1、各种等腰三角形难题各类等腰三角形难题例1. 在 ABC中,AB=AC,且 A=20,在为 AB 上一点 ,AD=BC, 连接 CD.试求 :BDC的度数 .分析 : 题中出现相等的线段 , 以此为突破口 , 构造全等三角形 .解: 作 DAE=B=80,使 AE=BA,( 点 D,E 在 AC 两侧 )连接 DE,CE.AE=BA;AD=BC;DAE=B. DAE CBA(SAS),DE=AE;DEA=BAC=20.CAE=BAE-BAC=60, 又 AE=AB=AC. AEC为等边三角形 ,DE=CE;DEC=AEC-DEA=40.则:CDE=70; 又 ADE=80. 故 ADC=150,
2、 BDC=30.例2.已知 ,如图 : ABC中,AB=AC,BAC=20.点D 和 E 分别在 AB,AC 上,且 BCD=50,CBE=60.试求 DEB的度数 .本题貌似简单 , 其实不然 .解: 过点 E 作 BC的平行线 , 交 AB于 F, 连接 CF交 BE于点G,连接 DG.易知 GEF, GBC均为等边三角形 . FEG=EFG=60;AFG=140,DFG=40; BCG=50;CBD=60. BDC=50=BCD,则 BD=BC=BG;又 ABE=20.故 BGD=80,DGF=180-BGD-FGE=40.即 DGF=DFG,DF=DG;又 EG=EF;DE=DE. D
3、GE DFE(SSS),得: DEG=DEF=30.所以 ,DEB=30.例3.已知 ,等腰 ABC中,AB=AC,BAC=20,D 和 E 分别为AB 和 AC 上的点 ,且 ABE=10,ACD=20.试求 :DEB的度数 .本题相对于上面两道来说 , 难度又增加了许多 . 且看我下面的解答 .解: 在 CA上截取 CM=CB,连接 BM,DM,则 CMB=CBM=50.作DGBC,交 AC于 G,连接 BG,交 CD于 F, 连接 FM.易知 BCF和 DGF为等边三角形 ,CM=CB=CF. CMF=CFM=80,GMF=100.GFM=GFC-CFM=40;FGM=A+ABG=40.
4、即 GFM=FGM;FM=GM;又 DF=DG,DM=DM.则 DMF DMG,DMG=DMF=50.故 DMC=130=EMB;又 DCM=EBM=20. DMC EMB,DM/MC=EM/MB;又 DME=BMC=50. DME CMB,DEM=CBM=50.又 BEC=ABE+A=30.所以 ,DEB=DEG-BEC=50-30 =20.例4. 如图，已知在等边三角形 ABC 中， D 是 AC 的中点， E 为 BC 延长线上一点，且 CE CD，DM BC ，垂足为 M。求证： M 是 BE 的中点。思路点拨：欲证 M 是 BE 的中点，已知 DM BC，所以想到连结 BD，证 BD
5、ED。因为 ABC 是等边三角形， DBE ABC ，而由 CE CD，又可证 E ACB ，所以 1 E，从而问题得证。证明：因为三角形 ABC 是等边三角形， D 是 AC 的中点所以 1 ABC又因为 CE CD，所以 CDE E所以 ACB2E即 1 E所以 BDBE，又 DM BC，垂足为 M所以 M 是 BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）例5. 如图，在 ABC中， BAC=90，AB=AC， ABC的平分线交 AC于 D，过 C作 BD垂线交 BD的延长线于 E，交 BA的延长线于 F，求证： BD=2CE思路点拨：根据已知条件，易证 BFE BCE，所以 BF=BC，所以
6、 F=BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质， CE=FE，再证明 ABD ACF，证得 BD=CF，从而证得 BD=2CE证明： ABC的平分线交 AC于 D， FBE=CBE，又BE=BE，BECF， BEF=BEC， BFE BCE（ ASA），CE=EF，CF=2CE， BAC=90，且 AB=AC， FAC=BAC=90， ABC=ACB=45， FBE=CBE=22.5， F=ADB=67.5，又AB=AC， ABD ACF（ AAS），BD=CF，BD=2CE例6. 如图，在 ABC中，BO平分 ABC，CO平分 ACB， DE过 O且平行于 BC，已知 ADE的周长为 10cm
7、，BC的长为 5cm，求 ABC的周长思路点拨根据题意先证明 BDO和 CEO是等腰三角形，再结合等腰三角形的性质得 BD=OD，CE=EO，根据已知 ADE的周长为 10cm，再加上 BC的长即可得ABC的周长解： BO平分 ABC， CO平分 ACB， DBO=OBC， ECO=OCB，DEBC， DOB=OBC， EOC=OCB， DBO=DOB， ECO=EOC，BD=OD，CE=EO（等角对等边）AD+DE+AE=10cm，AD+BD+CE+EA=10cm，又 BC的长为 5cm，所以 ABC的周长是：AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm例7. 三角形 ABC ，AB=A
8、C ，边 BC 的中点为 D（1）画图：作一个等边三角形 DEF ，使顶点 E,F 分别在边 AB 和 AC 上（2）你所作的等边三角形 DEF 的边 EF 与 BC 平行吗？理由是什么？（ 3）是否可能作一个等边三角形 DEF ，使它的边 EF 与 BC 不平行？如有可能， 指出角A的度数；如不可能，说出理由解：见图作法：在三角形 ABC 内部作 BDE CDF 60 度，角的两边分别交 AB 、 AC 于 E、 F，连接 EF则三角形 DEF 就是所要求作的等边三角形平行。理由：因为 ABAC所以 B C因为D是BC中点所以 BDCD因为 BDE CDF 60 度所以 BDE CDF （A
9、SA ）， EDF 60 度所以 DEDF所以三角形 DEF 是等边三角形所以 BDE DEF 60 度所以 EF/BC可能。 A120 度证明要点：因为 EF 与 BC 不平行，所以 AEAF，不妨设 AE AF过F 作 FG/BC ，交 AB 于 G，连接 DG容易证明 BDG CDF所以 DG DFDE， BGD CFD由DEDG 得 DEG DGE所以 DEG CFD所以 A、E、 D、 F 四点共圆所以 A EDF 180 度所以 A120 度例8.三角形 ABC 中， AB=AC,D 在 AC 上,E 在 AB 上，连结 DE，已知顶角等于 20,CBD=60 , ECB=50 .
10、求 ADE 的度数解：以 B 为圆心， BC 为半径画弧，交 AC 于 G，连接 DG ，则： BG=BC ， BGC= ACB ；已知： AB=AC ， A=20，则： ABC= ACB=80 ，BGC= ACB=80 ，GBC=20 ，ABG=60 ；已知： CBD=60 ，则： ABD=20 ， DBG=40 ，BDG= BGC- DBG=40 ，BG=DG ；已知： ECB=50 ，则： BRC=180 -ABC- ECB=50 ；已知：圆孤， ABG=60 ，则： BE=BC=BG=DG ， BGE 为正三角形，EG=BE=BC=BG=DG ， EGB=60 ，DGE=180 -BG
11、C- EGB=40 ；已知： EG=DG,则： GED= EDG=(180 -DGE)/2=70，ADE=180 - EDG=110。例 9. 如图，已知在等边三角形 ABC 中， D 是 AC 的中点， E 为 BC 延长线上一点，且 CECD，DM BC，垂足为 M 。求证：M 是BE 的中点。AD1B M C E分析：欲证 M 是 BE 的中点，已知 DM BC，所以想到连结 BD，证 BDED。因为 ABC 是等边三角形， DBE 1 ABC，而由2CECD，又可证 E 1 ACB，所以 1 E，从而问题得证。2证明：因为三角形 ABC 是等边三角形， D 是 AC 的中点所以 1 1
12、 ABC2又因为 CE CD，所以 CDE E所以 ACB2E即 1 E所以 BD BE，又 DM BC，垂足为 M所以M 是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）例10. 如图，已知：ABC 中，ABAC ，D是BC上一点，且AD DB ，DC CA ，求 BAC 的度数。ABDC分析：题中所要求的BAC 在 ABC 中，但仅靠 ABAC 是无法求出来的。因此需要考虑 ADDB和DCCA 在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形， 构成了内外角的关系。 因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。解：因为 ABAC，所以 BC因为 ADDB ，所以 BDABC ；因为 CACD ，
13、所以 CADCDA （等边对等角）而ADCBDAB所以ADC2 B， DAC2 B所以 BAC3 B又因为BCBAC 180即 BC 3 B180所以 B36即求得 BAC 108说明 1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。 本条性质在解题中发挥着重要的作用， 这一点在后边的解题中将进一步体现。2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3.此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。例 11. 已知：如图， ABC 中， AB AC，CD AB 于 D。求证：BAC 2 DCB。A1 2D3B
14、 CE分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形， BAC 是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与 DCB 的关系。证明：过点 A 作 AE BC 于 E， AB AC所以因为12 1 BAC （等腰三角形的三线合一性质）21 B 90又 CD AB ，所以 CDB 90所以 3 B 90 （直角三角形两锐角互余）所以 1 3 （同角的余角相等）即BAC 2 DCB说明：1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也
15、同理，或构造“半” ，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出 DCB 的等角等。例12已知：如图，在 ABC 中，ABAC，D 是 BC 的中点， DEAB，DF AC，E、F 分别是垂足。求证： AEAF。AE FB D C证明：因为 AB AC ，所以 B C又因为 DE AB ， DF AC所以 BED CFD 90又 D 是 BC 的中点，所以 DB DC所以 DEB CFD (AAS )所以 BE CF，所以 AE AF说明：证法二：连结 AD，通过 AEDAFD 证明即可例 13. 如图， ABC 中， ABAC， A100 ，BD 平分 ABC 。求证： AD BD
16、BC 。AD1B2EFC分析一：从要证明的结论出发，在BC 上截取 BF BD ，只需证明 CF AD ，考虑到12 ，想到在 BC 上截取 BE BA ，连结 DE，易得，则有 AD FD ，只需证明 DE CF ，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出CFDFDE 。证明一：在BC上截取BEBA ，BFBD ，连结DE、DF在ABD和EBD中， BABE，12，BDBDABDEBD (SAS )ADDE ，BEDA 100DEF80又AB AC， A 100ABCC1 (180100 )40121240202而 BDBFBFDBDF1(1802)120 )802(1802DEFDFE80D
17、EDFDFE80 ，C40FDCDFEC804040FDCCDFFCADDEDF FCBC BFFCBDAD即AD BD BC例题 14：如图，可以考虑延长 BD 到 E，使 DEAD，这样 BD AD=BD+DE=BE ，只需证明 BE BC，由于 2 20 ，只需证明E BCE 80A3DE6145B 2F C易证EDCADB180100 2060 ，BDC120 ，故作BDC的角平分线，则有ABDFBD，进而证明DECDFC ，从而可证出E80 。证明二：延长 BD 到 E，使 DEAD ，连结 CE，作 DF 平分 BDC交BC于F。由证明一知：12 20， A100则有3 180 1
18、002060， 6360 ， BDC18060 120DF 平分 BDC4560345660 ，在 ABD 和 FBD 中12，BDBD， 34ABDFBD (ASA )ADFD， BFDA 100 ，而 ADDE， DFDE在 DEC 和 DFC 中， DEDF，56，DCDCDECDFC (SAS)EDFC180BFD18010080在BCE中， 2 20 ， 3 80BCE80 ，EBCEBCBE，ADBDBC说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径， 读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。例 15. 如图，
19、 ABC 是等边三角形， CBD 90 ， BD BC ，则 1 的度数是 _。A2C13 DB分析：结合三角形内角和定理， 计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。解：因为ABC 是等边三角形所以 ABBC ， ABC60因为 BDBC ，所以 ABBD所以 32在 ABD 中，因为CBD90 ， ABC 60所以 ABD150 ，所以2 15所以 12ABC75例 16. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上 .已知：如图，在 ABC 中， AB AC ，D、E 分别为 AC、AB 边中点， BD、CE 交于 O 点。求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上。分析：欲证本
20、题结论，实际上就是证明 OB OC 。而 OB、OC 在ABC 中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有 1、 2 的两个三角形全等。证明：因为在 ABC 中， AB AC所以 ABC ACB （等边对等角）又因为 D、E 分别为 AC、AB 的中点，所以 DC EB（中线定义）在BCD 和 CBE 中，DC EB (已证 )DCB EBC (已证 )BC CB (公共边 )所以 BCD CBE (SAS)所以 1 2 （全等三角形对应角相等） 。所以 OB OC （等角对等边）。即点 O 在 BC 的垂直平分线上。说明：（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非
21、常重要的一步。特别是把“在底边的垂直平分线上”正确地理解成“ OBOC”是关键的一点。（2）实际上，本题也可改成开放题：“ ABC 中，AB AC，D、E 分别为 AC、AB 上的中点， BD、CE 交于 O。连结 AO 后，试判断AO 与 BC 的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。例 17. ABC 中， AB AC ， A 120 ， AB 的中垂线交 AB 于 D ，交 CA 延长线于 E，求证： DE 1 BC 。2分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取 BC 的中点。证明：过点 A 作 BC 边的垂线 AF，垂
22、足为 F。EA32D1BFC在 ABC 中， AB AC ， BAC120所以BC3031所以1260 ，BF1 BC （等腰三角形三线合一性质） 。2所以360 （邻补角定义）。所以 13又因为 ED 垂直平分 AB ，所以 E30（直角三角形两锐角互余） 。AD1 AB （线段垂直平分线定义） 。21AB （直角三角形中角所对的边等于斜边的一又因为 AF2半）。所以 ADAF在Rt ABF 和 Rt AED 中，13(已证 ) AF AD (已证 )AFBADE 90所以 Rt ABF Rt AED (ASA )所以 ED BF即ED 1BC。2例18：如图，在 ABC 中，AB=AC ，延长 AB 到 D，使 BD=AB ，取AB 的中点 E，连接 CD 和 CE. 求证： CD=2CE分析：()折半法：取 CD 中点 F，连接 BF，再证 CEBCFB.这里注意利用 BF 是 ACD 中位线这个条件。证明：取 CD 中点 F，连接 BF1 BF=2 AC,且 BFAC （三角形中位线定理） ACB 2 (两直线平行内错角相等 )又 AB=AC ACB 3 （等边对等角） 3 2在 CEB 与 CFB 中，BF=BE3 2 CB=CBCEBCFB (SAS)1 CE=CF=2 CD （全等三角形对应边相等）即CD=2CE（）加倍法证明：延长 CE 到 F，使
