1、正方形的性质与判定课内精炼+课时达标1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质1有一组邻边_相等_，并且有一个角是_直角_的平行四边形叫做正方形2正方形的四个角都是_直角_，四条边_相等_，对角线_相等_且_互相垂直平分_知识点一：正方形的定义1在四边形ABCD中，若ADBC，ADBC，ABBC，B90，则四边形ABCD的形状是(D)A平行四边形B矩形C菱形 D正方形2如图，ACB90，CD平分ACB，DEAC于点E，DFBC于点F，那么四边形DECF是_正方形_知识点二：正方形的性质3(2014泉州)正方形的对称轴的条数为(D)A1B2C3D44正方形具有而菱形不一定具有的性质是(B)A对
2、角线互相平分 B对角线相等C对角线互相垂直 D对角线平分一组对角5(2014福州)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则BFC为(C)A45 B55 C60 D75,第5题图),第6题图)6如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT(B)A. B2 C2 D17(2014苏州)已知正方形ABCD的对角线AC，则正方形ABCD的周长是_4_8如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则图中共有_8_个等腰直角三角形,第8题图),第9题图)9如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点
3、E，使AEAC，则BCE的度数是_22.5_10(易错题)如图，已知正方形纸片ABCD，点M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则PBQ_30_11(2014济宁)如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.(1)求证：BFDF；(2)连接CF，请直接写出BECF_解：(1)四边形ABCD和AEFG都是正方形，ABAD，AEAGEFFG，BEFDGF90，BEABAE，DGADAG，BEDG，BEFDGF，BFDF12(2014安徽)如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：点D到直线l的距离
4、为；A，C两点到直线l的距离相等则符合题意的直线l的条数为(B)A1B2C3D4,第12题图),第13题图)13如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为_8_cm2.14(2014资阳)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE3，点Q为对角线AC上的动点，则BEQ周长的最小值为_6_15(2014鄂州)在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.求证：(1)BHDE；(2)BHDE.解：证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，BCCD，CECH，BCDECH90，BCDDCHECHDCH，即BCHDCE，BCH
5、DCE，BHDE(2)由(1)得，CBHCDE，DMBBCD90，BHDE16(教材例4改编)已知：如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E.(1)四边形ADCE为_矩形_；(2)当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明解：(2)当ABC满足BAC90时，四边形ADCE是一个正方形，.理由：ABAC，ACBB45，ADBC，CADACD45，DCAD，四边形ADCE为矩形，矩形ADCE是正方形，当BAC90时，四边形ADCE是一个正方形17将正方形(图)作如下操作：第1次：分别连接各边中点(如图)，得到5个正方
6、形；第2次：将图左上角正方形按上述方法再分割(如图)，得到9个正方形，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是(B)A502 B503 C504 D50518如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E，F移动过程中：(1)EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)ECF的周长是否发生变化？请说明理由解：(1)EAF的大小不变，理由如下：在正方形ABCD中，AHEF，AHFD90.AFAF，AHAD，RtAHFRtADF(HL)HAFDAF.同理 HAEBAE.HAFDAFHAEBAE90，
7、EAFHAFHAE45.EAF的大小不会发生变化(2)ECF的周长不会发生变化，理由如下：由(1)知：RtAHFRtADF，RtAHERtABE，FHFD，EHEB.EFEHFHEBFD.CECFEFCECFEBFDBCCD.ECF的周长总等于正方形ABCD边长的2倍，不会发生变化第2课时正方形的判定1对角线_相等_的菱形是正方形2对角线_垂直_的矩形是正方形3有一个角是_直角_的菱形是正方形知识点：正方形的判定1下列说法不正确的是(C)A对角线互相垂直的矩形是正方形B对角线相等的菱形是正方形C有一个角是直角的平行四边形是正方形D一组邻边相等的矩形是正方形2对角线相等且互相垂直平分的四边形是(
8、D)A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形3在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(C)AACBD，ABCD，ABCDBADBC，ACCAOBOCODO，ACBDDAOCO，BODO，ABBC4在ABC中，ACB90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BEBF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(D)ABCAC BCFBFCBDDF DACBF,第4题图),第5题图)5如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(A)A邻边相等的矩形是正方形B对角线相等的菱形是
9、正方形C两个全等的直角三角形构成正方形D轴对称图形是正方形6如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它一定是_正方形_7(易错题)当四边形的两条对角线满足条件_垂直且相等_时，顺次连接它的各边中点可以得到一个正方形8如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为_45_9如图，在ABC中，A90，点D是BC边的中点，DEAC于点E，DFAB于点F，且BFCE，求证：四边形AFDE是正方形解：证明：DFAB，DEAC，BFDCED90，又点D是BC的中点，BDCD，BFCE，BFDCED(HL)DFDE，AAFDAED90，四边形AFDE为矩形，DFD
10、E，矩形AFDE是正方形10(2014株州)已知四边形ABCD是平行四边形，再从ABBC，ABC90，ACBD，ACBD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(B)A选B选C选D选11如图，在RtABC中，ACB90，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，EF，要使四边形DECF是正方形，只需增加一个条件为_ACBC_12小明想检查一个四边形的框架是不是正方形，但手头仅有一把卷尺你能帮他设计一个检查方案吗？说说你的做法和理由解：方法：测量四边形的框架的四边长及四边形的框架的对角线长；理由：若四边形的框架满足四边长相等，
11、则是菱形，若再满足对角线相等，则是正方形，否则不是13如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(2，0)，B(0，2)，C(2，0)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是正方形解：证明：由四边形ABCD的顶点坐标分别是A(2，0)，B(0，2)，C(2，0)，D(0，2)，可知OAOBOCOD2，四边形ABCD为矩形ACBD，四边形ABCD是正方形14如图，在RtABC中，BAC90，ADCD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AGBC交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AFBF；(2)如果ABAC，求证：四边形AFCG是正方形解：(1)证明
12、：ADCD，点E是边AC的中点， DEAC，即DE垂直平分线段AC，FACACB.在RtACB中，由BAC90，得BACB90，FACBAF90，BBAF，AFBF(2)AGCF，AGECFE.又点E是边AC的中点，AECE.又AEGCEF，AEGCEF(AAS)，AGCF.又AGCF，四边形AFCG是平行四边形AFCF，四边形AFCG是菱形在RtABC中，由AFCF，AFBF，得BFCF，又ABAC，AFBC，即AFC90，四边形AFCG是正方形15(2014随州)已知：如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别是线段BM，CM的中点(1)求证：ABMDCM；(2)
13、填空：当ABAD_12_时，四边形MENF是正方形，并说明理由解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，ABDC，AD90，又点M为AD的中点，AMDM，在ABM和DCM中，ABMDCM(SAS)(2)当ABAD12时，四边形MENF是正方形，理由是：ABAD12，AMDM，ABCD，ABAMDMDC，AD90，ABMAMBDMCDCM45，MBCMCB45，BMCM，BMC90，点N，E，F分别是BC，BM，CM的中点，BECFMEMF，NFBM，NECM，四边形MENF是平行四边形，MEMF，BMC90，四边形MENF是正方形，即当ABAD12时，四边形MENF是正方形专题(一)特殊平行四边形
14、的性质与判定一、特殊平行四边形与折叠1如图，矩形纸片ABCD，AB2，ADB30，沿对角线BD折叠(使ABD和EBD落在同一平面内)，则A，E两点间的距离为_2_,第1题图),第2题图)2(2014龙东)如图，菱形ABCD中，对角线AC6，BD8，点M，N分别是BC，CD的中点，点P是线段BD上的一个动点，则PMPN的最小值是_5_3(2014绥化)矩形纸片ABCD中，已知AD8，AB6，点E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当EFC为直角三角形时，BE的长为_3或6_二、特殊平行四边形的判定与性质4(2014厦门)如图，在四边形ABCD中，ADBC，AMBC，
15、垂足为点M，ANDC，垂足为点N，若BADBCD，AMAN，求证：四边形ABCD是菱形解：证明：ADBC，BBAD180，DC180，BADBCD，BD，四边形ABCD是平行四边形，AMBC，ANDC，AMBAND90，又AMAN，可证得ABMADN，ABAD，四边形ABCD是菱形5(2014枣庄)如图，四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，已知点O是AC的中点，AECF，DFBE.(1)求证：BOEDOF；(2)若ODAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论解：(1)证明：DFBE，FDOEBO，DFOBEO，点O为AC的中点，即OAOC，AECF，OAAEOCCF，即OEO
16、F，在BOE和DOF中，BOEDOF(AAS)(2)若ODAC，则四边形ABCD是矩形，理由：BOEDOF，OBOD.四边形ABCD为平行四边形ODAC，OAOBOCOD，即BDAC，四边形ABCD为矩形6如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上的任意一点，DEAG，BFDE交AG于点F.(1)求证：AFBFEF；(2)将ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F.若正方形边长为3，求点F与旋转前的图中点E之间的距离解：(1)易证AEDBFA，BFAE，AFAEEF，AFBFEF(2)如图，根据题意知，FAF90，DEAFAF，FAEAED90，FAEAED180
17、，AFED，四边形AEDF为平行四边形又AED90，四边形AEDF是矩形，EFAD3三、特殊平行四边形与探究7如图，在菱形ABCD中，AB2，DAB60，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：当AM的值为_1_时，四边形AMDN是矩形；当AM的值为_2_时，四边形AMDN是菱形解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，NDAM，NDEMAE，DNEAME.又点E是AD边的中点，DEAE，NDEMAE，NDMA.又NDMA，四边形AMDN是平行四边形8如图，ABC是等腰直角三角形，BAC
18、90，点P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足BPAQ，点D是BC的中点(1)求证：PDQ是等腰直角三角形；(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由解：(1)证明：连接AD.ABC是等腰直角三角形，点D是BC的中点，ADBC，ADBDDC，DAQB.又BPAQ，BPDAQD.PDQD，ADQBDP.BDPADP90，ADQADPPDQ90.PDQ为等腰直角三角形(2)当点P运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形理由：由(1)知ABD为等腰直角三角形当点P为AB的中点时，DPAB，即APD90.又A90，PDQ90，四边形APDQ为矩形又DPAPAB，四边形APDQ为
19、正方形9(2014日照)(1)如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DFBE.求证：CECF；(2)如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点G是AD上一点，如果GCE45，请你利用(1)的启示证明：GEBEGD；(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，在四边形ABCD中，ADBC(BCAD)，B90，ABBC，点E是AB上一点，且DCE45，BE4，AE8，DE10，求四边形ABCD的面积解：(1)略(2)证明：如图，延长AD至点F，使DFBE.连接CF.由(1)知CBECDF，BCEDCF.BCEECDDCFECD，即ECFBCD90，又GCE45，GCFGCE45.CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG.GEGF，GEDFGDBEGD(3)如图，过点C作CGAD，交AD延长线于点G.ADBC，AB90，又CGA90，ABBC，四边形ABCG为正方形AGBC.已知DCE45，根据(1)(2)可知，EDBEDG.所以104DG，即DG6，AD1266，所以四边形ABCD的面积为S(ADBC)AB(612)12108.答：四边形ABCD的面积为108
