1、第27讲 命题证明及平行线的判定定理培优课程讲义例题练习含答案命题、证明及平行线的判定定理（提高）知识讲解【学习目标】1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】要点一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正
2、确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果那么”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫
3、做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.要点四、平行公理及平行线的判定定理1平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质(2
4、)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：32ABCD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：12ABCD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：42180ABCD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（1）在同一个三角形中，等角对等边；（2）两角和其中一角的对边对
5、应相等的两个三角形全等；（3）有两边对应成比例,且有任意一角对应相等的两个三角形相似.【答案与解析】解：（1）先把这个命题写成“如果那么”的形式：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.条件：同一个三角形中的两个角相等；结论：这两个角所对的两条边相等.它是真命题.（2）原命题可以写成：如果两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.条件：两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等；结论：这两个三角形全等.它是真命题.（3）原命题可以写成：如果两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等，那么这两个三角形相似.条件：两个三角形两边对应成比例，且有任
6、意一角对应相等；结论：这两个三角形相似.它是假命题，反例：如下图：【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.举一反三：【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题的话，请指出是真命题还是假命题? (1)三角形的三条高交于一点；(2)解方程； (3)123.【答案】（2）不是命题；（1）（3）是命题，其中（1）是真命题，（3）是假命题.【变式2】下列真命题的个数是 ( )（1）直线a、b、c、d，如果ab、cb、cd，则ad.（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂
7、直.（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行 A1个 B .2个 C3个 D4个【答案】B 类型二、公理、定理及证明2证明：对顶角相等.【思路点拨】如果题目中没有明确出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：如图，直线AB，CD相交于点O，1和2是对顶角.求证：12.证明：1和2是对顶角（已知），OA与OB互为反向延长线（对顶角的意义）.AOB是平角（平角的定义）.同理，COD也是平角.1和2都是AOC的补角（补角的定义）.12（等角的补角相等）.【总结升华】“对顶角
8、相等”是一个定理,而不是公理.举一反三：【变式】证明：相似三角形的周长比等于相似比【答案】已知：如图，ADEABC, AEAC=k求证：CADE :CABCk证明：ADEABC AE:ACAD:ABDE:BC k (AE+AD+DE):(AC+AB+BC)k CADE :CABCk类型三、平行公理及平行线的判定3.（春无锡）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45角的三角板ADE固定不动，把含30角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转（=BAD且0180），使两块三角板至少有一组边平行（1）如图，= 时，BCDE；（2）请你分别在图、图的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出，并完成各项填空：图中=
9、 时， ；图中= 时， 【思路点拨】（1）利用两直线平行同位角相等，并求得=4530=15；（2）利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可【答案与解析】解：（1）图中=15时，BCDE，BCDE，1=B=60，1=D+，D=45，=15=CADCAB=4530=15（2）图中=60时，BCDA，BAC=30，=60，DAC=90=C，DAC+C=180，BCDA；图中=105时，BCEA=105，DAE=45，EAB=60，B=60，EAB=B，BCEA故答案为：（1）15；（2）60；BC；DA；105；BC；AE【总结升华】本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，并
10、判断旋转角为多少度，难度不大，但易错举一反三：【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A第一次向左拐30，第二次向右拐30 B第一次向右拐50，第二次向左拐130 C第一次向右拐50，第二次向右拐130 D第一次向左拐50，第二次向左拐130【答案】A提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图 图B显然不同向，因为路线不平行 图C中，1180-13050，路线平行但不同向 图D中，1180-13050，路线平行但不同向 只有图A路线平行且同向，故应选A4.（春太仓市期末）如图，四边形ABCD中，A
11、=C=90，BE平分ABC，DF平分ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由【思路点拨】根据四边形的内角和定理和A=C=90，得ABC+ADC=180；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行【答案与解析】 解：BEDF理由如下：A=C=90，ABC+ADC=180BE平分ABC，DF平分ADC，1=2=ABC，3=4=ADC，1+3=（ABC+ADC）=180=90，又1+AEB=90，3=AEBBEDF【总结升华】此题运用了四边形的内角和是360、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，考察的知识点较多，只有熟练掌握，才能
12、运用自如.举一反三：【变式1】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由【答案】解：ABCD，理由如下： BE平分ABD，DE平分CDB， ABD21，CDB22 又 1+290， ABD+CDB180 ABCD(同旁内角互补，两直线平行)【变式2】（长春一模）如图，直线a与直线b被直线c所截，bc，垂足为点A，1=70若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转（ ）A70 B50 C30 D20【答案】解：bc，2=901=70，ab，直线b绕着点A顺时针旋转的度数=9070=20故选D命题、证明及平行线的判定定理（提高）
13、巩固练习【巩固练习】一、选择题1.下列说法中是真命题的有( ) 一条直线的平行线只有一条 过一点与已知直线平行的直线只有一条 因为ab，cd，所以ad 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行A1个 B2个 C3个 D4个2如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( ) A相等 B互补 C互余 D相等或互补3（黔南州）如图，下列说法错误的是（）A若ab，bc，则ac B若1=2，则acC若3=2，则bc D若3+5=180，则ac4一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是 ( ) A第一次向右拐40，第二次向右拐140
14、B第一次向右拐40，第二次向左拐40 C第一次向左拐40，第二次向右拐140 D第一次向右拐140，第二次向左拐405（春莒县期末）如图，下列条件中不能判定ABCD的是 ( ) A34 B15 C1+4=180 D356.( 绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1)(4)）:从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行A. B. C. D. 二、填空题7. 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是_8（春高密市）如图，在下列条件中
15、：DAC=ACB；BAC=ACD；BAD+ADC=180；BAD+ABC=180其中能使直线ABCD成立的是 （填序号）9规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3，a100，若a1a2，a2a3，a3a4，按此规律，a1和a100的位置是_10已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40，则另一个角的度数是 11（春吴兴区期末）如图，EFAB于点F，CDAB于点D,E是AC上一点，1=2，则图中互相平行的直线有 对12. 如图，ABEF于点G，CDEF于点H，GP平分EGB，HQ平分CHF，则图中互相平行的直线有 三、解答题13.如图，160，260，3100，要使ABEF，4应为多少度?说明
16、理由14（春泗阳）如图，四边形ABCD中，A=C=90，BE平分ABC交CD于E，DF平分ADC交AB于F（1）若ABC=60，则ADC= ，AFD= ；（2）求证：BEDF15如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知ADB20，那么BAF为多少度时，才能使ABBD？16如图所示，由12，BD平分ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A； 【解析】只有是真命题，其它均是假命题2. 【答案】D； 3. 【答案】C； 【解析】A、若ab，bc，则ac，利用了平行公理，正确；B、若1=2，则ac
17、，利用了内错角相等，两直线平行，正确；C、3=2，不能判断bc，错误；D、若3+5=180，则ac，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；故选C4. 【答案】B；5. 【答案】D； 【解析】3和5是同旁内角，同旁内角相等，不能判定两直线平行6. 【答案】C； 【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直二、填空题7. 【答案】0或1或2或3个；8. 【答案】；【解析】DAC=ACB利用内错角相等两直线平行得到ADBC，错误；BAC=ACD利用内错角相等两直线平行得到ABCD，正确；BAD+ADC=180利用同旁内角互补得到ABCD，正确；BAD+ABC
18、=180利用同旁内角互补得到ADBC，错误；故答案为：9. 【答案】a1a100；【解析】为了方便，我们可以记为a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a97a98a99a100，因为a1a2a3，所以a1a3，而a3a4，所以a1a4a5同理得a5a8 a9，a9a12 a13，接着这样的规律可以得a1a97a100，所以a1a10010.【答案】 40或140；11.【答案】2；【解析】EFCD, EDCB12.【答案】ABCD，GPHQ；【解析】理由： ABEF，CDEF AGECHG90 ABCD ABEF EGB290 GP平分EGB 1EGB45 PGH1+2135 同理GHQ1
19、35， PGHGHQ GPHQ三、解答题13. 【解析】解：4100理由如下： 160，260， 12， ABCD又34100， CDEF， ABEF14【解析】解：（1）A=C=90，ABC=60，ADC=360ACABC=120，DF平分ADC交AB于F，FDA=ADC=60，AFD=90ADF=30；故答案为120，30；（2）BEDF理由如下：BE平分ABC交CD于E，ABE=ABC=60=30，AFD=30；ABE=AFD，BEDF15. 【解析】解：要使ABBD，只要BADADB20， BABBAD+BAD90+20110 BAFBAB1105516【解析】解：可推出ADBC BD平分ABC(已知) 1DBC(角平分线定义)又 12(已知)， 2DBC(等量代换) ADBC(内错角相等，两直线平行)把12改成DBCBDC
