (x)2 ； X22x35 (x 7)(4、已知5，那么x3 丄x5、2若9xmxy 16 y是一个完全平方式，那么m的值是6
9、、多项式2 2X ,X2x 1,x2 x 2的公因式是38 272 1 2&因式分解：4m2 2mn n2 。49、 计算：0.131 8 0.004 8 0.002 8 2 210、 x y x y (x y) A，贝U A= 易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。13.因式分解(难点)因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；(2)因式分解必须是恒等变形；(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 弄清因式分解与整式乘
10、法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.二、熟练掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念；(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母 各项含有的相同字母；指数 相同字母的最低次数；(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是，提取完公因 式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底” ；如果多项式的第一项的系数是负的,一
11、般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数是正的.例：(1) 8a b 12ab c (2) 75x y 35x y2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：1平方差公式： a2 b2= ( a+ b) ( a- b)2完全平方公式：a2 + 2ab+ b2=( a+ b) 2a2 2ab+ b2=( a b) 2例：( 1) a2b2 0.25c 2 ( 2) 9(a b)2 6(b a) 1224)(x y)2 12(x y)z 36z2练习：I、 若x2 2(m 3)x 16是完全平方式，则 m的值等于 。 2、x2 x m (x n)2则m= n= 3
12、、2x3y2与 12x6y 的公因式是 4、若 xm yn =(x y2)(x y2)(x2 y4)，贝U m= , n= 。5、 在多项式 m2 n2, a2 b2,x4 4y2, 4s2 9t4 中，可以用平方差公式分解因式的有 ，其结果是 。26、 若 x2 2(m 3)x 16是完全平方式，则 m= 。2 2 2004 2005 20067、 x2 ( ) x 2 (x 2)(x ) 8、已知 1 x x2 x2004 x2005 0,则 x2006 .2 2 2 2 29、若 16(a b) M 25是完全平方式 M= 。10、x 6x _ (x 3) , x _ 9 (x 3)II
13、、 若9x2 k y2是完全平方式，则 k= 。12、若x2 4x 4的值为0，则3x2 12x 5的值是 。2 2 213、若 x ax 15 (x 1)(x 15)则 a= 。 14、若 x y 4,x y 6则 xy _。215、方程 x2 4x 0，的解是 。易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误； 分解因式不彻底。中考考点解读：整式的乘除是初中数学的基础 ,是中考的一个重点内容 .其考点主要涉及以下几个方面：考点 1 、幂的有关运算例1. ( 2009年湘西)在下列运算中，计算正确的是( )3 2 6 2、3 5(A) a a a (B) (a ) a(C) a
14、a a (D) (ab ) a b分析:幕的运算包括同底数幕的乘法运算、 幕的乘方、积的乘方和同底数幕的除法运算 幕的运算是整式乘除运算的基础，准确解决幕的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则解：根据同底数幕的乘法运算法则知 a3 a2 a3 2 a5，所以(A)错；根据幕的乘方运算法则知(a2)3 a2 3 a6，所以(B)错；根据同底数幕的除法法则知 a8 a2 a8 2 a6，所以(C)错；故选(D).例2. (2009年齐齐哈尔)已知10m 2，10n 3，则103m 2n .分析:本题主要考查幕的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幕的乘法法则 am an amn,将指数相加化为幕相
15、乘的形式，再逆用幕的乘方的法则(am)n amn,将指数相乘转化为幕的乘方的形式，然后代入求值即可.解：103m2n 103m 102n (10m)3 (10n)2 23 32 72.考点2、整式的乘法运算例 3. ( 2009 年贺州)计算：(2a) (la3 1) = .4分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算 计算时，按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算 ，注意符号的变化.1 1 1解：(2a) ( a3 1) = ( 2a) a3 ( 2a) 1 = a4 2a.4 4 2考点3、乘法公式2例4. (2009年山西省)计算：X 3 x 1 x 2分析:运用多项式的乘法法则以及
16、乘法公式进行运算，然后合并同类项2 2 2解： x 3 x 1 x 2 =x 6x 9 (x 2x x 2)2 2=x 6x 9 x 2x x 2=9x 7.3例5. (2009年宁夏)已知：a b -, ab 1，化简(a 2)(b 2)的结果是2分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算 首先按照法则进行计算，然后灵活变形，使其出现(a b )与ab ,以便求值.解：(a 2)(b 2) = ab 2a 2b4= ab2(ab) 4=129 422.考点4、利用整式运算求代数式的值例6. (2009年长沙)先化简，再求值:(ab)(ab) (ab)22a2,其中a 3, b 分析:本题是一
17、道综合计算题，主要在于乘法公式的应用解：(a b)(a b) (a b)2 2a22 ab22 a2ab b2 2a22ab11a 3,b时，2ab 2 3233考点5、整式的除法运算例 7. (2009 年厦门)计算:(2x y)(2x+ y) + y(y 6x)乞x分析:本题的一道综合计算题，首先要先算中括号内的，注意乘法公式的使用，然后再进行整式的除法运算解：(2x y)( 2x+ y) + y(y 6x)乞x=(4x2 y2 + y2 6xy) -2x=(4x2 6xy) -x =2x 3y.考点6、定义新运算例8. (2009年定西)在实数范围内定义运算“ ”，其法则为：aba2 b
18、2，求方程(4 3) x 24的解.分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式b a2b2可知，在本题中“ ”定义的是平方差运算，即用“”前边的数的平方减去“ ”后边的数的平方解：aba2b2 ,(42 23) x (4 3 )7272x2 24 .x2 25考点7、乘法公式例3 (1) (2009年白银市)当xy 1时，代数式(xy)(xy)y2的值是(2) (2009年十堰市)已知：a+b=3.ab=2，求 a2+b2 的值.解析：问题(1)主要是对乘法的平方差公式的考查 原式=x 2- y 2 +y 2=x 2 = 3 2=9.问题(2)考查了完全平方公式的变形应用， (a
19、b)2 a2 2ab b2，二 a2b2 (a b)2 2ab 32 2 2 5说明：乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质,把握公式的特征，熟练灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简单快捷，事半功倍考点8、因式分解例4 (1) (2009年本溪市)分解因式：xy29x(2) (2009年锦州市)分解因式：a2b-2ab2+b3=解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征，如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解(1) xy 9x x (y 2-9)= x(y 3)( y 3).(2)a2b-2ab2+b3= b(a2-2ab +b2) =b(a-b)2.说明：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止
