1、第四讲利用全等三角形 的证明技巧,三角形全等的基本思路：,(1)（2）,（1）如图（1），已知AC=AD，请你添加一个条件，使得ABCABD.（2）如图（1），已知C=D，请你添加一个条件，使得ABCABD.（3）如图（1），已知CAB=DAB，请你添加一个条件，使得ABCABD.（4）如图（2），已知B=C，请你添加一个条件，使得ABEACD.,例1,BC=BD（BAC=BAD）,ABC=ABD（BAC=BAD）,AC=AD（ABC=ABD或C=D）,AB=AC（AD=AE或BE=DC）,探究类型二 运用全等三角形证明线段相等或直线垂直、平行,例2 如图，已知RtABCRtADE,ABC=A
2、DE=90,BC与DE相交于点F，连接CD,EB.（1）图中还有几对全等三角形？请你一一列举；（2）求证：CF=EF.,答案：解：（1）ADCABE,CDFEBF.（2）证明：RtABCRtADE,AC=AE,AB=AD,CAB=EAD,CAB-DAB=EAD-DAB,即CAD=EAB,ACDAEB(SAS),CD=EB,ADC=ABE.又ADE=ABC,CDF=EBF.又DFC=BFE,CDFEBF(AAS),CF=EF.,探究类型之三 加倍折半法证明倍分关系,例3 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作
3、交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADCEDB的理由是（）A.SSS B.SAS C.AAS D.HL（2）求得AD的取值范围是（）A.6AD8 B.6AD8C.1AD7 D.1AD7,B,D,拓展延伸：如图，已知D为ABC边BC的中点，DEDF，则 BE+CF与EF有何大小关系？,答案：解：如图，延长ED到G使DG=ED，连接CG，FG.在BED和CGD中，BD=CD，BDE=CDG，DG=ED，BEDCGD，CG=BE.DEDF，EDF=GDF.在EFD和GFD中，FD=FD，EDF=GDF，ED=DG，EFD
4、GFD，EF=FG，在FCG中，FC+CGFG，BE+CFEF,探究类型四 利用截长补短法解决有关两条线段的和或差的问题,例4 如图，在ABC中，ABC=60,AD，CE分别平分BAC，ACB，且相交于点O.求证：AC=AE+CD.,拓展延伸：如图，在ABC中，B=2C,BAC的平分线AD 交BC于D.求证：AB+BD=AC.,证明：在AC上截取AE=AB,连接DE,如图.AD是BAC的平分线，1=2.在ABD和AED中,AB=AE,1=2,AD=AD,ABDAED.B=3,BD=DE,又B=2C,3=4+C,C=4.DE=CE.AC=AE+EC=AB+BD.,方法2：,方法3：,AD是BAC
5、的平分线，1=2 又ABD=2C,ABD=3+E,C=E.BE=BD.在AED和ACD中,E=C,1=2,AD=AD,AEDACD.,探究类型之五 与三角形全等有关的探究型问题,例5 如图所示，在RtABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.,答案:解：BE=EC，BEEC.理由：AC=2AB，点D是AC的中点,AB=AD=CD.EAD=EDA=45,EAB=EDC=135.又EA=ED,EABEDC,AEB=DEC，EB=EC.DE
6、C+BED=AEB+BED,BEC=AED=90,BE=EC，BEEC.,课堂总结 添加辅助线构造全等的方法：1.在求线段的和差关系时，会采用“截长补短法”；2.倍长中线：（1）已知三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形；（2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造 全等三角形.,倍长中线造“8”字形，出全等有平行,3.遇见角平分线经常做辅助线的方法：,C,D,AC=DC,7,21.如图，已知在ABC中，ACB=90，AC=BC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.,22,23、如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120，
7、B=ADC=90E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系,(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；,24、如图，过正方形ABCD的顶点B作直线L，过A，C，D作L的垂线垂足分别为点E，F，G若AE=2，CF=6，则CF+AE+DG的值为,25、如图，在ABC中，C=90，P、E分别是边AB、BC上的点，D为ABC外一点，DEBC，DE=EC，BE=2EC，BDE=PEC，ADPE，AC=4，则线段BC的长为。,26、如图，AEAB且AE=AB，BC
8、CD且BC=CD，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为_,27、如图.ACB=90，AC=BC，BECE，ADCE，垂足分别为E，D，图中有哪条线段与AD相等，并说明理由。,B,E,A,C,D,28、如图，在等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC的中点，过点B作BFBC，并使BF=BD，连接CF交AB于E(1)BDE=ADC；(2)连接AF，试判断AF与CF的大小关系，并说明理由,29、如图，ABC=90，AB=AC，D是AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F，求证：EF=CFAE,30、已知ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q求BQM等于多少度,M,A,B,C,M,N,Q,再见,
