1、习题 11 1.设 A=(,5)(5,+),B=10,3),写出 AB,AB,AB 及 A(AB)的表达式.解 AB=(,3)(5,+),AB=10,5),AB=(,10)(5,+),A(AB)=10,5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:(AB)C=AC B C.证明 因为 x(AB)CxAB xA或xB xAC或xB C xAC B C,所以 (AB)C=AC B C.3.设映射 f:X Y,AX,BX.证明 (1)f(AB)=f(A)f(B);(2)f(AB)f(A)f(B).证明 因为 yf(AB)xAB,使 f(x)=y (因为 xA 或 xB)yf(A)或 yf(B)y f
2、(A)f(B),所以 f(AB)=f(A)f(B).(2)因为 yf(AB)xAB,使 f(x)=y(因为 xA 且 xB)yf(A)且 yf(B)y f(A)f(B),所以 f(AB)f(A)f(B).4.设映射f:XY,若存在一个映射g:YX,使,其中IXIfg=?YIgf=?X、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xX,有IX x=x;对于每一个yY,有IY y=y.证明:f是双射,且g是f的逆映射:g=f 1.证明 因为对于任意的yY,有x=g(y)X,且f(x)=fg(y)=I y y=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1x2,必有f
3、(x1)f(x2),否则若f(x1)=f(x2)g f(x1)=gf(x2)x1=x2.因此 f 既是单射,又是满射,即 f 是双射.对于映射g:YX,因为对每个yY,有g(y)=xX,且满足f(x)=fg(y)=I y y=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.5.设映射 f:XY,AX.证明:(1)f 1(f(A)A;(2)当f是单射时,有f 1(f(A)=A.证明(1)因为xA f(x)=yf(A)f 1(y)=xf 1(f(A),所以 f 1(f(A)A.(2)由(1)知f 1(f(A)A.另一方面,对于任意的xf 1(f(A)存在yf(A),使f 1(y)=xf(x)=y.因为yf(A
4、)且f是单射,所以xA.这就证明了f 1(f(A)A.因此f 1(f(A)=A.6.求下列函数的自然定义域:(1)23+=xy;解 由 3x+20 得32x.函数的定义域为),32+.(2)211xy=;解 由 1x20 得x1.函数的定义域为(,1)(1,1)(1,+).(3)211xxy=;解 由x0 且 1x20 得函数的定义域D=1,0)(0,1.(4)241xy=;解 由 4x20 得|x|0 得函数的定义域 D=(1,+).(10)xey1=.解 由 x0 得函数的定义域 D=(,0)(0,+).7.下列各题中,函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2
5、,g(x)=2lg x;(2)f(x)=x,g(x)=2x;(3)334)(xxxf=,31)(=xxxg.(4)f(x)=1,g(x)=sec2xtan2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x0 时,g(x)=x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设0,1x 20.因为当x1x2时,0)1)(1(112121221121=xxxxxxxxyy,所以函数xxy=1在区间(,1)内是单调增加的.(2)对于任意的x1,x2(0,+),当x1x2时,有 0ln)()ln()ln(2121221121+=+=xxxxxxxxyy,所以
6、函数 y=x+ln x 在区间(0,+)内是单调增加的.10.设 f(x)为定义在(l,l)内的奇函数,若 f(x)在(0,l)内单调增加,证明 f(x)在(l,0)内也单调增加.证明 对于x1,x2(l,0)且x1x2.因为 f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数,所以 f(x2)f(x1),f(x2)f(x1),这就证明了对于x1,x2(l,0),有f(x1)0);(4)f(x+a)+f(xa)(a0).解(1)由 0 x21 得|x|1,所以函数f(x2)的定义域为1,1.(2)由 0sin x1 得 2nx(2n+1)(n=0,1,2 ),所以函数 f(sin x)的定义域为 2n,
7、(2n+1)(n=0,1,2 ).(3)由 0 x+a1 得ax1a,所以函数 f(x+a)的定义域为a,1a.(4)由 0 x+a1 且 0 xa1 得:当210a时,无解.因此当210a时函数无意义.18.设=0,040cot0hhS?确定,定义域为?40cot00Sh.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？解(1)当0 x100时
8、,p=90.令0.01(x0100)=9075,得x0=1600.因此当x1600时,p=75.当100 x1600时,p=90(x100)0.01=910.01x.综合上述结果得到 .=1600 751600100 01.0911000 90 xxxxp (2).N时,xnnxlimn与其极限之差的绝对值小于正数,当=0.001 时,求出数N.解.0lim=nnx nnnxn1|2cos|0|=.0,要使|x n0|,只要n.取1=N,则nN,有|xn0|.当=0.001 时,1=N=1000.3.根据数列极限的定义证明:(1)01lim2=nn;(2)231213lim=+nnn;(3)1
9、lim22=+nann (4).19 999.0lim=?个nn (1)分析 要使n,即1n.证明 因为0,1=N,当 nN 时,有|01|2n,所以01lim2=nn.(2)分析 要使+=+nnnn41)12(21|231213|,只须n.证明 因为0,41=N,当 nN 时,有+|231213|nn,所以231213lim=+nnn.(3)分析 要使.证明 因为0,2aN=,当nN 时,有+|1|22nan,所以1lim22=+nann.(4)分析 要使|0.99 91|=1101n,只须1101nn.证明 因为0,1lg1+=N,当nN 时,有|0.99 91|0,NN,当 nN 时,有
10、,从而 aunn=lim|aun|un|a|una|0,NN,当 nN 时,有0lim=nnyMynN 时,有 =0,K1,当 2k2K1时,有|x2ka|2K2+1 时,有|x2k+1a|N,就有|xna|.因此xna(n).习题 13 1.根据函数极限的定义证明:(1);8)13(lim3=xx (2);12)25(lim2=+xx (3)424lim22=+xxx;(4)21241lim321=+xxx.证明(1)分析|(3x1)8|=|3x9|=3|x3|,要使|(3x1)8|,只须31|3|0,31=,当 0|x3|时,有|(3x1)8|,所以.8)13(lim3=xx (2)分析|
11、(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|,要使|(5x+2)12|,只须51|2|0,51=,当 0|x2|时,有|(5x+2)12|,所以.12)25(lim2=+xx (3)分析|)2(|2|244)4(2422=+=+=+xxxxxxx,要使+)4(242xx,只须0,=,当 0|x(2)|时,有+)4(242xx,所以424lim22=+xxx.(4)分析|)21(|2|221|212413=+xxxx,要使+212413xx,只须21|)21(|0,21=,当|)21(|0 x时,有+212413xx,所以21241lim321=+xxx.2.根据函数极限的定义证明:(1)212
12、1lim33=+xxx;(2)0sinlim=+xxx.证明(1)分析 333333|21212121xxxxxx=+=+,要使+212133xx,只须x.证明 因为 0,321=X,当|x|X 时,有+212133xx,所以2121lim33=+xxx.(2)分析 xxxxx1|sin|0sin=,要使0sinxx,只须x.证明 因为0,21=X,当 xX 时,有0sinxx,所以0sinlim=+xxx.3.当x2 时,y=x24.问等于多少,使当|x2|时,|y4|0.001？解 由于x2,|x2|0,不妨设|x2|1,即 1x3.要使|x24|=|x+2|x2|5|x2|0.001,只
13、要0002.05001.0|2|=x,取=0.0002,则当 0|x2|时,就有|x24|X 时,|y1|0.01?解 要使01.034131222x,397=X.5.证明函数 f(x)=|x|当 x0 时极限为零.6.求,)(xxxf=xxx|)(=当 x0 时的左右极限,并说明它们在 x0 时的极限是否存在.证明 因为 11limlim)(lim000=xxxxxxf,11limlim)(lim000=+xxxxxxf,)(lim)(lim00 xfxfxx+=所以极限存在.)(lim0 xfx 因为 1lim|lim)(lim000=xxxxxxxx,1lim|lim)(lim000=+
14、xxxxxxxx,)(lim)(lim00 xxxx+所以极限不存在.)(lim0 xx 7.证明:若 x+及 x时,函数 f(x)的极限都存在且都等于 A,则.Axfx=)(lim 证明 因为,所以0,Axfx=)(limAxfx=+)(lim X10,使当xX1时,有|f(x)A|0,使当xX2时,有|f(x)A|X时,有|f(x)A|0,0,使当 0|xx0|时,有|f(x)A|.因此当x0 xx0和x0 xx0+时都有|f(x)A|0,10,使当x01xx0时,有|f(x)A0,使当x0 xx0+2时,有|f(x)A|.取=min1,2,则当0|xx0|时,有x01xx0及x0 xx0
15、+2,从而有|f(x)A|0 及M0,使当|x|X 时,|f(x)|0,当|x|X 时,有|f(x)A|=1.所以|f(x)|=|f(x)A+A|f(x)A|+|A|0 及 M0,使当|x|X 时,|f(x)|0,=,当 0|x3|时,有=0,=,当 0|x0|时,有=104？证明 分析2|11221|+=+=xxxxy,要使|y|M,只须Mx2|1,即21|+0,21+=M,使当 0|x0|+21,所以当 x0 时,函数xxy21+=是无穷大.取M=104,则21014+=.当2101|0|04+104.4.求下列极限并说明理由:(1)xxn12lim+;(2)xxx11lim20.解(1)
16、因为xxx1212+=+,而当 x 时x1是无穷小,所以212lim=+xxn.(2)因为xxx+=1112(x1),而当 x0 时 x 为无穷小,所以111lim20=xxx.5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:6.函数 y=xcos x 在(,+)内是否有界？这个函数是否为当 x+时的无穷大？为什么？解 函数 y=xcos x 在(,+)内无界.这是因为M0,在(,+)内总能找到这样的 x,使得|y(x)|M.例如 y(2k)=2k cos2k=2k(k=0,1,2,),当 k 充分大时,就有|y(2k)|M.当 x+时,函数 y=xcos x 不是无穷大.这是因为M0,找不到这样一个
17、时刻 N,使对一切大于 N 的 x,都有|y(x)|M.例如 0)22cos()22()22(=+=+kkky(k=0,1,2,),对任何大的 N,当 k 充分大时,总有Nkx+=22,但|y(x)|=00,在(0,1中总可以找到点xk,使y(xk)M.例如当 221+=kxk(k=0,1,2,)时,有 22)(+=kxyk,当k充分大时,y(xk)M.当x0+时,函数xxy1sin1=不是无穷大.这是因为 M0,对所有的0,总可以找到这样的点xk,使 0 xk,但y(xk)M.例如可取 kxk21=(k=0,1,2,),当k充分大时,xk,但y(xk)=2ksin2k=0M.习题 15 1.
18、计算下列极限:(1)35lim22+xxx;解 9325235lim222=+=+xxx.(2)13lim223+xxx;解 01)3(3)3(13lim22223=+=+xxx.(3)112lim221+xxxx;解 02011lim)1)(1()1(lim112lim121221=+=+=+xxxxxxxxxxx.(4)xxxxxx2324lim2230+;解 2123124lim2324lim202230=+=+xxxxxxxxxx.(5)hxhxh220)(lim+;解 xhxhxhhxxhxhxhhh2)2(lim2lim)(lim02220220=+=+=+.(6)112(lim2
19、xxx+;解 21lim1lim2)112(lim22=+=+xxxxxxx.(7)121lim22xxxx;解 2111211lim121lim2222=xxxxxxxx.(8)13lim242+xxxxx;解 013lim242=+xxxxx(分子次数低于分母次数,极限为零)或 012111lim13lim4232242=+=+xxxxxxxxxx.(9)4586lim224+xxxxx;解 32142412lim)4)(1()4)(2(lim4586lim44224=+xxxxxxxxxxxxx.(10)12)(11(lim2xxx+;解 221)12(lim)11(lim)12)(11
20、(lim22=+=+xxxxxxx.(11)21 41211(limnn+;解 2211)21(1lim)21 41211(lim1=+nnnn.(12)2)1(321limnnn+;解 211lim212)1(lim)1(321lim22=+nnnnnnnnnn.(13)35)3)(2)(1(limnnnnn+;解 515)3)(2)(1(lim3=+nnnnn(分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim515)3)(2)(1(lim3=+=+nnnnnnnnn.(14)1311(lim31xxx;解 112lim)1)(1()2)(1(lim)1
21、)(1(31lim)1311(lim212122131=+=+=+=xxxxxxxxxxxxxxxxxxx.2.计算下列极限:(1)2232)2(2lim+xxxx;解 因为01602)2(lim2322=+xxxx,所以=+2232)2(2limxxxx.(2)12lim2+xxx;解=+12lim2xxx(因为分子次数高于分母次数).(3).)12(lim3+xxx 解(因为分子次数高于分母次数).=+)12(lim3xxx 3.计算下列极限:(1)xxx1sinlim20;解 01sinlim20=xxx(当x0 时,x2是无穷小,而x1sin是有界变量).(2)xxxarctanlim
22、.解 0arctan1limarctanlim=xxxxxx(当 x时,x1是无穷小,而 arctan x 是有界变量).4.证明本节定理 3 中的(2).习题 16 1.计算下列极限:(1)xxxsinlim0;解=xxxxxxsinlimsinlim00.(2)xxx3tanlim0;解 33cos133sinlim33tanlim00=xxxxxxx.(3)xxx5sin2sinlim0;解 52525sin522sinlim5sin2sinlim00=xxxxxxxx.(4);xxxcotlim0 解 1coslimsinlimcossinlimcotlim0000=xxxxxxxxx
23、xxx.(5)xxxxsin2cos1lim0;解法一()2sinlim2sin2lim2cos1limsin2cos1lim20220200=xxxxxxxxxxxxx.解法二 2sinlim2sinsin2limsin2cos1lim0200=xxxxxxxxxxx.(6)nnnx2sin2lim(x 为不等于零的常数).解 xxxxxnnnnnn=22sinlim2sin2lim.2.计算下列极限:(1)xxx10)1(lim;解 11)(10)1()(1010)(1 lim)(1 lim)1(lim=+=+=exxxxxxxxx.(2)xxx10)21(lim+;解 222102210
24、10)21(lim)21(lim)21(limexxxxxxxxx=+=+=+.(3)xxxx2)1(lim+;解 222)11(lim)1(limexxxxxxx=+=+.(4)kxxx)11(lim(k 为正整数).解 kkxxkxxexx=+=)()11(lim)11(lim.3.根据函数极限的定义,证明极限存在的准则 I.解 4.利用极限存在准则证明:(1)111lim=+nn;证明 因为nn11111+,而 且11lim=n1)11(lim=+nn,由极限存在准则 I,111lim=+nn.(2)()11 211lim222=+nnnnnn;证明 因为 ()+22222221 211
25、nnnnnnnnnn,而 1lim22=+nnnn,1lim22=+nnn,所以 ()11 211lim222=+nnnnnn.(3)数列2,22+,222+,的极限存在;证明 21=x,nnxx+=+21(n=1,2,3,).先证明数列xn有界.当n=1 时221=x,假定n=k时xk2,当n=k+1 时,22221=+=+kkxx,所以xn2(n=1,2,3,),即数列xn有界.再证明数列单调增.nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx+=+=+=+2)1)(2(22221,而xn20,所以xn+1xn0,即数列xn单调增.因为数列xn单调增加有上界,所以此数列是有极限的.(4)1
26、1lim0=+nxx;证明 当|x|1 时,则有 1+x1+|x|(1+|x|)n,1+x1|x|(1|x|)n,从而有|11|1xxxn+.因为 ,1|)|1(lim|)|1(lim00=+=xxxx根据夹逼准则,有 11lim0=+nxx.(5)11lim0=+xxx.证明 因为 xxx1111,所以 111xxx.又因为,根据夹逼准则,有11lim)1(lim00=+xxx 11lim0=+xxx.习题 17 1.当x0 时,2xx2 与x2x3相比,哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim2lim202320=xxxxxxxxx,所以当x0 时,x2x3是高阶无穷小,即x2x3=o(2x
27、x2).2.当x1 时,无穷小 1x和(1)1x3,(2)1(212x是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim1)1)(1(lim11lim212131=+=+=xxxxxxxxxxx,所以当x1 时,1x和 1x3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim211)1(21lim121=+=xxxxx,所以当 x1 时,1x 和)1(212x是同阶的无穷小,而且是等价无穷小.3.证明:当 x0 时,有:(1)arctanxx;(2)21sec2xx.证明(1)因为1tanlimarctanlim00=yyxxyx(提示:令 y=arctan x,则当 x0 时,y 0)
28、,所以当 x0 时,arctanxx.(2)因为()122sin2lim22sin2limcoscos1lim2211seclim202202020=xxxxxxxxxxxxx,所以当 x0 时,21sec2xx.4.利用等价无穷小的性质,求下列极限:(1)xxx23tanlim0;(2)mnxxx)(sin)sin(lim0(n,m 为正整数);(3)xxxx30sinsintanlim;(4)1sin1)(11(tansinlim320+xxxxx.解(1)2323lim23tanlim00=xxxxxx.(2)=mnmnmnxxxxmnxmnx 0 1lim)(sin)sin(lim00
29、.(3)21cos21limsincoscos1limsin)1cos1(sinlimsinsintanlim220203030=xxxxxxxxxxxxxxxx.(4)因为 32221)2(22sintan2)1(costantansinxxxxxxxxx=(x0),2323222323111)1(11xxxxx+=+(x0),xxxxxsin1sin1sin1sin1+=+(x0),所以 33121lim)1sin1)(11(tansinlim230320=+xxxxxxxxx.5.证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1)(自反性);(2)若,则(对称性);(3)若,则(传递性).证明(1
30、)1lim=,所以 ;(2)若,则1lim=,从而1lim=.因此;(3)若,1limlimlim=.因此.习题 18 1.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:(1);=1|111 )(xxxxf 解(1)已知多项式函数是连续函数,所以函数 f(x)在0,1)和(1,2内是连续的.在 x=1 处,因为 f(1)=1,1lim)(lim211=xxfxx1)2(lim)(lim11=+xxfxx所以,从而函数 f(x)在 x=1 处是连续的.1)(lim1=xfx 综上所述，函数 f(x)在0,2上是连续函数.(2)只需考察函数在 x=1 和 x=1 处的连续性.在x=1处,因为f(1)=1
31、,所以函数在 x=1 处间断,但右连续.)1(11lim)(lim11=fxfxx)1(1lim)(lim11=+fxxfxx 在 x=1 处,因为 f(1)=1,=f(1),=f(1),所以函数在 x=1 处连续.1lim)(lim11=xxfxx11lim)(lim11=+xxxf 综合上述讨论,函数在(,1)和(1,+)内连续,在 x=1 处间断,但右连续.2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+=xxxy,x=1,x=2;(2)xxytan=,x=k,2+=kx(k=0,1,2,);(3),1cos2x
32、y=x=0;(4),x=1.=1 31 1xxxxy 解(1)1)(2()1)(1(23122+=+=xxxxxxxy.因为函数在 x=2 和 x=1 处无定义,所以 x=2 和 x=1 是函数的间断点.因为=+=231limlim2222xxxyxx,所以 x=2 是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim11=+=xxyxx,所以 x=1 是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在 x=1 处,令 y=2,则函数在 x=1 处成为连续的.(2)函数在点 x=k(kZ)和2+=kx(kZ)处无定义,因而这些点都是函数的间断点.因=xxkxtanlim(k0),故 x=k(k0)是第
33、二类间断点;因为1tanlim0=xxx,0tanlim2=+xxkx(kZ),所以 x=0 和2+=kx(kZ)是第一类间断点且是可去间断点.令y|x=0=1,则函数在x=0 处成为连续的;令2+=kx时,y=0,则函数在2+=kx处成为连续的.(3)因为函数xy1cos2=在 x=0 处无定义,所以 x=0 是函数xy1cos2=的间断点.又因为xx1coslim20不存在,所以 x=0 是函数的第二类间断点.(4)因为,所以x=1是函数的第一类不可去间断点.0)1(lim)(lim11=xxfxx2)3(lim)(lim11=+xxfxx 3.讨论函数xxxxfnnn2211lim)(+=的连续性,若有间断点,判别其类型.解=+=1|1|01|11lim)(22xxxxxxxxxfnnn.在分段点x=1处,因为,所以x=1为函数的第一类不可去间断点.1)(lim)(lim11=xxf
