1、毕业设计指导书框架结构设计内力计算及组合第三章 框架内力计算3.1计算方法框架结构一般承担的荷载主要有恒载、使用活荷载、风荷载、地震作用，其中恒载、活荷载一般为竖向作用，风荷载、地震则为水平方向作用，手算多层多跨框架结构的内力（M、N、V）及侧移时，一般采用近似方法。如求竖向荷载作用下的内力时，有分层法、弯矩分配法、迭代法等；求水平荷载作用下的内力时，有反弯点法、改进反弯点法（D 值法）、迭代法等。这些方法采用的假设不同，计算结果有所差异，但一般都能满足工程设计要求的精度。本章主要介绍竖向荷载作用下无侧移框架的弯矩分配法和水平荷载作用下D 值法的计算。在计算各项荷载作用效应时，一般按标准值进行
2、计算，以便于后面荷载效应的组合。1. 弯矩分配法在竖向荷载作用下较规则的框架产生的侧向位移很小，可忽略不计。框架的内力采用无侧移的弯矩分配法进行简化计算。具体方法是对整体框架按照结构力学的般方法，计算出各节点的弯矩分配系数、计算各节点的不平衡弯矩，然用进行分配、传递，在工程设计中，每节点只分配两至三次即可满足精度要求。相交于同一点的多个杆件中的某一杆件，其在该节点的弯矩分配系数的计算过程为：（1）确定各杆件在该节点的转动刚度杆件的转动刚度与杆件远端的约束形式有关，如图3-1：（a）杆件在节点A处的转动刚度（b）某节点各杆件弯矩分配系数图 3-1 A节点弯矩分配系数（图中）（2）计算弯矩分配系数
3、（3）相交于一点杆件间的弯矩分配弯矩分配之前，还需先要求出节点的固端弯矩，这可查阅相关静力计算手册得到。表3-1为常见荷载作用下杆件的固端弯矩。在弯矩分配的过程中，一个循环可同时放松和固定多个节点（各个放松节点和固定节点间间隔布置，如图3-2），以加快收敛速度。计算杆件固端弯矩产生的节点不平衡弯矩时，不能丢掉由于纵向框架梁对柱偏心所产生的节点弯矩。具体计算可见例题。常见荷载作用下杆件的固端弯矩 表3-1荷载形式图公式集中荷载均布荷载梯形荷载三角形荷载注：梯形和三角形分布荷载下的固端弯矩以及反力：图 3-2 弯矩分配过程中放松和固定节点顺序图3-3 分层法的计算单元划分2.分层法分层法是弯矩分配
4、法的进一步简化，它的基本假定是：1.框架在竖向荷载作用下的侧移忽略不计；2.可假定作用在某一层框架梁上的竖向荷载只对本楼层的梁以及与本层梁相连的框架柱产生弯矩和剪力，而对其他楼层的框架梁和隔层的框架柱都不产生弯矩和剪力。计算过程仍然是先计算出各节点的弯矩分配系数、求出节点的固端弯矩，计算各节点的不平衡弯矩，然用进行分配、传递，只是分层法是对各个开口刚架单元进行计算（见图3-3）， 这里各个刚架的上下端均为固定端。在求得各开口刚架中的结构内力以后，则可将相邻两个开口刚架中同层同柱号的柱内力叠加，作为原框架结构中柱的内力。而分层计算所得的各层梁的内力，即为原框架结构中相应层次的梁的内力。如果叠加后
5、节点不平衡弯矩较大，可在该节点重新分配一次，但不再作传递，最后根据静力平衡条件求出框架的轴力和剪力，并绘制框架的轴力图利剪力图。在计算柱的轴力时，应特别注意某一柱的轴力除与相连的梁剪力有关外，不要忘记节点的集中荷载对柱轴力的贡献。为了改善误差，计算开口刚架内力时，应做以下修正：除底层以外其他各层柱的线刚度均乘0.9的折减系数；除底层以外其他各层柱的弯矩传递系数取为13。活荷载为可变荷载，应按其最不利位置确定框架梁、柱计算截面的最不利内力。竖向活荷载最不利布置原则：（1）求某跨跨中最大正弯矩本层同连续梁（本跨布置，其它隔跨布置），其它按同跨隔层布置（图3-4a）；（2）求某跨梁端最大负弯矩本层同
6、连续梁（本跨及相邻跨布置，其它隔跨布置），相邻层与横梁同跨的及远的邻跨布置活荷载，其它按同跨隔层布置（图3-4b）；（3）求某柱柱顶左侧及柱底右侧受拉最大弯矩该柱右侧跨的上、下邻层横梁布置活荷载，然后隔跨布置，其它层按同跨隔层布置（图3-4c）；当活荷载作用相对较小时，常先按满布活荷载计算内力，然后对计算内力进行调整的近似简化法，调整系数：跨中弯矩1.11.2，支座弯矩1.0。（a） （b） （c）图 3-4 竖向活荷载最不利布置1.反弯点法在图3-5中，如能确定各柱内的剪力及反弯点的位置，便可求得各柱的柱端弯矩，并进而由节点平衡条件求得梁端弯矩及整个框架结构的其他内力。为此反弯点法中假定：图
7、3-5 框架在水平力作用下的弯矩图（1）求各个柱的剪力时，假定各柱上下端都不发生角位移，即认为梁的线刚度与柱的线刚度之比为无限大；（2）在确定柱的反弯点位置时，假定除底层以外，各个柱的上、下端节点转角均相同，即除底层外，各层框架柱的反弯点位于层高的中点；对于底层柱。，则假定其反弯点位于距支座2/3层高处。（3）梁端弯矩可由节点平衡条件求出，并按节点左右梁的线刚度进行分配。当梁的线刚度与柱的线刚度之比超过3时，由上述假定所引起的误差能够满足工程设计的精度要求，可采用反弯点法。反弯点法具体计算方法是将每层的层间总剪力按柱的抗侧刚度直接分配到每根柱上，求出每根柱的剪力，然后根据反弯点位置，即能求出柱
8、端弯矩，计算公式为：式中：为第j层第k柱所分配到的剪力；为第j层第k柱的线刚度；为j层框架柱数；第j层层间剪力。根据柱剪力和反弯点位置，可计算柱上、下端弯矩，对于底层柱，柱端弯矩为：对于上部各层，柱端弯矩为：、分别为第j层第k柱的上、下端部弯矩； hj为第j层柱柱高。求出柱端弯矩后，再求节点弯矩平衡，最后按节点左右梁的线刚度对节点不平衡弯矩进行分配可求出梁端弯矩。式中、为节点处左、右梁端弯矩；、为节点处柱上、下端弯矩；、为节点处左、右梁的线刚度。最后以各梁为隔离体，将梁的左右端弯矩之和除以该梁的跨长，可得梁内剪力，自上而下逐层叠加节点左右的梁端剪力，即可得到柱内轴向力。2. D值法D值法为修正
9、反弯点法，修正后柱的抗侧刚度为，式中为柱刚度修正系数，可按表3-2采用；柱的反弯点高度比修正后可按下式计算：y=y0+y1+y2+y3 ，式中 y0为标准反弯点高度比，是在各层等高、各跨相等、各层梁和柱线刚度都不改变的情况下求得的反弯点高度比；y1为因上、下层梁刚度比变化的修正值；y2为因上层层高变化的修正值； y3为因下层层高变化的修正值。y0，y1，y2，y3的取值见附表1-1表1-4。风荷载作用下的反弯点高度按均布水平力考虑，地震作用下按倒三角分布水平力考虑。D值法具体计算步骤为：先计算各层柱修正后的抗侧刚度D及柱的反弯点高度，将该层层间剪力分配到每个柱，柱剪力分配式为：根据柱剪力和反弯
10、点位置，可计算柱上、下端弯矩为：式中：为第j层第k柱所分配到的剪力；为第j层第k柱的侧向刚度D值；为j层框架柱数；第j层层间剪力；为第j层第k柱的弯矩；为第j层第k柱的反弯点高度比；h为柱高。 梁端弯矩的计算与反弯点法相同。表32楼层简图一般层底层注：边框情况下，式中,或取0值。水平荷载作用下侧移近似计算一般采用D值法，层间侧移及顶点总侧移计算公式为：式中第j层层间剪力；为第j层第k柱的侧向刚度D值；为第j层由梁柱弯曲变形所产生的层间位移；为框架顶点总侧移；n 框架结构总层数。3.2例题计算1. 弯矩分配系数 (1)计算弯矩分配系数根据上面的原则，可计算出本例横向框架各杆件的杆端弯矩分配系数，
11、由于该框架为对称结构，取框架的一半进行简化计算，如图3-6。节点A1： （相对线刚度见表2-3）节点B1： 节点A2： 节点B2： 节点A4： 节点B4： A3、B3与相应的A2、B2相同。2. 杆件固端弯矩计算杆件固端弯矩时应带符号，杆端弯矩一律以顺时针方向为正，如图3-6。图 3-6 杆端及节点弯矩正方向1）横梁固端弯矩：（1）顶层横梁自重作用：板传来的恒载作用：（2）二四层横梁自重作用： 板传来的恒载作用：2）纵梁引起柱端附加弯矩：（本例中边框架纵梁偏向外侧，中框架纵梁偏向内侧） 顶层外纵梁 楼层外纵梁 顶层中纵梁 楼层中纵梁 3. 节点不平衡弯矩横向框架的节点不平衡弯矩为通过该节点的各
12、杆件（不包括纵向框架梁）在节点处的固端弯矩与通过该节点的纵梁引起柱端横向附加弯矩之和，根据平衡原则，节点弯矩的正方向与杆端弯矩方向相反，一律以逆时针方向为正，如图3-7。节点A4的不平衡弯矩：本例计算的横向框架的节点不平衡弯矩如图3-7。（a）恒载 （b）恒载产生的节点不平衡弯矩图 3-7 横向框架承担的恒载及节点不平衡弯矩4. 内力计算根据对称原则，只计算AB、BC跨。在进行弯矩分配时，应将节点不平衡弯矩反号后再进行杆件弯矩分配。节点弯矩使相交于该节点杆件的近端产生弯矩，同时也使各杆件的远端产生弯矩，近端产生的弯矩通过节点弯矩分配确定，远端产生的弯矩由传递系数C（近端弯矩与远端弯矩的比值）确
13、定。传递系数与杆件远端的约束形式有关，如图3-2。恒载弯矩分配过程如图3-8，恒载作用下弯矩见图3-9，梁剪力、柱轴力见图3-10。根据所求出的梁端弯矩，再通过平衡条件，即可求出恒载作用下梁剪力、柱轴力，结果见表3-3、表3-4、表3-5、表3-6。 AB跨梁端剪力 （kN） 表 3-3层q(kN/m)(板传来作用)g(kN/m)(自重作用)a(m)l(m)gl/2u=(l-a)*q/2MAB(kN.m)MBA(kN.m)Mik/lV1/A=gl/2+u-Mik/lVB=-(gl/2+u+Mik/l)421.94.082.25612.2441.06-30.54 45.85 2.5550.75
14、-55.85 316.614.082.25612.2431.14-37.05 42.94 0.9842.40 -44.36 216.614.082.25612.2431.14-35.10 42.04 1.1642.22 -44.54 116.614.082.25612.2431.14-30.42 39.64 1.5441.84 -44.92 注：a见表3-1图。 BC跨梁端剪力（kN） 表 3-4层q(kN/m)(板传来荷载作用)g(kN/m)(自重作用)l(m)gl/2l*q/4VB=gl/2+l*q/4VC=-(gl/2+l*q/4)410.492.692.43.236.29 9.52-9
15、.5237.662.692.43.234.60 7.82 -7.8227.662.692.43.234.60 7.82-7.8217.662.692.43.234.607.82-7.82 图 3-8 恒载弯矩分配过程图 3-9 恒载作用下弯矩图（kN.m） AB跨跨中弯矩（kN.m） 表 3-5层q(kN/m)(板传来作用)g(kN/m)(自重作用)a(m)l(m)gl/2u=(l-a)*q/2MAB(kN.m)Mik/lV1/A=gl/2+u-Mik/lM=gl/2*l/4+u*1.05-MAB- V1/A*l/2421.94.082.25612.2441.06-30.54 2.5550.7
16、5 -60.24 316.614.082.25612.2431.14-37.05 0.9842.40 -39.09 216.614.082.25612.2431.14-35.10 1.1642.22 -40.50 116.614.082.25612.2431.14-30.42 1.5441.84 -44.04 图 3-10 恒载作用下梁剪力、柱轴力（kN） 柱轴力（kN） 表 3-6层边柱A轴、D轴中柱B轴、C轴横梁端部压力纵梁端部压力柱重柱轴力横梁端部压力纵梁端部压力柱重柱轴力4柱顶50.7564.9114.4115.6655.85+9.52=65.3757.2114.4122.58柱底13
17、0.06136.983柱顶42.4033.9114.4206.3744.36+7.82=52.1846.5914.4235.75柱底220.77250.152柱顶42.2233.9114.4296.9044.54+7.82=52.3646.5914.4349.10柱底311.30363.501柱顶41.8433.9120.8387.0544.92+7.82=52.7446.5920.8462.83柱底407.85483.63注意：各不利荷载布置时计算简图不一定是对称形式，为方便，近似采用对称结构对称荷载形式简化计算。1.梁固端弯矩：（1）顶层：（2）二四层横梁：2.纵梁偏心引起柱端附加弯矩：（
18、本例中边框架纵梁偏向外侧，中框架纵梁偏向内侧） 顶层外纵梁 楼层外纵梁 顶层中纵梁 楼层中纵梁 3.本工程考虑如下四种最不利组合：(a)顶层边跨梁跨中弯矩最大，图3-11；(b)顶层边柱柱顶左侧及柱底右侧受拉最大弯矩，如图3-12；(c)顶层边跨梁梁端最大负弯矩，图3-13：(d)活载满跨布置，图3-14。4.各节点不平衡弯矩：（注意：若计算某跨梁端的最大负弯矩，不可以这样统一！）当AB跨布置活载时：当BC跨布置活载时：当AB跨和BC跨均布置活载时：图 3-11 活载不利布置a 图 3-12 活载不利布置b图 3-13 活载不利布置c 图 3-14 活载不利布置d5.内力计算：采用“迭代法”计
19、算，迭代计算次序同恒载，如图3-15、图3-18、图3-21、图3-24。活载（a）作用下梁弯矩、剪力、轴力如图3-16、图3-17。活载（b）作用下梁弯矩、剪力、轴力如图3-19、图3-20。活载（c）作用下梁弯矩、剪力、轴力如图3-22、图3-23。活载（d）作用下梁弯矩、剪力、轴力如图3-25、图3-26。根据所求出的梁端弯矩，再通过平衡条件，即可求出的恒载作用下梁剪力、柱轴力，结果见表3-7表3-22。 活载（a）作用下AB跨梁端剪力 表 3-7层q(kN/m)a(m)u=(6-a)*q/2MAB(kN.m)MBA (kN.m)Mik/lV1/A=u-Mik/lVB=-( u+Mik/
20、l)43.152.255.91 -2.75 4.56 0.30 5.61 -6.21 302.250.00 -1.80 2.00 0.03 -0.03 -0.03 292.2516.88 -11.90 15.05 0.53 16.36 -17.41 102.250.00 -1.26 1.76 0.08 -0.08 -0.08 活载（a）作用下BC跨梁端剪力 表 3-8层q(kN/m)l(m)ql/4(kN)VB= ql/4 (kN)VC=- ql/4 (kN)402.400034.82.42.882.88-2.88202.400014.82.42.882.88-2.88 活载(a)作用下AB跨
21、跨中弯矩（kN. m） 表 3-9层q(kN/m)(板传来荷载作用)a(m)l(m)u=(l-a)*q/2MAB(kN.m)Mik/lV1/A=u-Mik/lM=u*1.05- MAB - V1/A*l/243.152.2565.91 -2.75 0.30 5.61 -7.87 302.2560.00 -1.80 0.03 -0.03 1.90 292.25616.88 -11.90 0.53 16.36 -19.44 102.2560.00 -1.26 0.08 -0.08 1.51 活载（a）作用下柱轴力 表 3-10层边柱（A轴）中柱（B轴）横 梁纵 梁柱轴力(kN)横 梁纵 梁柱轴力(
22、kN)端部剪力端部剪力端部剪力端部剪力45.613.54 9.156.216.32 12.533-0.0310.13 19.252.91 18.05 33.49216.3610.13 45.74 17.4118.05 68.951-0.0810.13 55.79 2.9618.05 89.96 图 3-15 活载（a）迭代过程图 3-16 活载（a）弯矩图（kN.m） 活载（b）作用下AB跨梁端剪力 表 3-11层q(kN/M)a(m)u=(6-a)*q/2MAB(kN.m)MBA (kN.m)Mik/lV1/A=u-Mik/lVB=-(u+Mik/l)43.152.255.91 -4.76
23、5.71 0.16 5.75 -6.07 392.2516.88 -12.43 15.25 0.47 16.41 -17.35 202.250.00 -2.51 2.28 -0.04 0.04 0.04 192.2516.88 -11.09 14.54 0.58 16.31 -17.46 活载（b）作用下BC跨梁端剪力 表 3-12层q(kN/M)l(m)ql/4(kN)VB= ql/4 (kN)VC= -ql/4 (kN)402.4000302.400024.82.42.882.88-2.88102.4000图 3-17 活载（a）剪力、轴力（kN）活载（b）作用下AB跨跨中弯矩（kN. m
24、） 表3-13层q(kN/m)(板传来荷载作用)a(m)l(m)u=(l-a)*q/2MAB(kN.m)Mik/lV1/A=u-Mik/lM=u*1.05-MAB- V1/A*l/243.152.2565.91 -4.76 0.16 5.75 -6.29 392.25616.88 -12.43 0.47 16.41 -19.08 202.2560.00 -2.51 -0.04 0.04 2.40 192.25616.88 -11.09 0.58 16.31 -20.10 活载（b）作用下柱轴力计算 表 3-14层边柱（A轴）中柱（B轴）横梁端部剪力纵梁端部剪力柱轴力kN横梁端部剪力纵梁端部剪力
25、柱轴力kN45.75 3.549.296.076.3212.39316.41 10.1335.8317.3518.0547.7920.04 10.1346.00 2.8418.0568.68116.31 10.1372.44 17.4618.05104.19图 3-18 活载（b）迭代过程图 3-19 活载（b）弯矩（kN.m） 活载（c）作用下AB跨梁端剪力 表 3-15层q(kN/m)a(m)u=(6-a)*q/2MAB(kN.m)MBA(kN.m)Mik/lV1/A=u-Mik/lVB=-(u+Mik/l)43.152.255.91 -4.74 5.59 0.14 5.77 -6.05
26、392.2516.88 -12.23 16.23 0.67 16.21 -17.55 202.250.00 -2.70 1.23 -0.25 0.25 0.25 192.2516.88 -10.90 15.57 0.78 16.10 -17.66 活载（c）作用下BC跨梁端剪力 表 3-16层q(kN/m)l(m)ql/4(kN)VB= ql/4 (kN)VC= ql/4 (kN)402.40.00 0.00 0.00 34.82.42.88 2.88 -2.88 202.40.00 0.00 0.00 14.82.42.88 2.88 -2.88 图 3-20 活载（b）剪力、轴力（kN）活载（c）作用下AB跨跨中弯矩（kN.m） 表 3-17层q(kN/m)(板传来荷载作用)a(m)l(m)u=(l-a)*q/2MAB(kN.m)Mik/lV1/A=u-Mik/lM=u*1.05-MAB- V1/A*l/243.152.2565.91 -4.74 0.14 5.77 -6.36 392.25616.88 -12.23 0.67 16.21 -18.69
