1、综合活动课记录第 6 讲 找规律(二)这一讲主要介绍如何发现和寻找图形、数表的变化规律。例 1 观察下列图形的变化规律，并按照这个规律将第四个图形补充完 整。分析与解：观察前三个图，从左至右，黑点数依次为 4，3，2 个，并且 每个图形依次按逆时针方向旋转 90，所以第四个图如右图所示。观察图形的变化，主要从各图形的形状、方向、数量、大小及各组成部 分的相对位置入手，从中找出变化规律。例 2 在下列各组图形中寻找规律，并按此规律在“？”处填上合适的数：解：(1)观察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内 的数的乘积的一半，故第三个图形中的“？”=5382=60；第四个图形中的“？”
2、=(212)32=7。(2)观察前两个图形中的已知数，发现有10=8+5-3， 8=7+4-3， 即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。故 第三个图形中的“？”=12+1-5=8；第四个图形中的“？”=7+1-5=3。例 3 寻找规律填数：解：(1)考察上、下两数的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知， 上面那个“？”=35-16=19，下面那个“？”=18+16=34。(2)从左至右，一上一下地看，由 1，3，5，？，9，?知，12 下面的“？”=7；一下一上看，由 6，8，10，12，？，?知，9 下面的“？”=14。例 4 寻找规律在空格内
3、填数：解：(1)因为前两图中的三个数满足：256=464，72=612，所以，第三图中空格应填 1215=180；第四图中空格应填 16913=13。 第五图中空格应填 2247=32。(2)图中下面一行的数都是上一行对应数的 3 倍，故 43 下面应填 433=129；87 上面应填 873=29。例 5 在下列表格中寻找规律，并求出“？”：解：(1)观察每行中两边的数与中间的数的关系，发现 3+8=11，4+2=6， 所以，？=5+7=12。(2)观察每列中三数的关系，发现 1+32=7，7+22=11，所以，？=4+52=14。例 6 寻找规律填数：(1)1 = 1 = 111 + 3
4、= 4 = 221 + 3 + 5 = 9 = 331 + 3 + 5 + 7 = 16 = 441 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 551 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = ？1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = ？(2)解：(1)观察其规律知1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 66 = 36；1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 77 = 49。(2)观察其规律知：1234569 = 1111104；1234567911111103；123456789 = 111111102；1234567899 = 11
5、11111101。观察比较图形、图表、数列的变化，并能从图形、数量间的关系中发现 规律，这种能力对于同学们今后的学习将大有益处练习 6寻找规律填数：6.下图中第 50 个图形是还是？?7. 142857 1 = 142857142857 2 = 285714142857 3 = 428571142857 4 = 571428142857 5 = ？142857 6 = ？8. 81 = 99882 = 9898883 = 987988884 = 98769888885 = 987659？ = 987654988888887 = ？9. 1 + 2 + 1 = 41 + 2 + 3 + 2 +
6、1 = 91 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 161 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 251 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = ？第 7 讲 加减法应用题用数学方法解决人们生活和工作中的实际问题就产生了通常所说的“应 用题”。应用题由已知的“条件”和未知的“问题”两部分构成，而且给出的已 知条件应能保证求出未知的问题。这一讲主要介绍利用加、减法解答的简单应用题。例 1 小玲家养了 46 只鸭子，24 只鸡，养的鸡和鹅的总只数比养的鸭多5 只。小玲家养了多少只鹅？解：将已知条件表示为下图：表
7、示为算式是：24+？=46+5。由此可求得养鹅 (46+5)-24=27(只)。答：养鹅 27 只。若例 1 中鸡和鹅的总数比鸭少 5 只(其它不变)，则已知条件可表示为下 图，表示为算式是：24+？+5=46。由此可求得养鹅46-5-24=17(只)。例 2 一个筐里装着 52 个苹果，另一个筐里装着一些梨。如果从梨筐里 取走 18 个梨，那么梨就比苹果少 12 个。原来梨筐里有多少个梨？分析：根据已知条件，将各种数量关系表示为下图。有几种思考方法：(1)根据取走 18 个梨后，梨比苹果少 12 个，先求出梨筐里现有梨 52-12=40(个)，再求出原有梨(52-12)+18=58(个)。(
8、2)根据取走 18 个梨后梨比苹果少 12 个，我们设想“少取 12 个”梨， 则现有的梨和苹果一样多，都是 52 个。这样就可先求出原有梨比苹果多18-126(个)，再求出原有梨52+(18-12)=58(个)。(3)根据取走 18 个梨后梨比苹果少 12 个，我们设想不取走梨，只在苹 果筐里加入 18 个苹果，这时有苹果52+18=70(个)。 这样一来，现有苹果就比原来的梨多了 12 个(见下图)。由此可求出原有梨(52+18)-12=58(个)。由上面三种不同角度的分析，得到如下三种解法。 解法 1：(52-12)+18=58(个)。解法 2：52+(18-12)=58(个)。 解法
9、3：(52+18)-12=58(个)。 答：原来梨筐中有 58 个梨。例 3 某校三年级一班为欢迎“手拉手”小朋友们的到来，买了若干糖果。 已知水果糖比小白兔软糖多 15 块，巧克力糖比水果糖多 28 块。又知巧克力 糖的块数恰好是小白兔软糖块数的 2 倍。三年级一班共买了多少块糖果？分析与解：只要求出某一种糖的块数，就可以根据已知条件得到其它两 种糖的块数，总共买多少就可求出。先求出哪一种糖的块数最简便呢？我们 先把已知条件表示为下图。由上图可求出， 小白兔软糖块数=15+28=43(块)， 水果糖块数=43+15=58(块)， 巧克力糖块数=432=86(块)。 糖果总数=43+58+86
10、=187(块)。 答:共买了 187 块糖果。例 4 一口枯井深 230 厘米，一只蜗牛要从井底爬到井口处。它每天白天向上爬 110 厘米，而夜晚却要向下滑 70 厘米。这只蜗牛哪一个白天才能爬出 井口？分析与解：因蜗牛最后一个白天要向上爬 110 厘米，井深 230 厘米减去这 110 厘米后(等于 120 厘米)，就是蜗牛前几天一共要向上爬的路程。 因为蜗牛白天向上爬 110 厘米，而夜晚又向下滑 70 厘米，所以它每天向上爬 110-70=40(厘米)。由于 12040=3，所以，120 厘米是蜗牛前 3 天一共爬的。故第 4 个白天 蜗牛才能爬到井口。若将例 4 中枯井深改为 240
11、厘米，其它数字不变，这只蜗牛在哪个白天 才能爬出井口？(第 5 个白天)练习 71.甲、乙、丙三人原各有桃子若干个。甲给乙 2 个，乙给丙 3 个，丙又 给甲 5 个后，三人都有桃子 9 个。甲、乙、丙三人原来各有桃子多少个？2.三座桥，第一座长 287 米，第二座比第一座长 85 米，第三座比第一座 与第二座的总长短 142 米。第三座桥长多少米？3.(1)幼儿园小班有巧克力糖 40 块，还有一些奶糖。分给小朋友奶糖 24块后，奶糖就比巧克力糖少了 10 块。原有奶糖多少块？(2)幼儿园中班有巧克力糖 48 块，还有一些奶糖。分给小朋友奶糖 26 块后，奶糖就只比巧克力糖多 18 块。原有奶
12、糖多少块？4.一桶柴油连桶称重 120 千克，用去一半柴油后，连桶称还重 65 千克。 这桶里有多少千克柴油？空桶重多少？5.一只蜗牛从一个枯水井底面向井口处爬，白天向上爬 110 厘米，而夜 晚向下滑 40 厘米，第 5 天白天结束时，蜗牛到达井口处。这个枯水井有多深？ 若第 5 天白天爬到井口处，这口井至少有多少厘米深？(厘米以下的长度不计)6.在一条直线上，A 点在 B 点的左边 20 毫米处，C 点在 D 点左边 50 毫米 处，D 点在 B 点右边 40 毫米处。写出这四点从左到右的次序。7.(1)五个不同的数的和为 172，这些数中最小的数为 32，最大的数可 以是多少？(2)六个
13、不同的数的和为 356，这些数中，最大的是 68，最小的数可以 是多少？第 8 讲 乘除法应用题本讲向同学们介绍如何利用乘、除法解答简单应用题。用乘、除法解应 用题，首先要明确下面几个关系，然后根据应用题中的已知条件，利用这些 数量关系求解。被乘数乘数=乘积，相同数个数=总数， 小数倍数=大数， 被除数除数=商，被除数商=除数， 被除数除数=(不完全)商?余数。例 1 学校开运动会，三年级有 86 人报名参加单项比赛，其他年级参加 单项比赛的人数是三年级的4倍少5人。全校参加单项比赛的人数有多少人？分析：先求出其他年级参赛人数，864-5339(人)， 再加上三年级参赛人数，就可求出全校参赛人
14、数。 解：(864-5)86425(人)。答：全校参赛 425 人。 本题中全校参赛人数也可以看成是三年级参赛人数的 5 倍少 5 人，所以可列式为865-5425(人)。例 2 有 5 只猴子，其中 2 只各摘了 7 个桃子，另外 3 只各摘了 12 个桃 子。把所有摘下的桃子平均分给这 5 只猴子，每只猴子能分到多少个桃子？解：共摘桃子 7212350(个)，平均每只猴可分 50510(个)。 综合算式(72123)510(个)。答：每只猴子能分到 10 个桃。例 3 小白兔上山采摘了许多蘑菇。它把这些蘑菇先平均分成 4 堆，3 堆 送给它的小朋友，自己留一堆。后来它又把留下的这一堆平均分
15、成 3 堆，两 堆送给别的小白兔，一堆自己吃。自己吃的这一堆有 5 个。它共采摘了多少 个蘑菇？分析：我们从后向前分析。当分成 3 堆时，共有 5315(个)，这是分成 4 堆时每一堆的个数。所以，分成 4 堆时，共有 15460(个)。解：(53)4154=60(个)。 答：共摘了 60 个蘑菇。例 4 小雨到奶奶家。如果来回都乘车，那么路上要用 20 分钟。如果去 时乘车，回来时步行，那么一共要用 50 分钟。小雨步行回来用多少时间？ 分析：来回都乘车用 20 分，所以乘车单程所用的时间是 202=10(分)。 去时乘车回来时步行共用 50 分，减掉去时乘车用的 10 分，回来时步行用了5
16、0-1040(分)。解：50-202=40(分)。 答：步行回来用 40 分钟。例 5 师徒二人加工同样的机器零件。师傅加工的个数是徒弟的 4 倍，其 个数比徒弟多 54 个。师徒二人这天各加工了多少个零件？分析：如下图所示，把徒弟加工的个数看成“1 份”，师傅加工的就是 “4 份”，因而师傅比徒弟多(4-1)份。由上图可求得 1 份为 54(4-1)=18(个)，由此可求出师徒二人各加工了多少个零件。解：徒弟加工了 54(4-1)=18(个)， 师傅加工了 18472(个)。答：徒弟加工了 18 个，师傅加工了 72 个。 解这类题的关键是分析出“54”是如何多出来的，即弄明白用“倍数-1”
17、来除它，所得的数代表什么。例 6 工厂装配四轮推车，1 个车身要配 4 个车轮。现在有 40 个车身，70 个车轮。问：装配出多少辆四轮推车后，剩下的车身和车轮的数量相等？分析：1 个车身配 4 个车轮，即每装配出一辆四轮推车，用的车轮数比 车身数多 4-1=3(个)。现在车轮比车身多 70-4030(个)，要把这 30 个车轮 “消耗掉”，需装配 30310(辆)四轮车。解：(70-40)(4-1)10(辆)。 答：需装配出 10 辆四轮推车。练习 81.某项工作 3 人做需要 3 个星期又 3 天，中间无休息日，那么，1 人单 独做这项工作需要多少天？2.贺林家养鸡的只数是鹅的只数的 6
18、倍，鸭比鹅多 8 只，鸭有 15 只。贺林家养了多少只鸡？3.小敏买了一本书和一包糖。买一本书用了 3 元 6 角，买糖用的钱数是 买书所用钱数的 5 倍。她带去的 50 元钱还剩多少？4.小峰去老师家看望老师。如果往返都骑自行车，那么在路上要用 1 时20 分。如果去时骑自行车，回来时步行，那么一共要用 2 时 30 分。小峰步 行回来用多少时间？5.4 元钱能买西瓜 8 千克，10 元钱能买多少西瓜？6.小兰有 24 本书，小玲有 18 本书。小兰要给小玲几本书，两人的书才 一样多？7.小红与小光买拼音本。小红买了 12 本，小光买了 8 本。小红比小光多用 2 元 4 角钱。每本多少钱？
19、8.甲、乙两辆汽车分别从同一车站出发，沿相反方向开去，3 时共行 360 千米。甲的速度是乙的速度的 2 倍。甲、乙的速度各是多少？9.甲、乙两个粮库共存粮 150 吨。甲库运出 40 吨，乙库运入 10 吨，这 时甲库存粮是乙库存粮的 2 倍。甲、乙粮库原来存粮各多少？第 9 讲 平均数把一个(总)数平均分成几个相等的数，相等的数的数值就叫做这个(总) 数的平均数。例如，24 平均分成四个数：6，6，6，6，数 6 就叫做 24 分成 四份的平均数。又如，24 平均分成六个数：4，4，4，4，4，4，数 4 就叫做24 分成六份的平均数。 由此可见，平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言
20、的。知道了被均分的“总数”和均分的“份数”，就可以求出平均数：总数份数=平均数。“平均数”这个数学概念在我们的日常生活和工作中经常用到。例如， 某次考试全班同学的“平均成绩”，几件货物的“平均重量”，某辆汽车行 驶某段路程的“平均速度”等等，都是我们经常碰到的求平均数的问题。根 据求平均数的一般公式可以得到它们的计算方法：全班同学的总成绩全班同学人数=平均成绩， 几件货物的总重量货物件数=平均重量， 一辆汽车行驶的路程所用的时间=平均速度。我们在上一讲的例 2 中，已经接触到求平均数的应用题，下面再举一些 例子来说明有关平均数应用问题的解法。例 1 一小组六个同学在某次数学考试中，分别为 98
21、 分、87 分、93 分、86 分、88 分、94 分。他们的平均成绩是多少？ 解：总成绩=988793868894546(分)。 这个小组有 6 个同学，平均成绩是546691(分)。答：平均成绩是 91 分。例 2 把 40 千克苹果和 80 千克梨装在 6 个筐内(可以混装)，使每个筐装 的重量一样。每筐应装多少千克？解：苹果和梨的总重量为4080120(千克)。 因要装成 6 筐，所以，每筐平均应装120620(千克)。答：每筐应装 20 千克。例 3 小明家先后买了两批小猪，养到今年 10 月。第一批的 3 头每头重66 千克，第二批的 5 头每头重 42 千克。小明家养的猪平均多重
22、？解：两批猪的总重量为663425408(千克)。 两批猪的头数为 358(头)，故平均每头猪重408851(千克)。 答：平均每头猪重 51 千克。 注意，在上例中不能这样来求每头猪的平均重量：(6642)254(千克)。 上式求出的是两批猪的“平均重量的平均数”，而不是(35)8 头猪的平均重量。这是刚接触平均数的同学最容易犯的错误！例 4 一个学生为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还 规定自己每周(一周为 7 天)平均每天做 4 道数学竞赛训练题。星期一至星期三每天做 3 道，星期四不做，星期五、六两天共做了 13 道。那么，星期日要 做几道题才能达到自己规定的要求？分析：
23、要先求出每周规定做的题目总数，然后求出星期一至星期六已做 的题目数。两者相减就是星期日要完成的题目数。每周要完成的题目总数是 47=28(道)。星期一至星期六已做题目 331322(道)，所以，星期日要完成 28-226(道)。解：47-(3313)6(道)。 答：星期日要做 6 道题。例 5 三年级二班共有 42 名同学，全班平均身高为 132 厘米，其中女生有 18 人，平均身高为 136 厘米。问：男生平均身高是多少？解：全班身高的总数为132425544(厘米)，女生身高总数为136182448(厘米)，男生有 42-1824(人)，身高总数为5544-24483096(厘米)，男生平
24、均身高为309624129(厘米)。综合列式：(13242-13618)(42-18)129(厘米)。 答：男生平均身高为 129 厘米。例 6 小敏期末考试，数学 92 分，语文 90 分，英语成绩比这三门的平均成绩高 4 分。问：英语得了多少分？分析：英语比平均成绩高的这 4 分，是“补”给了数学和语文，所以三 门功课的平均成绩为(92904)293(分)，由此可求出英语成绩。 解：(92924)2497(分)。 答：英语得了 97 分。练习 91.一班有 40 个学生，二班有 42 个学生，三班有 45 个学生。开学后又转 学来了 11 个学生。怎样分才能使每班学生人数相等？2.小岗计划
25、 4 天做15 道数学题，结果多做了 9道。平均每天做了多少道？3.一小组同学体检量身高时发现其中 2 人的身高是 123 厘米，另外 4 人 的身高均为 132 厘米。这个小组同学的平均身高是多少？4.小梅做跳绳练习，第一次跳了 67 下，第二次跳了 76 下。她要想三次 平均成绩达到 80 下，第三次至少要跳多少下？5.一农机站有 960 千克的柴油。用了 6 天，还剩 240 千克。照此用法， 剩下的柴油还可用几天？6.小浩为培养自己的阅读能力，自己规定这一个月(30 天)要读完共 288 页的彩图世界童话名著伊索寓言。头 9 天平均每天读了 8 页，第二个 9 天平均每天读了 10 页
26、，第三个 9 天平均每天读了 11 页。最后三天平均每天 需要读几页才能达到自己规定的要求？7.五个同学期末考试的数学成绩平均 94 分，而其中有三个同学的平均成 绩为 92 分，另两个同学的平均成绩是多少？8.小亮学游泳，第一次游了 25 米，第二次游的距离比两次游的平均距离 多 8 米。小亮第二次游了多少米？9.篮球队中四名队员的平均身高是 182 厘米，另一名队员的身高比这五 队员的平均身高矮 8 厘米，这名队员的身高是多少？第 10 讲 植树问题绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数 是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题” 来解，或借
27、助解“植树问题”的思考方法来解。先介绍四类最简单、最基本的植树问题。 为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相 邻两点间的线的段数之间的关系问题。显然，只有下面四种情形：(1)非封闭线的两端都有“点”时， “点数”“段数”1。(2)非封闭线只有一端有“点”时， “点数”=“段数”。(3)非封闭线的两端都没有“点”时， “点数”“段数”-1。(4)封闭线上，“点数”=“段数”。最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。例如，一条河堤长 420 米，从头到尾每隔 3 米栽一棵树，要栽多少棵树？ 这是第(1)种情形
28、，所以要栽树 42031141(棵)。又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长 40 米。肖林要在小路一旁每隔 2 米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽 树，所以，属于第(2)种情形，要栽树 40220(棵)。再如，两座楼房之间相距 30 米，每隔 2 米栽一棵树，一直行能栽多少棵 树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树 302-114(棵)。再例如，一个圆形水池的围台圈长 60 米。如果在此台圈上每隔 3 米放一 盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种情形，共能放花 60320(盆)。 许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。例 1
29、 在一段路边每隔 50 米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路 灯杆，共埋设了 10 根。这段路长多少米？解：这是第(1)种情形，所以，“段数”1019。这段路长为 50(10-1)450(米)。 答：这段路长 450 米。例 2 小明要到高层建筑的 11 层，他走到 5 层用了 100 秒，照此速度计 算，他还需走多少秒？分析：因为 1 层不用走楼梯，走到 5 层走了 4 段楼梯，由此可求出走每 段楼梯用 100(51)25(秒)。走到 11 层要走 10 段楼梯，还要走 6 段楼 梯，所以还需256150(秒)。 解：100(5-1)(11-5)150(秒)。 答：还需 150 秒。例
30、3 一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共 30 辆，每辆车长 4 米，前 后每辆车相隔 5 米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶 2 米，那么 这列车队要通过 535 米长的检阅场地，需要多少时间？解：车队间隔共有30-129(个)， 每个间隔 5 米，所以，间隔的总长为(30-1)5145(米)， 而车身的总长为 304120(米)，故这列车队的总长为(30-1)5+304265(米)。由于车队要行 265535800(米)，且每秒行 2 米，所以，车队通过检 阅场地需要(265535)2400(秒)6 分 40 秒。答：这列车队共长 265 米，通过检阅场地需要 6 分 40 秒。例 4 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十 个这样的铁环连在一起有多长？解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数(每个长 6 毫米)。根据 植树问题的第(3)种情形知，五个连在一起的“环扣”数为 5
