1、第1章 11 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理学 习 目 标核 心 素 养1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理(重点)2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”(易混点)3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题(难点)1.通过两个计数原理的学习，体现了逻辑推理的素养2.借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养.1分类加法计数原理思考1：若完成一件事情有几类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种
2、不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？提示共有m1m2mn种不同方法2分步乘法计数原理思考2：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？提示共有m1m2mn种不同的方法1从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班若李先生从甲地去乙地，则不同的方法共有()A3种 B4种C7种 D12种C由分类加法计数原理，从甲地去乙地共347(种)不同的方法2已知x2,3,7，y3，4,8，则xy可表示不同的值的个数为()A10个 B6个C
3、8个 D9个D因为x从集合2,3,7中任取一个值共有3个不同的值，y从集合3，4,8中任取一个值共有3个不同的值，故xy可表示339个不同的值3某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是_16不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有4种；第二步是出门，共有4种由分步乘法计数原理知共有4416(种)利用分类加法计数原理解题【例1】在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？思路点拨根据情况安排个位、十位上的数字先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论解法一：分析个位数，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，8中的一个，故有8个
4、；个位是8，则十位可以是1,2,3，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；个位是2的只有1个由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1234567836(个)法二：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136(个)法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出：12,13,14,15,16,17,18,19，23,24,25,26,27,28,29，34,35,36,37,38,39，45,46,47,48
5、,49，56,57,58,59，67,68,69，78,79，89.共有36个符合题意的两位数1(变结论)本例中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数解当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个同理可知，当个位数字是2时，共7个当个位数字是0时，共9个由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1357925(个)2(变条件，变结论)用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的整数？解分三类：第一类为一位整数，有1,2,3，共3个；第二类为二位整数，有12,13,21,23,31,3
6、2，共6个；第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个共组成36615个无重复数字的整数利用分类加法计数原理计数时的解题流程提醒：确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件事利用分步乘法计数原理解题【例2】已知a1,2,3，b4,5,6,7，r8,9，则方程(xa)2(yb)2r2可表示多少个不同的圆？思路点拨确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径，可以用分步乘法计数原理解决解完成表示不同的圆这件事，可以分为三步：第一步：确定a有3种不同的选取方法；第二步：确定b有4种不同的选取方法；第三步：确定r有2种不同的选取方法由分步乘法计数原理，方程
7、(xa)2(yb)2r2可表示不同的圆共有34224(个)利用分步乘法计数原理计数时的解题流程提醒：分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事1已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？解(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，有6种不同的结果；第2步确定b的值，也有6种不同的结果根据分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上不同点的个数为6636.(2)确定平面上第二象限内的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，由于a0，所以有2种不同的
8、结果由分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上第二象限内不同的点的个数为326.两个计数原理的简单综合应用探究问题如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？提示如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步【例3】一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？思路点
9、拨解(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法根据分类加法计数原理，共有101222种取法(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法根据分步乘法计数原理，共有1012120种取法利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否完成这件事情其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“
10、分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”2现有3名医生、5名护士、2名麻醉师(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？解(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法根据分类加法计数原理，共有35210(种)选法(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选
11、1名麻醉师，有2种选法根据分步乘法计数原理知，共有35230(种)选法分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事，共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事，共分n个步骤，关键词是“分步”区别二每一类办法都能独立地完成这件事只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，分类要做到“不重不漏”各步之间是关联的、独立的，分步要做到“步骤完整”1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事()(3)在分步乘法计数原理
12、中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()答案(1)(2)(3)(4)2现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A7 B12C64 D81B先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4312(种)不同配法故选B.3从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为()A1113 B3429C34
13、224 D以上都不对B分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法所以，共有3429种不同的走法4现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解(1)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有52770种不同的选法(2)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5210种不同的选法第二类是一幅选自国
14、画，一幅选自水彩画，有5735种不同的选法第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2714种不同的选法所以有10351459种不同的选法课时分层作业(一)分类加法计数原理与分步乘法计数原理(建议用时：60分钟)基础达标练一、选择题1某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为()A10 B16C20 D24A每一种方法都能证明该问题，根据分类加法计数原理，共有6410种不同的选法2甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有()A6种 B12种C30种 D36
15、种B甲、乙两人从4门课程中各选修1门，由乘法原理可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4312种3已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40 B16C13 D10C根据直线与直线外一点可以确定一个平面，得：a上任一点与直线b确定一平面，共5个；b上任一点与直线a确定一平面，共8个，由分类加法计数原理得共有5813个4给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有()A8本 B9本C12本 D18本D完成这件事可以分为三步第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三
16、步确定第三个字符，共有3种方法所以不同编号的书共有23318(本)，故选D.5晓芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有()A24种 B14种C10种 D9种B首先分两类第一类是穿衬衣和裙子，由分步乘法计数原理知共有4312种，第二类是穿连衣裙有2种所以由分类加法计数原理知共有12214种穿衣服的方式二、填空题6十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有_条12经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的
17、路线有4312条7某班2019年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为_42将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6742(种)8从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数有_个36第1步，确定数b，有6种不同取值；第2步，确定数a，也有6种不同取值根据分步乘法计数原理，知共有虚数6636(个)三、解答题9王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语
18、书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？解(1)要完成的事情是带1本参考书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都可完成，从而根据分类加法计数原理，共有54312种不同的带法(2)要完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此根据分步乘法计数原理，共有54360种不同的带法(3)选1本外语书和1本数学书应用分步乘法计数原理
19、，有5420种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5315种选法；选数学书、物理书各1本，有4312种选法即有三类情况，根据分类加法计数原理，共有20151247种不同的带法10已知集合A2,4,6,8,10，B1,3,5,7,9，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中mn的数对有多少个？解(1)集合A2,4,6,8,10，B1,3,5,7,9，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5525个不同的数对(2)在(1)中的25个数对中mn的数对可
20、以分类来解当m2时，n1，有1个数对；当m4时，n1,3, 有2个数对；当m6时，n1,3,5，有3个数对；当m8时，n1,3,5,7，有4个数对；当m10时，n1,3,5,7,9，有5个数对综上所述共有1234515个数对能力提升练1有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有()A96种 B24种C120种 D12种A先排第1轨道，有4种排法，第2,3,4,5轨道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4432196种2将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法种数为()A7 B12C81 D64D第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4
21、种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱，有4种投法根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为44464，选D.34名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配方法的种数是_64因为跳高冠军的分配有4种不同的方法，跳远冠军的分配有4种不同的方法，游泳冠军的分配有4种不同的方法，所以根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有44464(种)4已知集合M1，2,3，N4,5,6,7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点共有_个17分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵
22、坐标，则有339个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有428个在第一、二象限内的点由分类加法计数原理，共有9817个点在第一、二象限内5某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理有2879347种不同的选法(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理有287935 292种不同的选法
