1、八年级数学竞赛试题及答案 精品文档 梨洲中学数学竞赛初二试题（五） 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被，52，3，41将1， ）这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ 种（D）5 种 （B）3种 （C）4 （A）2种 路1818路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆2小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆车，那么发路公交车总站每隔固定时间发一辆公交车假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18 分钟 车间隔的时间是 ABC AD是BAC点M是BC的中点， 3如图，在=11中，AB=7，AC， ，则的平分线，MFADFC的长为 2921?a101
2、8?aa? ?a则，且满足，a4已知00d，c，满足不等式411沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的个数a，b. c的位置，这称为一次操作可以交换b，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连，64，5）若圆周上依次放着数1，2，3，（1)cb?d(a?)(. ？请说明理由0，都有，d，个数的4a，bc，问：是否能经过有限次，200321，（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数cbad)()(?. ？请说明理由，都有，个数操作后，对圆周上任意依次相连的4a，bc，d0 ）解：（1 1 26 53 4 ）2（ 精品文档 精品文档baabbax?，为互质的正整数（即812
3、已知，），且是正整数，且它们的最大公约数为1， a1?x?32?1? ；（）求所有满足条件的x（）试写出一个满足条件的x ）的平分线。（1分别是BAC、ABCBC、Q分别在，BQCA上，并且AP、P13、如下图已知ABC内，=直接写出BAC时，ACB=其他条件不变，若；=求证：，ACB=40，BQ+AQAB+BP（2）=60若BAC BP。+ ）时，仍有BQAQ=AB （ 精品文档 精品文档3的正三角形,一定存在一个边长为:1它的或14、用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色.求证三个顶点是同色的. 15. 将1, 2, 3, ，10这十个数按着某一顺序排成一行, 使得每相邻三个数的和都
4、不超出n. 问:( 1)当n= 10时, 能否排成, 请说明理由;( 2)当能够排成时, n 的最小值是多少? 精品文档 精品文档 中的最大者的最小值；b，c）求abc=4.（1a，+，16. 已知实数ab，c满足：a+bc=2， ca?. 2）求的最小值（ .=DE=恰有,延长边到点D,CA到点E连结DE,AD=BCCEAB,=中，在等腰三角形4（17本题分）ABCABAC延长边BAC? 的度数。求 E A CB D 精品文档 精品文档 参考答案 4，5的一个满足要求的排列是a，a1，2，3，、法一：设a，a，a，52341 a，a，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知
5、条件矛盾首先，对于a，a，4123是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上+2是奇数，则a3又如果a（1i）是偶数，a+1iii 的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数 种情形满足条件：只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5，a，a，a，a所以a52314 5；，21，3，4， 1；，3，5，4，2 3；5，1，4，2， ；，1，2，54，3 ，3，2，14，525341 、21543、2514323541、法二：第一位是2，后面两位奇数任意：21345、23145、45321 43125、43521、，后面两位奇数不能是1、5或5、1：41325第一位是443521 25341、4132
6、5、排除：23145、21543、45321 、43125还剩：21345、25143、23541 种排法故选：D所以共有5 分，同向行驶的相邻两车的间距为s米x米/分，小王行走的速度是y米/、设18路公交车的速度是 =s路公交车，则6x6y每隔6分钟从背后开过一辆18 =s路公交车，则3x+3y每隔3分钟从迎面驶来一辆18 s=4=4sx，所以 由，可得x即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟故选B 、解：过点B作BGAD交CA延长线于G AD平分BAC BADCAD BGAD ABGBAD，GCAD ABGG AGAB7 精品文档精品文档 CGAG+AC7+1118 MFAD MFBG
7、M是BC的中点 MF是三角形CBG的中位线 FCCG/29 12291229?a?a?a?2? ?a?a?a?等于0，0，所以、解：因为? 303030303030? ，所以18个等于1或1由题设知，其中有2913211121? ?a ?a?a?a?a?a? ，=1，=0? 303030303030?1211?a?a0?1? 2 所以，1 303019?a10 =6 a，所以19故1830a，于是610 3 abcdef 解：设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为、282500 bcdefa88bcdefabcdef22a 81根据题意，有=243f?xb?10?c?10
8、?e?10?d?10? 记，于是 655x10x81?208?a?1081?a?10? ， x解得=1250(208a) 7120812855a?1010 (20871a)，故x因为 00，所以0125 7171 2)=8250071=1250于是a= 因为a为整数，所以2x(208 282500所以，小明家原来的电话号码为A不在同一条直线上，连接其中任意两个点，最多能画个点，其中个点都任意37、在平面上有LEH 条线段6+5+4+3+2+1=21 以这些线段为边，最多能构成DBK2) (71)(77G6 FC =35个三角形 精品文档 精品文档 条线段；以这些线段为边，最多能构成35个三角形
9、答：最多可以得到21 21，35故答案为：), c(b+bc、a2b2=,即a2=b), c)(bc2c2=ca,即ca = (b+b), b/(bca两式相除得：/c= ）)=ab.（*ac=bc,c(a+b即ab), +b2= c(ac2=ca,两式相加得：a2c2ab2=bc,b2 ab.ca22=将（*）代入上式得： 是平行四边形；是正方形，只须证：(1)四边形、欲证四边形 ；(3) (2)=11?AC，GHEF=AC交AC于点K，延长 D交AB于点(1)如图7，连结、C则由，延长 22 是平行四边形 因此，四边形EFGH= HG，EFHG7图令EF00 =45 ，BLC(2)只须BD
10、=AC 由已知条件得=90ADL =AC再证(3)成立 BLLA=LD，=LC所以，LBDLCA BD0是正由此知四边形EFGHDKC由(2)的结果得LBD=LCA，立得=90GH，即BKAC从而，HE 方形 E点，作PFy=90，=AFP轴于F点，可得DEA）如图9、解：（11所示，作DEy轴于 为等腰直角三角形，DAP =90，=ADAP，DAP +，BAP=90=90EAD+DAB，DAB BAP，EAD= ，ABPF BAPFPA，= FPA，EAD= 和在ADEPAF中， =90AFP=DEA FPAEAD= AP=AD， 精品文档 精品文档 AAS），ADEPAF（ =14，OE=
11、OA+AEAE=PF=8 =4，14=2x+6，得x设点D的横坐标为x，由 14）；点D的坐标是（4， APD是等腰直角三角形，理由为：（2）存在点D，使 ，）+6=2x6+6向右平移6个单位后的解析式为y=2（x6直线y=2x ）；点坐标（4，2D2所示，当ADP=90时，AD=PD，易得如图 ），的坐标为（8，m所示，当APD=90时，AP=PD，设点P如图3 m= +8=2（14m）6，得+8则D点坐标为（14m，m），由m ）点坐标（D , 点坐标（DADP=90时，AD= PD存,），综上，符合条件的点D时，同理可求得如图4所示，当 ,在，坐标分别为（4，2）（,），（ ） 分）2，
12、t个2（q中有个0，r个1，s个1x、设x，x200812200 r+s+2t则 分） （5s+4t2008 r+ 368（10分）t两式相加得s+3=1104故0t333x+ 12分），（s+8t由x=6+xt+200r=+200812333 分）+x6368+200=2408（15+xx+得200200812 时，=1104，r=904t由方程组知：当=0，s333x+ 17分） 取最小值200； x+x （200812 时，s=0，r=536t当=368，333x+ 20取最大值2408（分）xx+200821 1）答：能（、具体操作如下： 精品文档 精品文档 （2）答：能 个数的相邻两
13、数乘积之和为P理由：设这2003 0=12+23+34+20022003+20031，P开始时， Pk，（k0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为经过k，bac+bd，交换c个数a，b，c，d满足不等式（ad）（b）0，即ab+cd4此时若圆周上依次相连的 的位置后，ccdab+Pk=（ac+cbbd）（ab+bc+cd）=ac+bd+1这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk+1，有Pk 0 ，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1所以Pk+1Pk1 0，由于相邻两数乘积总大于 a，b，c，d，一定有（d）（bc）0a故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数 1?x 5分 ）、解
14、：（1 满足条件 2baa?x ，82（）因为，为互质的正整数，且，所以 aba)?1?b?(3(2?1)a1?3?12? ， 即 ab1?3?1)b(2?1)?1?( 不存在时，这样的正整数1当a=1b2?(3?1)?1(2?)?2b?x，此时2时，故 =1a=当 22b31)?(b3)?(21?3?x ，此时3当a=2时，故 3ba4)?13?12(?)4b(? 当，与时，4a=互质的正整数不存在 精品文档 精品文档3b5?1)?(2?1)?5?b?(3?x ，此时=3时，故当a=5 5ba6)?3?1(2?1)?6?b?( 互质的正整数时，6不存在，与当a=543b7?1)(2?1)?7
15、?b?(3?x ，故，=3，4当a=75时，此时， 7775b8?(3?1)1(2?)?8?b?x ，此时a=当8，故=5时， 85534123 分15，所以，满足条件的所有分数为， 8777235 ，1、解：（）BAC=60，ACB=40 ACB，40=80=18060ABC=180BAC ABC，BQ平分 =80，CBQ=ABC=40 =BQ=CQ， BQ+AQCQ+AQ，AC=，CBQ=ACB ，CBQ=40CPDCQBQ交于点D，则=PD过点P作 +40ACB=40=80，+ADPPD=40CPD=ACB， =CD，=CPD 平分 ABC=80，ABC=ADP，APBAC，BAP，=C
16、AP 与ADP中，在ABP AAS），ABPADP（， PD，AD，BP=AB= ，ACCD=AD+PD=AD+AB+BP ；AB+BP由可得，BQ+AQ= 2）2（ 为考虑以AO,O同色.,B异色设O为它们的中点,不妨设AA:(1)、证明若平面上存在距离为2的两个点,3的同色为边长BCD同色,则该三角形满足题意.否则AC,一边的正三角形AOCAOD,若,D中有一个与,O正三角形. (2)否则平面上任两个距离为2的点均同色,考虑任意两个距离为1的点,以他们连线为底,2为腰长作等腰三角形,则任一腰的两顶点同色.所以三个顶点同色,即任两个距离为1的点同色.所以平面上任意一个边长为1 精品文档 精品
17、文档 .证毕的正三角形三个顶点同色故矛盾. 30. 从而, 第一个数不小于25, 、解：( 1)假设n = 10 时已经排出. 则后九个数之和小于或等于. 不能排出推由前九个数之和小于或等于45, n= 15时, .当n= 11, 12, 13, 14时, 均不能排出.当( 1)( 2)与的考虑方式相同故也不能排只有一个10, 推出第一个数排10. 然而, 出第十个数排10;又从后面九个数之和小于或等于45, 的最小值 9, 4, 3, 7, 2, 6, 8, 1, 5, 10.据此知可排出时, n= 16时, 可以排出. 如10, 5, 1, 7, 6, 2, 8, 3, 4, 9或n出.当
18、16. 是+c=2a,bc0，b=4/a, 、(1)设a最大,由题意必有a 于是b,c是方程x2(2a)x+4/a=0的两实根 则=(a2)24*4/a0 去分母得a34a2+4a160, (a4)(a2+4)0 所以a4 又当a=4，b=c=1 即a，b，c中最大者的最小值为4 （2）因为abc=40，a+b+c=20 所以a，b，c可能全为正，或一正二负 当a，b，c全为正时，由（1）知a，b，c中最大者的最小值为4，这与a+b+a=2矛盾 当a，b，c一正二负时，设a0，b0，c0 则|a|+|b|+|c|=abc=a（b+c）=a（2a）=2a2 由（1）知a4 所以2a26 所以|a|+|b|+|c|的最小值就是6 、过D做BC的平行线,过C做AB的平行线,两线交于一点F,连接EF 精品文档 精品文档 . 为平行四边形； 四边形BDFCCF 设ABC=x度 BC/DF,/DB ACF=2度x FDBBCF=ABC= x度 EAD= EFC中DE=CF；DF=BC=. 在ADE和BD DEBCAB又=AC,=AD=CE. AE= 为等边三角形EF=AD,EFDADEx= CE =DE ECFEAD=2 EFC =CFAE=40 x )+=(18022xx=60 ADF+EDF=EDA .240=100度BAC=180 精品文档
