1、小学六年级数学拔高之巧解行程问题 2第27讲 巧解行程问题（三）巧点晴方法和技巧对于一些往返行程问题若用折线图来解，则会更形象、直观、简捷。常用方法是借助时间比，作出运动轨迹图。巧指导例题精讲A级 冲刺名校基础点晴【例1】甲、乙两人在相邻90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒跑3米，乙的速度是每秒跑2米。问：如果他们同时分别从直路两端出发，当他们跑了10分钟时，在这段时间内共相遇多少次？分析与解 本题若用常规解法来解，则较复杂，若用折线图来解就十分简捷。甲跑一个单程需903=30（秒）=（分）；乙跑一个单程需902=45（秒）=（分）。现作两条平行的直线来展示甲、乙的往返时间，如下图：由上图知
2、，他们跑3分钟时，甲跑了3=6（个）单程，乙跑了3=4（个）单程，同时回到各自的出发点。跑10分钟时，前9分钟将相遇15次，最后一分钟与第一分情况相同，相遇2次，共相遇了17次。答：在这段时间内共相遇了17次。做一做1 甲、乙两名运动员同时从游泳池的两端相向下水，做往返游泳训练。从池的一端到另一端，甲要游3分钟，乙要游3.2分钟。两人下水后连续游了48分钟，求：一共相遇了多少次？【例2】甲、乙两人同时从东镇出发，到相距90千米的西镇办事。甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10千米。甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。问：这时乙走了多少千米？分析与解1 甲行一个单程需903
3、0=3（时）。乙行一个单程需9010=9（时）。用AB表示东、西两镇距离，甲到西镇为3小时，再返回到东镇为7小时（实线），乙到西镇为9小时（虚线）。设甲、乙相遇点为O， =（时间比），有=（路程比）。那么，乙行路程AM=90=52.5（千米）分析与解2 此题可用返回相遇的方法来解。甲、乙相遇时，一共行了180千米。甲到达西镇用1小时办事，可理解为乙比甲多行了1小时，则乙行的时间为（180101）（3010）1=（时），故10=52.5（千米）。答：这时乙走了52.5千米。做一做2 A、B两地相距60千米，甲、乙分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度为20千米/时，乙的速度为30千米/时，两
4、人到对方出发点休息1小时后立即折回。问：两人再次相遇时跑B地多少千米？【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B之间不断地往返行驶。已知甲车速度是15千米每小时，乙车速度是35千米每小时，并且甲、乙两车第三次相遇的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么，A、B两地相距多少千米？解 V甲=15，V乙=35T甲：T乙=35：15=7：3如下图，甲到B处的时间为“7”，回到A处的时间为“14”（实线）。乙到A处的时间为“3”，回到B处的时间为“6”，再到A处的时间为“9”（虚线）。由上图知，甲、乙第三次相遇点为C，第四次相遇点为D。则=， =；并有=，MN=100（千米）；所以AB
5、=100=250（千米）。答：A、B两地相距250千米。做一做3 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地之间不断地往返行驶。甲、乙两车的速度之比为3：7，并且甲、乙两车第1 996次相遇的地点和第1 997次相遇的地点恰好相距120千米。（注：当甲、乙两车同向时，乙车追上甲车不算做相遇）那么A、B两地之间的距离是多少千米？B级 培优竞赛更上层楼【例4】A、B两地之间公路长96千米，甲骑自行车自A往B行驶，乙骑摩托车自B往A行驶。他们同时出发，经80分钟后两人相遇。乙到A地后马上折回，在第一次相遇后40分钟追上甲。乙到B地后又马上折回。问：再过多长时间甲与乙又一次相遇？解 如上图，AB
6、=96千米，AC为甲的运动路线，折线BDEF为乙的运动路线。M、N、P为三次相遇点，从图知：甲、乙两人到达相遇点P时所行的总路程是AB全程的3倍，两人共同走完一个全程AB需80分，所以P点对应的时间为803=240（分）。这样，所求时间为N、P间的间隔时间，即为240（8040）=120（分）答：再过120分钟甲与乙又一次相遇。做一做4 客、货两车分别从A、B两地同时出发，经过120分钟后两车相遇。客车到B地后马上返回，在第一次相遇后60分钟追上货车。客车到A地后马上返回，问：再过多长时间，客、货两车再次相遇？C级 （选学）决胜总决赛勇夺冠军【例5】如图，公共汽车甲沿城市的南环路线ABA行驶，
7、公共汽车乙沿城市的北环路线BAB行驶。已知AmB的长是AB的2.5倍，AnB的2倍。双知两车在AB（BA）段上的速度相同，甲车在AmB段车速度提高25%，乙车在AnB段国速提高20%。两车分别从A、B同时出发。设它们第六次相遇于P，那么，AP：PB为多少？分析 两车相遇当然只能是在AB段，要一次一次地一直算到第六次相遇，虽不是很难，但很繁琐。由于环形路线上的行驶可变通地看成是AB两地间的往返行驶AB，BA，故可用折线图求解。解 设AB段的长度为1，该段上的车速为u，可得下表：路段ABAnB（乙）BmA(甲)长度122.5车速U1.2u1.25u行驶时间=时间比3:5:6依上表中的时间比，绘制甲
8、、乙两车行驶的折线图。从图中查出第六次相遇点P。从以P为顶点的两个阴影三角形可以看出AP：PB=5：1。答：AP与PB的比为5：1。小结 （1）在上面的折线图中，甲：AB画实线，BA画虚线；乙：BA画实线，AB画虚线。图中甲、乙折线的实线公共点就是两车相遇的地点。（2）用折线图解题，计算量小，直观形象，方便简捷。做一做5 如下图，一只甲虫从A点出发，在圆形路线上沿顺时针方向爬行；一只蚂蚁同时从B点出发，如半圆BmA上往返爬行。已知甲虫爬行速度是蚂蚁的2.4倍，它们第二次相遇点与第三次相遇点之间的路是30厘米。那么，这条圆形路线的全长是多少？【例6】一条大河上有A、B两个港口，水由A流向B流速是
9、4千米/时。甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行。甲船在静水中的速度是28千米/时，乙船在静水中的速度是20千米/时。已知第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙（不算开始甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米。求A、B两港口之间的距离。分析与解 本题包括追及、相遇、相离三种运动，且速度变化复杂，但若用两条平行线分别表示甲、乙两船来往的时间，则运动变化可一目了然，从而化难为易，化繁为简。因为V甲顺=32，V甲逆=24，V乙逆=16，V乙顺=24，所以t甲顺：t甲逆=24：32=3：4t乙顺：t乙逆=16：24=4：6作下图，甲船到B处的时间为“3”，再回到A处的时间为“7
10、”，再到B处的时间为“10”，又回到A处的时间为“14”（实线）；乙船到B处的时间为“4”，再回到A处的时间为“10”，再到B处的时间为“14”，又回到A处的时间为“20”（虚线）。由图知，两船第二次迎面相遇点为C，第二次甲船追上乙船的地点为D。分别过C、D作一条与时间轴平行的线，由题意知，两相遇点的距离为MN=40千米。因为AM：BM=3：6=1：2 AN：BN=1：1所以AM=AB AN=AB即MN=AB因为MN=40所以AB=40=406=240（千米）答：A、B两港口之间的距离是240千米。做一做6 一条公路上有相距120千米的两个汽车站A和B，一天24小时中每逢整点就有一辆汽车从A站
11、出发开往B站，同时也有一辆汽车从B站出发开往A站，所以汽车的速度都一样。有一人早上7点钟骑自行车自A站出发沿公路向B站前进，已知在途中有8辆从A站驶往B站的汽车超过他，还有1辆与他同时到达B站。如果这个人在途中遇到14辆从B站驶往A站的汽车，那么骑车人的平均时速最少是多少？巧练习温故知新（二十七）巧点晴方法和技巧A级 冲刺名校基础点晴1.两名游泳运动员在长30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是1米每秒，乙的速度是0.6米每秒。他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转向的时间，在这段时间内他们共相遇了多少次？2.甲、乙两地相距很远，每天从甲、乙两地同时相对开出一辆客车，两车速度
12、和路线相同，都要经过整整五天才能到达终点，然后休息两天，又按原路线返回。在这条路线上的每辆客车都这样往返运行，为保证这条路线能正常运行，至少应配备多少辆车？3.某轮船公司每天中午有两艘轮船分别从A、B两地出发开往B、A，行程均为6昼夜。问：今天中午从A地开出的轮船在途中将遇到几艘本公司的轮船从对面开来？4.甲、乙两城之间，汽车走高速公路需3小时才能走完全程。从上午6时起，每隔1小时从甲、乙城同时向对方发出一辆汽车，最后一辆汽车在下午5时发出。问：从甲城发车的司机最多能看到从乙城驶来的汽车？最少几辆？5.一个游泳池的泳道长100米，甲、乙两名运动员从泳道的两端同时下水，做往返训练15分钟。甲每分
13、钟游81米，乙每分钟游89米。问：甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？B级培优竞赛更上层楼6.A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在35分钟后停止运动。甲、乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离多少米？7.如图表示从A站到B站的特快车和普通车时间与距离的关系。普通车出发7分钟后，特快车从A站出发，追上了停在途中的普通车后，继续行驶到达B站。特快车从A站出发经过多长时间到达B站？另外，普通车在特快车到达B站后5分钟也随之到达，则普通车在中途停车几分钟？8.璇璇与哥哥同时从家里出发去外婆家。璇璇一开始以时速4千米的
14、速度走路，在走了3千米时改乘时速为42千米的计程车；哥哥则以时速12千米的速度骑自行车，结果璇璇比哥哥早到了10分钟。求璇璇家到外婆家的距离。9.A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处。甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航。水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同。如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是多少？10.甲、乙两地之间有一条公路，李明从甲地出发步行到乙地，张平同时从乙地骑摩托车到甲地，80分钟后两人在途中相遇。张平到达甲地后立即返回乙地，在第一次相遇后经过20分钟，张平又在途中追上李明。张平到
15、达乙地后马上又返回甲地，这样一直下去。问：当李明到达乙地时，张平共有几次追上李明？C级 （选学）决胜总决赛勇夺冠军11有一口枯井，一只蜗牛上午8时从井底开始用了40分钟爬到井口，在进口休息了20分钟后又从井口爬到井底，也用了40分钟，再休息20分钟又向上爬向井口，如此不断地爬上爬下。一只蚂蚁，上午8时从井口爬到井底，并立即从井底爬到井口，再从井口爬到井底，如此不停地爬上爬下。设蚂蚁从井口到井底每次都用了20分钟，从井底到井口每次都用40分钟，问：到下午6时，蜗牛和蚂蚁一共相遇了几次？（假设它们都是沿井壁的同一条线路爬行）12由甲、乙两地同时相对开出一辆公共汽车后，每隔8分钟相对开出另一辆公共汽
16、车。假设每辆车的速度都是一样和均匀的，并且需40分钟开到对方车站。今有一名乘客甲站开出的第一辆公共汽车去乙站，他在途中遇到乙站开出的公共汽车（包括在车站上遇到开出的汽车）一共有多少辆？13一段跑道长100米，甲、乙分别从A、B端点同时相向出发，各以6米每少秒和4.5米每秒的速度在跑道上来回往返练习跑步。问在10分钟内（包手第10分钟）：（1）甲和乙在途中迎面相遇多少次？（2）甲在途中追上乙多少次？（3）甲和乙在A、B两个端点共相遇多少次？14A是山脚，B是山顶，C是山坡上的一点，AC=AB。甲、乙同时从山脚出发，到达山顶，再返回山脚，如此往返运动。甲、乙速度之比为6：5，并且甲、乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍。出发一段时间后，甲第一次在山顶上看见乙在AC段向上爬；又经过一段时间后，甲第二次在山顶上看见乙在AC段向上爬。问：甲第二次在山顶看到乙在AC段向上爬时（包括此时），甲到过山顶几次？巧总结本节我的收获是： 不足之处
