1、七升八数学暑假衔接讲义三角形第一讲 与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。注意：三条线段必须不在一条直线上，首尾顺次相接。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。三角形ABC用符号表示为ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。3.三角形的高：从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形
2、）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。三角形的三条高相交于一点。4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与 之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：ABC的周长为
3、48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：ABC的各边的长。例3.已知ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm （1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长； （2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。例6.已知：ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：ABC的各边的长。例7.如图所
4、示，已知在ABC中，AB=AC=8，P是BC上任意一点，PDAB于点D，PEAC于点E.若ABC的面积为14，问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由.【课堂练习】1.下列说法错误的是( ). A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点； B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点；D.三角形的三条高可能相交于外部一点2.有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( ) A.1、2、3 B.1、2、4 C.2、3、4 D.2、3、63.已知三角形的周长为15cm，且其中的两边都等于第三边的2倍，则此三角形的最短边为（
5、） A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm4.已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（ ） A3 B5 C7 D95.等腰三角形的底边BC=8 cm，且|ACBC|=2 cm，则腰长AC为( ) A.10 cm或6 cm B.10 cm C.6 cm D.8 cm或6 cm 6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（ ） A.5 B.6 C.7 D.87.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形8.如图,在ABF中，B的对边是（ ） A.AD B.AE C.A
6、F D.AC 9.图中三角形的个数是（ ） A8 B9 C10 D1110.已知，如图所示，ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,-3),C(-2,1)，如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设ABC的面积为S1,AB1C的面积为S2,则S1,S2的大小关系为（ ） A. S1S2 B. S1=S2 C.S1S2 D. 不能确定11.如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A,B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个的方格纸中，找出格点C，使ABC的面积为1个平方单位的三角形的个数是( ). A.8 B.9 C.10 D.1112.图中有 个三角形，用符
7、号表示为 13.图中共有 个三角形。14.如图，AD是ABC的角平分线，则 = = ；E在AC上，且AE=CE,则BE是ABC的 ；CF是ABC的高，则 = =900，CF AB.15.如图,AD是ABC的中线,AE是ABC的角平分线,若BD=2cm,则BC= ;若BAC=600,则CAE= 16.如图,以AD为高的三角形共有 17.如图，ABBD于B, DCAC于C,AC与BD交于点E,则ADE的边DE上的高为 ，AE上的高为 18.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有 种选法，它们分别是 19.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是_ 若x是
8、奇数，则x的值是_；这样的三角形有_个；若x是偶数，则x的值是_；这样的三角形又有_个20.现有8根木棒，它们的长分别是1,2,3,4,5，6,7,8，若从8根木棒中抽取3根拼成三角形，要求三角形的最长边为8，另两边之差大于2，那么可以拼成的不同的三角形的有 种。21.一个三角形的两边长分别是3和8，则第三边的范围是 22.如上图，BD=DE=EF=FC，那么，AE是_的中线。23.三角形三边的比是345，周长是96cm，那么三边分别是_cm.24.已知等腰三角形的周长是25cm，其中一边长为10cm，求另两边长_25.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.26.
9、已知a、b、c为ABC的三边长，b、c满足（b-2）2+c-3=0，且a为方程x-4=2的解，求ABC的周长，判断ABC的形状27.已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为多少？28.已知，ABC的周长为18 cm，BE、CF分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF=3 cm,AE=2 cm，求BD的长.29.在ABC中,AB=AC,AD是中线,ABC的周长为34cm,ABD的周长为30cm, 求AD的长.30.在ABC中,高CE,角平分线BD交于点O, ECB=50,求BOC的度数.31.如图，已知
10、AD、AE分别是ABC的高和中线，AB=6厘米，AC=8厘米，BC10厘米，CAB=900,试求：（1）AD的长；（2） ABE的面积；（3） ACE与 ABE的周长的差。【课后练习】1.如图，以BC为公共边的三角形的个数是（） .2 .3 .4 .5 2.如图，ADBC于D,CEAB于E,AD、CE交于点O,OFCE,则下列说法中正确的是（ ） A.OE为ABD中AB边上的高 B.OD为BCE中BC边上的高 C.AE为AOC中OC边上的高 D.OF为AOC中AC边上的高3.如图，在ABC中EFAC，BDAC于D，交EF于G，则下面说话中错误的是（ ） A.BD是ABC的高 B.CD是BCD的
11、高 C.EG是ABD的高 D.BG是BEF的高4.在ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有（ ） A.4对 B.5对 C.6对 D.7对5.若三条线段中a=3，b=5，c为奇数，那么由a,b,c为边组成的三角形共有（） A1个 B.3个 C.无数多个 D.无法确定6.如果线段能组成三角形，那么它们的长度比可能是（） A. B. C. D.7.三角形的一条高是一条（ ） A.直线 B.垂线 C.垂线段 D.射线8.下列说法中，正确的是（ ） A.三角形的角平分线是射线 B.三角形的高总在三角形的内部C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段 D.三
12、角形的中线在三角形的内部9.下列说法正确的是 A.直角三角形只有一条高 B.三角形的三条中线相交于一点C.三角形的三条高相交于一点 D.三角形的角平分线是射线10.现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 的木棒. A.10cm B.20cm C.50cm D.60cm11.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm12.已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，则此三角形的周长为（ ） A.15cm B.18cm C.15c
13、m或18cm D.不能确定13.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（ ） A.3，4，5 B.3a，4a，5a C.3+a，4+a，5+a D.三条线段之比为35814.在ABC中,AD是BC上的中线,且SACD=12,则SABC= 15.若为的三边，则_（填“，”）16.如图，在ABC中，BC边上的高是_；在AFC中，CF边上的高是_；在ABE中，AB边上的高是_ 17.如图，ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则ABH的三条高是_，这三条高交于_.BD是_、_、_的高.18.两根木棒的长分别为7cm和10cm要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长（cm
14、）的范围是_19.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是_;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_.20.用7根火柴首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数是_21.小鹏同学有长分别为10cm，8cm，9cm，2cm的四根小木棒，用来钉成三角形.请你帮他设计，可钉成几种不同的三角形.22.已知ABC的周长是36cm，a、b、c是三边长，且a+b=2c,a:b=1:2,求ABC的三边长.23.已知BD是ABC的中线，AC长为5cm，ABD与BDC的周长差为3cm.AB长为3cm，求BC的长.24.在ABC中,AB=AC, AC边上的中线BD把ABC的周长分成
15、15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。25.两根木棒长分别为3厘米和6厘米，要截取其中一根木棒将它钉成一个三角形，如果要求三边长为整数，那么截取的情况有几种？26.如图，ABC中,AD、AE分别是ABC的高和角平分线，C=600，B=280，求DAE的度数。27.如图，AD为ABC的中线，BE为ABD的中线（1）ABE=15，BAD=40，求BED的度数；（2）在BED中作BD边上的高；(3）若ABC的面积为40，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？28.如图，在三角形ABC中，ADBC，BEAC，CFAB，BC=16，AD3，BE=4，CF=6，你能求出三角形ABC的周长吗？ 29.
16、一块三角形的试验田，须将该试验田划分为面积相等的四小块，种植四个不同的优良品种，涉及两种以上的划分方案，并作图说明.【能力提高】1.如果三角形的三边长是三个连续自然数,则下面判断错误的是 ( ). A.周长大于6 B.周长可以被6整除 C.周长可以被3整除 D.周长有时是奇数2.三角形三边长a、b、c满足(a-b-c)(b-c)=0，则这个三角形是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.斜三角形 D.任意三角形3.等腰三角形周长为23，且腰长为整数，这样的三角形共有（）个 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个4.已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中3样构造三角形，则最多能构成形状或
17、大小不同的三角形的个数是（） A.5 B.7 C.8 D.105.ABC的周长是24cm，三边a,b,c满足b:c=3:4且a=2c-b，则边a的长度是_6.在ABC中，a=6,b=8,则周长P的取值范围是_7.a,b,c是ABC中，的对边，若，则的取值范围是_8.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 9.如下图所示,在直角坐标系中,第一次将OAB变换成OA1B1,第二次将OA1B1变换成OA2B2,第三次将OA2B2变换成OA3B3,已知A(1,3),A1(2,3), A2(4,3), A3(8,3),B(2
18、,0),B1(4,0),B2(8,0), B3(16,0). (1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律将OA3B3变换成OA4B4,则A4的坐标是_ ,B4的坐标是_ . (2)若按第(1)题的规律将OAB进行了n次变换,得到OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,请推测An的坐标是_ , Bn的坐标是_ 10.如图，线段、相交于点，能否确定与的大小，并加以说明毛11.已知线段，（1）已知线段AC垂直于线段BD设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为，和，则，；（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B
19、，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想.12.已知：在如图至图中，ABC的面积为a，解答下面各题：（1）如图1，延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA若ACD的面积为S1，则S1=_（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE若DEC的面积为S2，则S2=_（用含a的代数式表示）；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB；连接FD，FE，得到DEF（如图3）若阴影部分的面积为S3，求S3的大小（用含a的代数式表示）；（4）像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连接所
20、得端点，得到DEF（如图3），此时我们称ABC向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的多少倍？第二讲 与三角形有关的角我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。1.按角分类: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。2.按边分类:三角形 不等边三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 等边三角形 3.三角形外角:三角
21、形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。(共有6个外角)4.三角形外角的性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 （3）三角形外角的和等于3600。例1.用一条长为18的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4的等腰三角形吗？为什么？例2.如图，BE平分ABC,CD平分ACB， A=500，求BOC的度数。例3.一个零件形状如图所示，按规定BAC=900, B=210, C=200,检验工人量得BDC=1300，就断定此零件不合格，请运用所学知识说明理由。
22、例4.如图所示,在ABC中,ABC的内角平分线与外角平分线交于点P,试说明PA.【课堂练习】1.下列各图形中1=60的是（ ）2.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角或直角三角形3.任何一个三角形的三个角中至少有 A.一个锐角 B.两个锐角 C.一个直角 D.一个钝角4.已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为 A.13 B.15 C. 14 D. 13或15 5.若三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )毛 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定6.在ABC中，A=53
23、，B=63，那ABC的最小外角是（ ） A.117 B.63 C.116 D.537.如图，ABCD，A= 38C= 80，则M为（ ） A.52 B.42 C.10 D.40 8.如图所示，在ABC中,B=80,C=40,AD,AE分别是ABC的高线和角平分线，则DAE的度数为（ ） A.10 B.20 C.30 D.409.如图所示，在RtADB中，D=90，C为AD上一点，则x可能是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 4010.如图所示，在ABC中，B=C，BAD=40，若1=2，则EDC的度数为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 1011.在ABC中,AB=
24、AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为500,则B等于（ ） A.30 B.70 C.30或 70 D.20或7012.图1为两个相同的长方形，若阴影区域的面积为10，则图2中的阴影面积等于（ ） A.40 B.30 C.20 D.1013.下面对三角形的外角叙述正确的是（ ） A.外角一定大于内角 B.外角都大于90 C.外角大于60小于180 D外角大于0小于18014.在ABC中,若A+B=C,则此三角形为_三角形.15.如图1，_ 16.如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中等于_度.17.如图，A=650，B=750，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC外，若2
25、=200，则1的度数为 度。18.三角形中最大的角是700，那么这个三角形是 三角形。19.在ABC中，A=90，C=55，则B=_；若C=4A，A+B=100，则B=_如图所示，a=_ 20.如图，在ABC中，E是AC延长线上的一点，D是BC上的一点，1 与A的大小关系是 21.在ABC中，ABC，ACB的角平分线相交于点O, (1)若ABC=400，ACB=500，则BOC= （2）若ABC+ACB=1160，则BOC= （3）若A=760，则BOC= （4）若BOC=1200，则A= (5)请找出A与BOC之间的数量关系为 22.如图1，MA1NA2，则A1A2_度。 如图2，MA1NA
26、3，则A1A2A3_度。 如图3，MA1NA4，则A1A2A3A4_度。 如图4，MA1NA5，则A1A2A3A4A5_度。 从上述结论中你发现了什么规律？ 如图5，MA1NAn，则A1A2A3An_度。 23.如图，在ABC中，ABC=345，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于点H，求BHC的度数。24.如图所示，在ABC中，B=C，BAD=40，并且ADE=AED，求CDE的度数25.如图，ABCD，ADBC，A的2倍与C的3倍互补，BE平分ABC，求A，DEB的度数? 26.如图所示，将三角形纸片ABC的一个角折叠，折痕为EF，若A=80，B=68，CFE=78， 求C
27、EF的度数.27.如图,在ABC中,D是BC边上一点,1=2,3=4,BAC=63,求DAC的度数.【课后练习】1.如图,若A=32,B=45,C=38,则DFE等于( ) A.120 B.115 C.110 D.105 2.如图所示，D是等腰ABC的腰AC上一点，DEBC于点E，EFAB于点F，若ADE=158，则DEF=（ ） A.22 B.42 C.68 D.783.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为（ ） A. 60 B. 120 C. 60或150 D. 60或1204.如图，1、2、3、4应满足的关系式是（ ）A.1+2=3+4 B.1+2=4-3 C.1+4=2+3 D.1+4=2-35.如图，x的两边被一直线所截，用含、的式子表x为（ ）A.- B.- C.180-+ D.180-6.下面说法正确的是个数有（）如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；如果A=B=C，那么ABC是直角三角形；若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；在ABC中，若AB=C，则此三角形是直角三角形。 A.3个 B.4个 C.5个 D.5个7.如图，450，则x= 8.如果一个
