1、高中数学一元二次函数方程和不等式基本不等式讲义新人教A版必修一第一册2.2 基本不等式最新课程标准：掌握基本不等式亍(a.b0) 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题新知初探M3E3困E1知识点基本不等式重要不等式：对于任意实数 a、b,都有a2+ b2仝2ab,当且仅当a=时，等号成立. 基本不等式： 剧乞苓(a0, b0),当且仅当a= b时，等号成立.其中竺夢和更分别叫做正数a, b的算术平均数和几何平均数.a p b状元随笔|基本不等式 ab(a , b R+)的应用:两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a0, b0,且a + b = M M为定(2)两个
2、正数的积为定值时， 它们的和有最小值，即若a0, b0,且ab = P, P为定值,则a + b2 P,当且仅当a = b时等号成立.基础自测1. 已知a, b R,且ab0,则下列结论恒成立的是 ( )A. a2 + b22ab B. a + b2 ab112 b aC.一 + D. -+ 2a b ab a b解析：对于A,当a= b时，a2+ b2= 2ab,所以A错误；对于B, C,虽然ab0,只能说b a b明a, b同号，当a, b都小于0时，B, C错误；对于D,因为ab0,所以-0,匚0,所以-a b aa b a 亦b a 亠、+2 5 b 即 a+ b2 成立.答案：D12
3、.若a1，贝U a+；的最小值是( )a- 1A. 2 B . aC. D - 3解析：al，所以a- 10,1 1 / 所以 a+ a-7=a-1+a-1+3 a-1 a-1+1=3.i当且仅当a- 1= 即a= 2时取等号.a 1答案：D3.下列不等式中，正确的是 ( )4 2 2A. a+ 4 B . a + bab a4 2 2解析：a4 不成立，故 A错；a= 1, b= 1, a + b 4ab,故 B错，a= 4, ba a _l b=16，则.ab2 , xy = 2 15，即x+ y的最小值是2 15;当且仅当x= y= 15时取 最小值.当且仅当x = y=时xy取最大值.
4、答案：(1)2 .15 (2)竽第1课时基本不等式课堂题型一对基本不等式的理解经典例题例1 (1)下列不等式中，不正确的是 ( )2 2A.a + b 2| a| b|2aB 2 a- b(b 0)b2 2 2D. 2(a + b) ( a+ b)(2)给出下列命题：1若 x R,贝U x+ -2;Xy x不等式-+y 2成立的条件是x0且y0.其中正确命题的序号是x y【解析】 (1)A 中，a2 + b2=|a|2+ | b|22| a| b|，所以 A正确.由 a2 + b22ab,得21, 所2 2 a .a 2ab-b .B中，当b2 ab,得 2( a2+ b2) a2 + b2
5、+ 2ab= (a + b)2，所以 D 正确.1.举反例、基本不等式 ？逐个判断.2.明确基本不等式成立的条件 ？逐个判断.【答案】(1)B错误.基本不等式的两个关注点(1)正数：指式子中的 a, b均为正数,相等：即“=”成立的条件.【答案】跟踪训练1设0ab，则下列不等式中正确的是 （ ）A.ab ababa+ bB.a ab2b a+ bC.a abb2，一 a+ bD. abab解析：2 2 a+ b j a+ b0ab? a abb ? a abb, 0ab? 2aa+ b2b? a 2 b,又.ab 2，所以 a. ab* ,P,所以 x+ y2 P,当且仅当x = y时，上式等
6、号成立.于是，当 x = y时，和x+ y有最小值2 , P.当和x+ y等于定值S时，.xy0, y0,且x+ y = 8,则(1 + x)(1 + y)的最大值为( )A. 16 B. 25C. 9 D . 36 若正实数x, y满足x+ 2y+ 2xy 8 = 0，则x + 2y的最小值( )A. 3 B . 4解析：(1)因为 x0, y0,且 x+ y= 8,因此当且仅当x= y = 4时,(1 + x) (1 + y)取最大值 25.因为正实数x, y满足x + 2y+ 2xy 8 = 0, 所以 x+ 2y + j；2y 2 80.设 x + 2y = t0,1 2所以 t +
7、7 80,所以 t2+ 4t 320,即(t + 8)( t 4) 0,所以t 4,故x + 2y的最小值为4.答案：(1)B (2)B状元随笔1 .展开(1 + x)(1 + y) ?将x + y = 8代入？用基本不等式求最值.的最小值.C. 5 D .当且仅当3x = 4y时取等号,错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致.【正解】 由x + 3y= 5xy可得+专=1,所以3x+ 4y= （3x + 4y）点+囂=害+4+鲁12y 13 3x 12y 13 125x 5 .5y 5x 5 5 ，1当且仅当x = 1, y= $时取等号，故3x+ 4y的最小值是5
8、.答案：C课时作业8HHI皆1* 呼业达标 iWffiWKMMHMMfHWMWWWWMJ一、选择题b a1.给出下列条件： ab0；ab0, b0；a0, b2成 a b立的条件有（ ）A. 1个 B. 2个C. 3个D . 4个b a b a解析：当-，匸均为正数时，- +匸2,故只须a、b同号即可，.均可以.a b a b答案：C,2 ,t 4t + 1的最小值为（ ）A.C.22.t 4t + 1t (t 0)的最小值是答案：B3若 a0, b0,且 a+ b= 2,则( )1 1A. abw： B . ab2 2C. a2 + b22 D . a2+ b22 ab,2 2 2 2 2
9、2(a + b) + (a + b)(a + b) + 2ab?即 2(a2+ b2) (a+ b)2 = 4,2 2二 a + b2.答案：C4. 若a, b都是正数，则1 + a 1 +岸 的最小值为( )A. 7 B . 8C. 9 D . 10解析：因为a, b都是正数，所以+1 + 4a)= 5+ a+岸5+ 2寸牛4a = 9,当且 仅当b= 2a0时取等号.答案：C二、填空题5. 不等式a2 + 12a中等号成立的条件是 .2 2解析：当a + 1 = 2a,即(a 1) = 0时“=”成立，此时 a= 1.答案：a= 16. 设a+ b= Ma0, b0), M为常数，且 ab
10、的最大值为2，贝U M等于 .解析：因为 a+ b= Ma0, b0),由基本不等式可得,因为ab的最大值为mM4，2所以M = 2, M0,所以 M= 2 2.答案：2 21 37.已知x0, y0,且y+ x = 1，贝U 3x + 4y的最小值是 解析：1 3因为 x0, y0, y+ - = 1,y AX 4y = 25(当且仅当x =所以 3X+ 4y = (3x + 4y) + X i= 13+ 3x + 型13+ 3X2y x y x2y= 5时取等号)，所以(3 x + 4y) min= 25.答案：25三、解答题5 18.已知x4，求f(x) = 4x 2 + 4x=的最大值
11、.解析：因为 x|，所以 4x 50.又 5 4x0,所以 5 4x = 1, x= 1. 所以 f(X)max= f (1) = 1.9.已知函数f (x) = 4x + a(x0, a0)在x= 3时取得最小值，求 a的值. x解析:因为 f (x) = 4x+ x2、/4x = 4寸a.a 2当且仅当4x =-,即4x = a时，f (x)取得最小值.x又因为x = 3，所以a = 4X3 2= 36.尖子生题库10 .已知x 0, 2，求函数1 8y=x+r的最小值.解析：y =81 - 2x2 82X+ i-2X (2x+1 2x) = 10+ 21-2xK 4 82x1- 2x，1, 2 1-2x+ 8 t-2x22 16= 8,2 2x 1-2x 即x =卜 0,2时取到等号， 则 y18,1 8所以函数y = -+ L 的最小值为18.x 1 - 2x
