1、112 三角形全等的判定 同步辅导含答案1.2 三角形全等的判定一、教学内容： 三角形全等的判定1. 三角形全等的判定；2. 直角三角形全等的判定；3. 学习掌握综合证明的格式、步骤。二、知识要点：1. 三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。表示方法：如图所示，在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS）。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。表示方法：如图所示，在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA）。（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。表示方法：如图所示，在
2、ABC和DEF中，ABCDEF（AAS）。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。表示方法：如图所示，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。表示方法：如图所示，在RtABC和RtDEF中，ABDE，BCEF，RtABCRtDEF（HL）。注意：三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在ABC和ABD中，ABAB，ACAD，BB，显然它们不全等。三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小
3、一样的等边三角形。2. 全等三角形的基本图形在平面几何中，有很多问题都可以借助于三角形全等来解决，比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。在运用三角形全等这一工具时，主要是找两个三角形，并找出它们满足全等的条件来；解题时经常需要通过观察图形的运动状况，把两个全等三角形中的一个看成是另一个的平行移动、翻折、旋转等方法得到的，这需要对常见的全等三角形做到心中有数，如下图列举了几个常见的基本图形。掌握这些全等形的对应边和对应角的位置关系，对我们在复杂的几何问题中迅速、准确地确定全等三角形是至关重要的。三、重点难点：1. 重点：能够快速准确地找出适合题意的三角形全等的判定方法。理解证明的基本过程，
4、掌握综合法证明的格式。2. 难点：分析证明命题的途径，这一步学习起来比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。【考点分析】 三角形全等的判定是一个比较重要的知识点，在考题中一般是选择题和填空题，也有证明题和计算题，甚至是探究题。【典型例题】例1. 如图所示，ABCD，ACDB。求证：ABCDCB。 分析：由已知可得ABCD，ACDB，又因为BC是两个三角形的公共边，所以根据SSS可得出ABCDCB。 证明：在ABC和DCB中，ABCD，ACDB，BC=CBABCDCB（SSS） 评析：证明格式：点明要证明的两个三角形；列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括
5、号括起来；条件按照“SSS”顺序排序；得出结论，并把判断的依据注在后面。例2. 已知：如图所示，ABDE，BDEF，BECF。求证：ACDF。 分析：欲证ACDF，可通过证明ACBF，由平行线的判定定理即可得证。而ACB与F分别是ABC和DEF的内角，所以应先证明ABCDEF。由BECF易得BCEF，再结合已知条件ABDE，BDEF即可达到目的。 证明：BECF，BEECCFEC，即BCEF。在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）。ACBF。ACDF。 评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。这里大括号中的条件按照“SAS”顺序排列。例3. 如图所示，RtA
6、BC中，ACB90，ACBC，ADCD于D，BFCD于F，AB交CD于E，求证：ADBFDF。 分析：要证ADBFDF，观察图形可得CFCDDF，只需证明CFAD，CDBF即可，也就是要证明CFBADC。由已知BCAC，CFBADC90，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BFCD，ACB90，易证得CBFACD，问题便得到证明。 证明：ACB90，BFCDACDBCD90，CBFBCD90CBFACD（同角的余角相等）又ADCD，CFBADC90在CFB和ADC中，CFBADC（AAS）CFAD，BFCD（全等三角形的对应边相等）又CFCDDFADBFDF 评析：由条件ACBC和垂直关系可得
7、，AC、BC为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用AAS证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。例4. 如图所示，ABCD，AFDE，BECF，求证：ABCD。 分析：要证明ABCD，由于AB、CD分别是ABF和DCE的边，可尝试证明ABFDCE，由已知易证：BC，AFBDEC，下面只需证明有一边对应相等即可。事实上，由BECF可证得BFCE，由ASA即可证明两三角形全等。 证明：ABCD，BC（两直线平行，内错角相等）又AFDE，AFCDEB（同上）AFBCED（等角的补角相等）又BECF，BEEFCFEF，即BFCE在ABF和DCE中，ABFDCE（ASA）ABCD（全
8、等三角形对应边相等） 评析：由平行条件转化角，由线段和差关系转化线段，为证三角形全等做准备。解题思路：由已知条件，探寻三角形全等的条件，证得全等，再利用全等的性质解决相关问题。例5. 如图所示，RtABC中，C90，AC10cm，BC5cm，一条线段PQAB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动。问点P运动到AC上什么位置时，ABC才能和PQA全等？ 分析：要使ABC与PQA全等，由于CPAQ90，PQAB，则只需APCB或APCA，由HL即可知道它们全等，从而容易确定P点的位置。 解：由题意可知，CPAQ90，又ABPQ，要使ABCPQA，则只需APCB或APCA即可，
9、从而当点P运动至AP5cm，即AC中点时，ABCQPA；或点P与点C重合时，即APCA10cm时，ABCPQA。 评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。例6.如图，ABC和EBD都是等腰直角三角形，A、B、D三点在同一直线上，连结CD、AE，并延长AE交CD于F。（1）求证：ABECBD。（2）直线AE与CD互相垂直吗？请证明你的结论。 分析：根据已知条件易得ABBC，BEBD，ABCCBD90正好
10、是ABE和CBD全等的条件。对于AE与CD垂直关系的证明需要推证出CFA90。 证明：（1）ABC和EBD都是等腰直角三角形，ABCB，BEBD，ABCCBD90ABECBD（SSA）（2）AECD，在ABE和CEF中，EABECF，AEBCEF，且ABE90，ECFCEFEABAEBECFCEF180（EABAEB）即AFCABE90AECD。 评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。【方法总结】1. 现阶段三角形全等所需的三个条件常与下列几种情况有关：利用中点的定义证明线段相等；利用垂直的定义证明角相等；利用平行线的性质证明角相等；利用三角形的内角和等
11、于180证明角相等；利用图形的和、差证明边或角相等。2. 证明一个几何中的命题有以下步骤：根据题意，画出图形。根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证。经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程。在一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。3. 构造全等三角形要能够构造两个全等三角形，利用“全等三角形的对应边相等”的特征，实地操作，测量出不能到达的两点之间的距离，并能说出这样测量的道理。【模拟试题】（答
12、题时间：60分钟）一、选择题1. 下列条件不能判定两个三角形全等的是 （ ）A. 有两边和夹角对应相等 B. 有三边分别对应相等C. 有两边和一角对应相等 D. 有两角和一边对应相等2. 下列条件能判定两个三角形全等的是 （ ）A. 有三个角相等 B. 有一条边和一个角相等C. 有一条边和一个角相等 D. 有一条边和两个角相等3. 如图所示，已知ABCD，ADBC，那么图中共有全等三角形 （ ）A. 1对 B. 2对 C. 4对 D. 8对 (第3题) (第4题) (第5题)4. 如图所示，已知AD，12，那么要得到ABCDEF，还应给出的条件是（ ）A. EB B. EDBC C. ABEF
13、 D. AFCD5. 如图所示，点E在ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若12，EC，AEAC，则 （ ）A. ABCAFE B. AFEADCC. AFEDFC D. ABCADE6. 我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有 （ ）A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种7. 如图所示，ABEFCD，ABC90，ABDC，那么图中的全等三角形有 （ ）A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 (第7题) (第8题) (第9题)8. 如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为D，且BC6cm，则BD（ ）A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm9. 如
14、图所示，DEAB，DFAC，AEAF，则下列结论成立的是 （ ）A. BDCD B. DEDF C. BC D. ABAC二.、填空题10. 如图所示，ACBD，ACBD，那么_，理由是_. (第10题) (第12题) (第13题)11. 已知ABCABC，AB6cm，BC7cm，AC9cm，A70，B80，则AB_，BC_，AC_，C_，C_. 12. 如图所示，已知ABAC，在ABD与ACD中，要使ABDACD，还需要再添加一个条件是_. 13. 如图所示，已知ABCDEF，AB4cm，BC6cm，AC5cm，CF2cm，A70，B65，则D_，F_，DE_，BE_. 14.如图，点D、E
15、分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AEAD，要使ABEACD，需添加一个条件是_（只要求写一个条件）. (第14题) (第15题)15.如图，AC、BD相交于点O，AD，请你再补充一个条件，使得AOBDOC，你补充的条件是_. 三、解答题16.已知：如图，12，CD，求证：ACAD. 17.如图，A、E、B、D在同一直线上，在ABC和DEF中，ABDE，ACDF，ACDF. （1）求证：ABCDEF；（2）你还可以得到的结论是_（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）18.你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地
16、面垂直. 当一方着地时，另一方上升到最高点. 问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA、BB有何数量关系？为什么？19. MN、PQ是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C等距离的B、E两处，这时他们分别从B、E两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A、D两点，他们的行走路线AB、DE平行吗？请说明你的理由. 20. 有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A、B的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由. 方案一：小明想出了这样一个方法，如图所示，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CDBC，再定出BF的垂线DE，使
17、A、C、E在同一条直线上，测得DE的长就是AB的长. 你能说明一下这是为什么吗？方案二：小军想出了这样一个方法，如图所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A、B的点C，连结AC并延长到点D，使CDCA，连结BC并延长到E，使CECB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离. 你能说明一下这是为什么吗？21. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等. 那么在什么情况下，它们会全等?（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等. 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）. 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如
18、下：已知：ABC、A1B1C1均为锐角三角形，ABA1B1，BCB1C1，CC1. 求证：ABCA1B1C1. （请你将下列证明过程补充完整）证明：分别过点B，B1作BDCA于D，B1D1C1A1于D1. 则BDCB1D1C190，BCB1C1，CC1，BCDB1C1D1，BDB1D1. _。（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论. 参考答案1. C 2. D 3. C 4. D 5. D 6. A 7. C 8. C 9. B10. AOCBOD；AAS或ASA11. 6cm 7cm 9cm 30 3012. BDCD或BADCAD13. 70 45 4cm 2cm1
19、4. BC、AEBADC、CEOBDO、ABAC、BDCE（任选一个即可）15. AODO或ABDC或BOCO16. 证ACBADB17. （1）证明：ACDF，AD，ABDE， ACDF，ABCDEF（SAS）（2）答案不唯一，如：AEDB，CF，BCEF等. 18. 答：AABB，证AAOBBO19. 平行. 理由如下：由已知条件得，ABDE，BCCE，RtABCRtDCE（HL），ABCDEC，ABDE. 20. 小明的做法有道理，其理由如下：因为ABBF，DEBF，所以ABCEDC，又因为A、C、E三点在同一条直线上，所以ACBECD，且BCDC，所以ABCEDC（ASA），所以ABDE（全等三角形的对应边相等）. 小军的做法有道理，其理由如下：因为在ABC和DCE中，CDCA，ACBDCE（对顶角相等），CEBC，所以ABCDEC（SAS），所以ABDE（全等三角形的对应边相等）. 21. （1）又ABA1B1，ADBA1D1B190，ADBA1D1B1，AA1，又CC1，BCB1C1，ABCA1B1C1（2）若ABC、A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，ABA1B1，BCB1C1，CC1，则ABCA1B1C1.
