1、课时25等腰三角形与直角三角形课时25等腰三角形与直角三角形【课前热身】1等腰三角形的一个角为50，那么它的一个底角为_.2. 在三角形中，有两边长为5和12，要使该三角形为直角三角形，则第三边为_.3. 在RtABC中，C=90，A=30，BC=2cm，则AB=_cm.4. 如图，在ABC中，AB=AC，A=50，BD为ABC的平分线，则BDC=_度.5如图，在ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD则A等于( )A30 B36 C45 D72(第4题) (第5题) (第6题) (第7题)6如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北
2、偏西20的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距( )A30海里 B40海里 C50海里 D60海里7. 如图，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB当跷跷板的一头A着地时，OAC=25，则当跷跷板的另一头B着地时，AOA等于( )A130 B60 C50 D25【知识整理】1等腰三角形的性质与判定：(1)等腰三角形的两底角_；(2)等腰三角形底边上的_，底边上的_，顶角的_，三线合一；(3)有两个角相等的三角形是_.2等边三角形的性质与判定：(1)等边三角形每个角都等于_，同样具有“三线合一”的性质；(2)三个角相等的三角形是_，三边相等的三角形是_，一个角等于60的_三角形
3、是等边三角形.3直角三角形的性质与判定：(1)直角三角形两锐角_；(2)直角三角形中30所对的直角边等于斜边的_；(3)直角三角形中，斜边的中线等于斜边的_；(4)勾股定理：_(5)勾股定理的逆定理：_【例题讲题】例1 如图，以ABC的各边为边，在BC的同侧作等边ABD、ACF、BCE，求证：BDEEFC例2 如图，在等边ABC中，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQAD于点Q，求证：BP=2PQ.例3 如图，在RtABC中，AB=AC，A=90，D为BC上任一点，DFAB于F，DEAC于E，M为BC中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.【中考演练】1已知等腰三角形的一个底角
4、为70，则它的顶角为_度.2已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为_.3. 已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD，请添加一个条件，使图中存在全等三角形. 所添加的条件为_，你得到的一对全等三角形是：_.(第3题)（第4题）4如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是_.5. 如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则EA1B=_度.（第5题）（第6题）（第7题）6. 如图，已知OA=a，P是射线O
5、N上一动点(即P可在射线ON上运动），AON=60，填空：(1) 当OP=_时，AOP为等边三角形；(2) 当OP=_时，AOP为直角三角形；7. 如图，已知ABC中，ABC=45，ACB=61，延长BC至E，使CE=AC，延长CB至D，使DB=AB，则DAE=_.8. 如图的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为、，则第n个等腰直角三角形的面积为_.(第8题)（第9题）9. 如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：AE=CF；APE=CPF；EPF是等腰直角三角形；EF=AP；S四边形AE
6、PF=SABC.当EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，上述结论中始终正确的序号有_.10. 如图所示，A、B是45网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置.(第10题)（第11题）11. 小明将两个全等且有一个角为60的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.112. 在下列四个命题，等腰三角形两腰上的中线相等；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两底角的平分线相等；等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 其中正确
7、的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.413. 如图，RtABC中，C=90，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分BAC，那么下列关系式中不成立的是( ) A.B=CAE B.DEA=CEA C.B=BAE D. AC=2EC(第13题)（第14题）14.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的沟股圆方图，它是由四个全等三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图. 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值是( ) A.13 B.19 C.25 D.16915. 等
8、腰三角形一腰上的中线分原三角形周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为( )A7 B. 11 C. 7或11 D.不能确定16. 已知等腰ABC腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为30，则其顶角的度数为( )A. 60 B. 120 C. 60或150 D. 60或12017. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40，则B的度数为( )A. 65 B. 25 C. 65或25 D. 50或13018. 如图，四边形ABCD是正方形，在平面内，满足PAB，PBC，PCD，PAD均为等腰三角形的点P的个数是( )A. 1个B. 4个C. 8个D. 9个19如
9、图，已知在直角三角形中，C=90，BD平分ABC且交AC于D(1)若BAC=30，求证：AD=BD；(2)若AP平分BAC且交BD于P，求BPA的度数.20. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ=60，且BP=BQ，连结CQ(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论(2)若PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由21. 如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3. 在RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图1所示. 请你在图2、图3中分别画出两种与示例不同的拼接方
10、法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长.2011年中考题精选1.（2011浙江省舟山）如图，边长为4的等边ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）2.（2011四川凉山州）如图，在ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DEAB，垂足为点E，则DE等于（ ）A B C D 3.（2011贵州毕节）如图，已知ABAC，A，AB的中垂线MN交AC于点D、交AB于点M. 下列结论：BD是ABC的平分线；BCD是等腰三角形；ABCBCD；AMDBCD，正确的有( )个.A4 B3 C2 D14.（2011黑龙江绥化）如图在RtABC中，A
11、B=CB，BOAC，把ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF.下列结论：ADB=2 图中有4对全等三角形将DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上BD=BFS四边形DFOE=SAOF，上述结论中正确的个数是（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个5.（2011年铜仁地区）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ）.等腰三角形两底角相等B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C.等腰三角形是中心对称图形D.等腰三角形是轴对称图形6.（2011内蒙古赤峰）如图，在ABC中，AB=20，AC=12，点P从点B出发以每
12、秒3的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）A 2.5 B3秒 C3.5秒 D4秒7（2011广西百色）如图，在ABC中，AB=AC，ABC、ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：BCDCBE;BADBCD;BDACEA;BOECOD; ACEBCE;上述结论一定正确的是( )A. B. C. D. 8.（2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输
13、油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m9.（2011贵州贵阳）如图，ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是 （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）710. （2011河北）如图，在ABC中，C=90，BC=6，D，E分别在AB，AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）A B2 C3 D4 11. （2011湖北十堰）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表
14、面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。下列判断：5个出口的出水量相同；2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换最快一个三角形材料使用时间的8倍，其中正确的判断有（ ）第10题图A1个 B2个 C3个 D4个12(2011重庆綦江)如图，等边ABC中，AO是BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边CDE,连接BE. (1) 求证：ACDBCE； (2) 延长BE至Q, P为BQ上一点，连接CP、CQ使CPCQ5, 若BC8时，求PQ的长. 13.（2011湖北）两个大小相同且含角的三角板ABC和DEC如图摆放，使直角顶点重合. 将图中DEC绕点C逆时针旋转得到图，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点. （1）不添加辅助线，写出图中所有与BCF全等的三角形；（2）将图中的DEC绕点C逆时针旋转得D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1 ，如图.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程； （3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I =CI.
