1、12年高考文科数学解析分类汇编导数2012年高考文科数学解析分类汇编：导数2012年高考文科数学解析分类汇编：导数 一、选择题 1 ）设函数f(x)在R上可导,其导函数f?(x),且函数f(x)在x?2处取得极小值,则函数y?xf?(x)的图象可能是 2 ）设a0,b0,e是自然对数的底数 A若e+2a=e+3b,则ab abB若e+2a=e+3b,则aabC若e-2a=e-3b,则ab abD若e-2a=e-3b,则a3 ）设函数f(x)=abAx=1为f(x)的极大值点 22+lnx 则 x1Bx=为f(x)的极小值点 2Dx=2为 f(x)的极小值点 Cx=2为 f(x)的极大值点 4
2、）设函数f(x)?1,g(x)?x2?bx.若y?f(x)的图象与y?g(x)的图象有且仅有x 两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 Ax1?x2?0,y1?y2?0 Cx1?x2?0,y1?y2?0 5 ）函数y=Bx1?x2?0,y1?y2?0 D错误！不能通过编辑域代码创建对象。 A(?1,1 12x?x的单调递减区间为 2C1,+) D(0,+) B(0,1 6 ）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 A 11? 2?B1? C1?2? D2? 7 ）已知f(x)?
3、x3?6x2?9x?abc,a?b?c,且f(a)?f(b)?f(c)?0.现给出如下结论:f(0)f(1)?0;f(0)f(1)?0;f(0)f(3)?0;f(0)f(3)?0. 其中正确结论的序号是 A B 二、填空题 8 ）已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(1,1),C(1,0). 2 C D 函数y?xf(x)(0?x?1)的图像与x轴围成的图形的面积为_ . 9 ）曲线y?x(3lnx?1)在点(1,1)处的切线方程为_ 三、解答题 10）已知函数f(x)?ax3?bx?c在x?2处取得极值为c?16 (1)求a、b的值;(2)若f(x)有极大值28,求
4、f(x)在?3,3上的最大值.11）已知aR,函数f(x)?4x3?2ax?a (1)求f(x)的单调区间 (2)证明:当0x1时,f(x)+ 2?a0. 12）已知函数f(x)?131?a2x?x?ax?a(a?0) 32(I)求函数f(x)的单调区间; (II)若函数f(x)在区间(?2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围; (III)当a?1时,设函数f(x)在区间t,t?3上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)?M(t)?m(t),求函数g(t)在区间?3,?1上的最小值. 13）设函数fn(x)?xn?bx?c(n?N?,b,c?R) (1)设n?2,b?1,?1?c?1
5、,证明:fn(x)在区间?,1?内存在唯一的零点; ?2?(2)设n为偶数,f(?1)?1,f(1)?1,求b+3c的最小值和最大值; (3)设n?2,若对任意x1,x2?1,1,有|f2(x1)?f2(x2)|?4,求b的取值范围;14）已知函数f(x)?lnx?k(k为常数,e=是自然对数的底数),曲线y?f(x)ex在点(1,f(1)处的切线与x轴平行. ()求k的值;来源: ()求f(x)的单调区间; ()设g(x)?xf?(x),其中f?(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x?0,g(x)?1?e?2.来源: 15）设f(x)?lnx?x?1,证明: 3( x?1) 29(x?1)
6、()当1?x?3时,f(x)? x?5()当x1时,f(x) 16）设函数f(x)= e-ax-2 x()求f(x)的单调区间 ()若a=1,k为整数,且当x0时,(x-k) f(x)+x+10,求k的最大值 17）已知函数f(x)?(ax2?bx?c)ex在?0,1?上单调递减且满足f(0)?1,f(0)?0. (1)求a的取值范围; (2)设g(x)?f (1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的最大值; (3)证明:f(x)?20）(不等式、导数)设,B?x?R2x2?3?1?a?x?6a?0,D?A?B. A?x?R0?x()求集合D(用区间表示); ()求函数f?x?2x3?3?1?
7、a?x2?6ax在D内的极值点. 来源: 21）已知函数f(x)?axsinx?3?3(a?R),且在0,上的最大值为, 222(1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在(0,?)内的零点个数,并加以证明. 22）已知函数f(x)?13x?x2?ax. 3()讨论f(x)的单调性; ()设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)的直线l与x轴的交点在曲线y?f(x)上,求a的值. 23）已知函数f(x)?ax2?1(a?0),g(x)?x3?bx. (1)若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
8、 (2)当a?3,b?9时,求函数f(x)?g(x)在区间k,2上的最大值为28,求k的取值范围.24）设定义在(0,+?)上的函数f(x)?ax?1?b(a?0) ax()求f(x)的最小值; (II)若曲线y?f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y? 3x,求a,b的值. 2 2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案 一、选择题 1. 【答案】:C 【解析】:函数f(x)在x?2处取得极小值可知x?2,f?(x)?0,则xf?(x)?0;x?2,f?(x)?0则?2?x?0时xf?(x)?0,x?0时xf?(x)?0 【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于
9、基础题. 2. 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若ea?2a?eb?3b,必有ea?2a?eb?2b.构造函数:f?x?ex?2x,则f?x?ex?2?0恒成立,故有函数f?x?ex?2x在x0上单调递增,即ab成立.其余选项用同样方法排除. 3. 解析:f?(x)?x?21?x?2x2f(x)?0,f(x)?0,令得,时,x2x1时,f?(x)?0,f(x)?lnx为增函数,所以x?2为f(x)的极小值点,选D. x 4. 解析:设F(x)?x3?bx2?1,则方程F(x)?0与f(x)?g(x)同解,故其有且仅
10、有两个不同零点x1,x2.222F?(x)?0得x?0或x?b.这样,必须且只须F(0)?0或F(b)?0,因为F(0)?1,故必有F(b)?0333此得b?33223,比较系数得?x134?1,故2)2.不妨设x1?x2,则x2?b?32.所以F(x)?(x?x1)(x?2311x?x11B. x1?x2?32?0,此知y1?y2?12?0,故答案应选y x1x2x1x222另解:令f(x)?g(x)可得设y?1?x?b. 2x1,y?x?b 2xy?x?b 不妨设x1?x2,结合图形可知,x1?x2, 即0?x1?x2,此时x1?x2?0,y2?5. 【答案】B x1x x 11?y1,即
11、y1?y2?0.答案应选B. x2x1【解析】?y?121x?lnx,?y?x?,y?0，解得-1x1,又x?0,?0?x1,故选B 2x【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题. 6. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4, 则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=?(2a)?a, 而S1+S3 与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆,即S1+S3 +S2+S3?a. -得S3=S4,图可知21422S3=(S扇形EOD?S扇形COD)?S正方形OEDC?12?a?a2,所以. 2
12、S阴影?a2?2a2. 几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=S阴影S扇形OAB?a2?2a22. ?1?a2?【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 7. 【答案】C 【解析】?f(0)?abc,f(1)?4?abc,f(3)?27?54?27?abc?abc?f(0), 又f?(x)?3(x?1)(x?3),所以f(x)在(?,1)和(3,?)上单调增加,在(1,3)上单调递减,故a?1?b?3?c,?f(0)f(1)?0,f(0)f(3)?
13、0 【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想. 二、填空题 0?x?1?2x,28. 解析 如图1,f(x)?, 12?2x,?x?12?1 A (O) y B C 1 x P O y M N x D 1 图2 ?2x2,0?x?12所以y?xf(x)?, 21?2x?2x,2?x?1 图1 易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=1?1?229. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题. 14. 【
14、解析】y?3lnx?4,切线斜率为4,则切线方程为:4x?y?3?0. 三、解答题 10. 【答案】:()134() 2727 【解析】:()因f(x)?ax3?bx?c 故f?(x)?3ax2?b 于f(x) 在点x?2 处取得极值 ?f?(2)?0?12a?b?0?12a?b?0?a?1故有?即? ,化简得?解得? f(2)?c?168a?2b?c?c?164a?b?8b?12?()()知 f(x)?x3?12x?c,f?(x)?3x2?12 令f?(x)?0 ,得x1?2,x2?2当x?(?,?2)时,f?(x)?0故f(x)在(?,?2)上为增函数; 当x?(?2,2) 时,f?(x)
15、?0 故f(x)在(?2,2) 上为减函数 当x?(2,?) 时f?(x)?0 ,故f(x)在(2,?) 上为增函数. 此可知f(x) 在x1?2 处取得极大值f(?2)?16?c,f(x) 在x2?2 处取得极小值f(2)?c?16f(?题设条件知1?c6? 得c?12此时3?)c?9?f2,f(2)1?c?c?16?4因此?f(x) 上?3,3的最小值为f(2)?4 【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数f(x)进行求导,根据f?(2)?0=0,f(2)?c?16,求出a,b的值.(1)根据函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极
16、小值-1先求出函数中的参数a,b的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值. 11. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力. 【解析】(1)题意得f?(x)?12x?2a, 当a?0时,f?(x)?0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为?,?. 2?aa?aa当a?0时,f?(x)?
17、12(x?)(x?),此时函数f(x)的单调递增区间为?,?. 6666?33(2)于0?x?1,当a?2时,f(x)?a?2?4x?2ax?2?4x?4x?2. 333当a?2时,f(x)?a?2?4x?2a(1?x)?2?4x?4(1?x)?2?4x?4x?2. 设g(x)?2x3?2x?1,0?x?1,则g?(x)?6x?2?6(x?则有 x 233)(x?). 33?3?3,1? ?+ 增 1 0 ?3?0,?3? ?- 减 3 30 极小值 g?(x) g(x)1 1 所以g(x)min?g(343)?1?0. 393当0?x?1时,2x?2x?1?0. 故f(x)?a?2?4x?4
18、x?2?0. 12.解:(1)3f?(x)?x2?(1?a)x?a?(x?1)(x?a),f?(x)?0,得x1?1,x2?a?0 13. 1?lnx?k1?kx?14.解:(I)f?(x)?,已知,f(1)?0,k?1. exe1?lnx?1x(II)(I)知,f?(x)?. ex111?lnx?1,则k?(x)?2?0,即k(x)在(0,?)上是减函数, xxxk(1)?0知,当0?x?1时k(x)?0,从而f?(x)?0, 当x?1时k(x)?0,从而f?(x)?0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,?). 设k(x)?(III)证明:(II)可知,当x
19、?1时,g(x)?xf?(x)01?xlnx?x?1?xlnx?x. xe设F(x)?1?xlnx?x,x?(0,1),则F?(x)?(lnx?2), 当0?x?1时,ex1,且g(x)?0,g(x)?当x?(0,e?2)时,F?(x)?0,当x?(e?2,1)时,F?(x)?0, 所以当x?e?2时,F(x)取得最大值F(e?2)?1?e?2. 所以g(x)?F(x)?1?e?2. 综上,对任意x?0,g(x)?1?e?2. 另证:因为g(x)?xf?(x)?1(1?x?xlnx),(x?0), xe设h(x)?1?x?xlnx,则h?(x)?lnx?2,令h?(x)?lnx?2?0,x?e
20、?2, 当x?(0,e?2)时h?(x)?0,h(x)单调递增;当x?(e?2,?)时h?(x)?0,h(x)单调递减.所以当x?0时,h(x)?h(e?2)?1?e?2, 1?1, ex1?2所以当x?0时g(x)?x(1?x?xlnx)?1?e,综上可知结论成立. e而当x?0时0?15. 【答案与解析】 【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. 16. () 解:f?x?的定义域为R,f?x?ex?a; 若a?0,则f?x?0恒成立,所以f?x?在R总是增函数 若a?0,令
21、f?x?0,求得x?lna,所以f?x?的单增区间是?lna,?; 令f?x?0, 求得 x?lna,所以f?x?的单减区间是?,lna? ?a?1x?() 把? 代入得:?x?kfx?x?1?0?x?ke?1?x?1?0, x?f?x?e?ax因为x?0,所以e?1?0,所以:?x?k?ex?1?x?1,x?k?x?1, ex?1k?x?x?1x?1k?x,所以:xxe?1e?1(x?0)?(*) x?1exex?x?2x?x,则g?x?令g?x?x,()知:?hx?e?x?2在?0,? 2xe?1e?1?单调递增,而?h?1?0 ,所以h?x?在?0,?上存在唯一零点?,且?1,2?; ?
22、h?2?0故g?x?在?0,?上也存在唯一零点且为?,当x?0,?时, g?x?0,当x?,?时,g?x?0,所以在?0,?上,g?x?min?g?;g?0得:e?2,所以g?1,?所以g?2,3?, 于(*)式等价于k?g?,所以整数的最大值为217.【解析】(1)f(0)?c?1,f(1)?0?c?1,a?b?1,则f(x)?ax2?(a?1)x?1ex,f(x)?(ax2?(a?1)x?a)ex,依题意须对于任意x?(0,1),有f?(x)?0,2当a?0时,因为二次函数y?ax?(a?1)x?的a图像开口向上,而f?(0)?a?0,所以须2xf?(1)?a(?1)e?,0即0?a?1,
23、当a?1时,对任意x?(0,1),有f?(x)?(x?1)e?0,符合条件;当a?0时,对任意x?(0,1),f?(x)?xex?0,f(x)符合要求,当a?0时,因f?(0)?a?0,f(x)不符合条件,故a的取值范围为0?a?1. (2)因g(x)?(?2ax?1)e,g?(x)?(?2ax?1?a)e xx 当a?0时,g?(x)?ex?0,g(x)在x?0上取得最小值g(0)?1,在x?1上取得最大值g(1)?e; 当a?1时,对于任意x?(0,1),有g?(x)?2xex?0,g(x)在x?0上取得最大值g(0)?2,在x?1上取得最小值g(1)?0; 来源: 当0?a?1时,g?(
24、x)?0?x?1?a?0, 2a 18. 【解析】解:f?(x)?ex?a,令f?(x)?0得x?lna. 来源: 当x?lna时f?(x)?0,f(x)单调递减;当x?lna时f?(x)?0,f(x)单调递增,故当x?lna时,f(x)取最小值f(lna)?a?alna. 于是对一切x?R,f(x)?1恒成立,当且仅当 a?alna?1. 令g(t)?t?tlnt,则g?(t)?lnt. 当0?t?1时,g?(t)?0,g(t)单调递增;当t?1时,g?(t)?0,g(t)单调递减. 故当t?1时,g(t)取最大值g(1)?1.因此,当且仅当a?1时,式成立. 综上所述,a的取值集合为?1?
25、. f(x2)?f(x1)ex2?ex1()题意知,k?a. x2?x1x2?x1 ex2?ex1令?(x)?f?(x)?k?e?,则 x2?x1xex1x2?x1?(x1)?e?(x2?x1)?1?, ?x2?x1ex2x1?x2?(x2)?e?(x1?x2)?1?. ?x2?x1令F(t)?et?t?1,则F?(t)?et?1. 当t?0时,F?(t)?0,F(t)单调递减;当t?0时,F?(t)?0,F(t)单调递增. t故当t?0,F(t)?F(0)?0,即e?t?1?0. 从而ex2?x1?(x2?x1)?1?0,ex1?x2ex1ex2?0,?0, ?(x1?x2)?1?0,又x2
26、?x1x2?x1所以?(x1)?0,?(x2)?0. 因为函数y?(x)在区间?x1,x2?上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 x0?(x1,x2)使?(x0)?0,即f?(x0)?k成立. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出f(x)取最小值f(lna)?a?alna.对一切xR,f(x) ?1恒成立转化为f(x)min?1从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断. 19.
27、【解析】(1)因为f(1)?b,点(1,b)在x?y?1上,可得1?b?1?b?0 因为f?(x)?axn?1?a(n?1)xn,所以f?(1)?a 又因为切线x?y?1的斜率为?1,所以?a?1?a?1,所以a?1,b?0 n?x) n?1nn令f?(x)?0?x?,即f?(x)在(0,?)上有唯一的零点x0?. n?1n?1(2)(1)可知,f(x)?x(1?x)?x?xnnn?1,f?(x)?(n?1)xn?1( 在(0,nn)上,f?(x)?0,故f(x)单调递增;而在(,?)上,f?(x)?0,f(x)单调递减, 来n?1n?1源: nnnnnn故f(x)在(0,?)的最大值为f(.
28、 )?()(1?)?n?1n?1n?1(n?1)n?1(3)令?(t)?lnt?1?(t?0),则?(t)?1t11t?1(t?0) 22ttt在(0,1)上,?(t)?0,故?(t)单调递减,而在(1,?)上,?(t)?0,?(t)单调递增, 故?(t)在(0,?)上的最小值为?(1)?0,所以?(t)?0(t?1) 即lnt?1?(t?1),令t?1?1t1n?11n?1n?1?)?lne ,得ln,即ln(nnn?1nn?1n?1nn1)?e,即所以( ?n(n?1)n?1nenn1(2)知,f(x)?,故所证不等式成立. ?n?1(n?1)ne【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几
29、何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有e,lnx等的函数求导的运算及其应用考查. 20.解析:()考虑不等式2x2?3?1?a?x?6a?0的解. x因为?3?1?a?4?2?6a?3?a?3?3a?1?,且a?1,所以可分以下三种情况: 当?a?1时,?0,此时B?R,D?A?0,?. 2131时,?0,此时B?xx?1?,D?0,1?1,
30、?. 31当a?时,?0,此时2x2?3?a0两根,设为x1、x2,且x1?x2,则?1?x?6a?有3当a?x1?3?1?a?3?a?3?3a?1?4,x2?3?1?a?3?a?3?3a?1?4,于是 B?xx?x1或x?x2?. 当0?a?31时,x1?x2?1?a?0,x1x2?3a?0,所以x2?x1?0,此时D?0,x1?x2,?;当a?023时,x1x2?3a?0,所以x1?0,x2?0,此时D?x2,?. 综上所述,当时,111?a?1时,D?A?0,?;当a?时,D?0,1?1,?;当0?a?333;当a?0D?0,x1?x2,?4a?3?时,D?x2,?.其中x1?3?a1?3a3?1?3a?31?a?3?3a?1?,x2?. 4()f
