1、届高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第28练 完美破解立体几何证明题 理第28练完美破解立体几何证明题题型一空间中的平行问题例1在如图所示多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，且ACADCDDE2，AB1.(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF平面ACD，并证明(2)求多面体ABCDE的体积破题切入点(1)可先猜后证，可以利用线面平行的判定定理进行证明(2)找到合适的底面解如图，(1)由已知AB平面ACD，DE平面ACD，所以ABED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连结FH，AH，则FH綊ED，所以FH綊AB，所以四边形ABFH是平行四边形，所以BF
2、AH，又因为BF平面ACD，AH平面ACD，所以BF平面ACD.(2)取AD中点G，连结CG.因为AB平面ACD，所以CGAB，又CGAD，ABADA，所以CG平面ABED，即CG为四棱锥CABED的高，求得CG，所以VCABED2.即多面体ABCDE的体积为.题型二空间中的垂直问题例2如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，CBB160，ABB1C.(1)求证：平面AA1B1B平面BB1C1C.(2)若AB2，求三棱柱ABCA1B1C1的体积破题切入点(1)考查面面垂直的判定定理(2)注意利用棱柱体积和锥体体积公式间的关系(1)证明由侧面AA1B1B
3、为正方形，知ABBB1.又ABB1C，BB1B1CB1，所以AB平面BB1C1C，又AB平面AA1B1B，所以平面AA1B1B平面BB1C1C.(2)解由题意，CBCB1，设O是BB1的中点，连结CO，则COBB1.由(1)知，CO平面AA1B1B，且COBCAB.连结AB1，则COAB2CO.因为，所以2.故三棱柱ABCA1B1C1的体积为2.题型三空间中的平行、垂直综合问题例3在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.(1)求证：平面EFG平面PMA；(2)求证：平面EFG平面PDC；(3)求三棱锥P
4、MAB与四棱锥PABCD的体积之比破题切入点(1)证明EG、FG都平行于平面PMA.(2)证明GF平面PDC.(3)设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解(1)证明E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，EGPM，GFBC.又四边形ABCD是正方形，BCAD，GFAD.EG平面PMA，GF平面PMA，PM平面PMA，AD平面PMA，EG平面PMA，GF平面PMA.又EG平面EFG，GF平面EFG，EGGFG，平面EFG平面PMA.(2)证明由已知MA平面ABCD，PDMA，PD平面ABCD.又BC平面ABCD，PDBC.四边形ABCD为正方形，BCDC.又PDDCD，BC平面PDC.
5、由(1)知GFBC，GF平面PDC.又GF平面EFG，平面EFG平面PDC.(3)解PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA1，则PDAD2.DA平面MAB，且PDMA，DA即为点P到平面MAB的距离，VPMABVPABCD(SMABDA)(S正方形ABCDPD)SMABS正方形ABCD(22)14.即三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比为14.总结提高1.证明平行关系的方法：(1)证明线线平行的常用方法：利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；利用平行四边形进行转换；利用三角形中位线定理证明；利用线面平行、面面平行的性质定理证明(2)证明线面平行的常用方法：利用线面
6、平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行(3)证明面面平行的方法：证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行2证明空间中垂直关系的方法：(1)证明线线垂直的常用方法利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；利用勾股定理逆定理；利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可(2)证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；利用面面垂直的
7、性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等(3)证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决1若平面平面，直线a，点B，则在内过点B的所有直线中与a平行的直线的条数为_答案一条解析由直线a与B确定的平面与有唯一交线故存在唯一与a平行的直线2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角为_答案90解析在正方体中，显然有A
8、1DAB，A1DAD1，所以A1D平面AD1C1B，又C1E平面AD1C1B，故A1DC1E.3已知、是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a、b，a，b，a，b；存在两条异面直线a、b，a，b，a，b，可以推出的是_答案解析对于，平面与还可以相交；对于，当ab时，不一定能推出，所以是错误的，易知正确4已知，是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，那么ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_答案或解析由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一个平面与此平面的交
9、线与该直线平行”可得，横线处可填入条件或.5.如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是_答案解析对于，PA平面ABC，PABC.AB为O的直径，PAACA，BCAC，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC；对于，点M为线段PB的中点，OMPA，PA平面PAC，OM平面PAC；对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确6设和为两个不重合的平面，给出下列四个命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线
10、l与内的一条直线平行，则l和平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直其中为真命题的是_(写出所有真命题的序号)答案解析由知内两条相交直线分别平行于平面，则两条相交直线确定的平面平行于平面，故为真命题；由线面平行的判定定理知，为真命题；对于，如图，l，a，al，但不一定有，故为假命题；对于，直线l与平面垂直的充分必要条件是l与内的两条相交直线垂直，故为假命题综上所述，真命题的序号为.7.如图，在空间四边形ABCD中，MAB，NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_答案平行解析在平面ABD中，MNBD.又MN平面BCD，BD
11、平面BCD，MN平面BCD.8底面直径和母线长相等的圆柱称为等边圆柱已知一等边圆柱的底面半径为2，则其体积为_答案16解析由题意，圆柱的高为4，则V22416.9.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)答案解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正确；平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的性质得BCAD，又AD平面P
12、AD，BC平面PAD，BC平面PAD，直线BC平面PAE也不成立，错；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正确10给出命题：在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；设l，m是不同的直线，是一个平面，若l，lm，则m；已知，表示两个不同平面，m为平面内的一条直线，“”是“m”的充要条件；在三棱锥SABC中，SABC，SBAC，则S在平面ABC内的射影是ABC的垂心；a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行其中，正确的命题是_(只填序号)答案解析错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；错误，“”是“m”的必要不充分条件；错误，只有当异面直线
13、a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知正确11如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.证明(1)如图所示，连结NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K，四边形DD1KN为平行四边形KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN.四边形AA1KN为平行四边形ANA1K.A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.(2
14、)如图所示，连结BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分别为AB，C1D1的中点，BMC1K，BMC1K.四边形BC1KM为平行四边形MKBC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C.MKB1C.A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面A1MK，平面A1B1C平面A1MK.12(2014课标全国)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的
15、中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积(1)证明连结BD交AC于点O，连结EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)解因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，0)，E(0，)，(0，)设B(m,0,0)(m0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1(，1，)又n2(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设|cosn1，n2|，即，解得m.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为，三棱锥EACD的体积V.
