1、初中数学最值问题典型例题含答案分析 中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：条件：如下左图， 、 是直线 同旁的两个定点BA BlAl问题：在直线 上确定一点 ，使 的值最小PPA PBlAlA 方法：作点 关于直线 的对称点 ，连结 交 于A B lPP点 ，则P
2、A PB A B的值最小A 例 1、如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小；当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当 AM+BM+CM 的最小值为时，求正方形的边长。 2例 2、如图 13，抛物线 y=ax bxc(a0的)顶点为（1,4），交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D，其中 B 点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图 14，过点 A 的直
3、线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为 2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点G 为 PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点 H，使D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图 15，抛物线上是否存在一点 T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为 M，过点 M 作直线MNBD，交线段 AD 于点 N，连接 MD，使DNMBMD，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由. 例 3、如图 1，四边形 AEFG 与 ABCD 都是正方形，它们的边长分别为 a,b(b2a且),点 F 在AD 上（以下问题的
4、结果可用 a,b 表示）（1）求 S DBF;(2) 把正方形 AEFG 绕点 A 逆时针方向旋转 45 得图 2,求图 2 中的 S DBF;0(3) 把正方形 AEFG 绕点 A 旋转任意角度,在旋转过程中,S DBF 是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。 1y= x+1y=ax2+bx 3交于 A，B 两点，例 4、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线2点 A 在 x 轴上，点B 的纵坐标为 3。点P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与A，B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 与点 C，作 PDAB 于点 D（1）求 a，
5、b 及sin ACP 的值（2）设点 P 的横坐标为m用含m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连接 PB，线 段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为 9：10？若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由. 3 ax bx经过点 A(4,0)例 5、如图，C 的内接AOB 中，AB=AO=4，tanAOB= ,抛物线 y24与点（-2,6）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线 m 与C 相切于点 A，交 y 于点 D.动点 P 在线段 OB 上，从点 O 出发向点 B 运动；同时动点 Q 在线段 DA 上，从点 D 出
6、发向点 A 运动；点 P 的速度为每秒 1 个单位长，点 Q 的速度为每秒 2 个单位长，当 PQAD 时，求运动时间 t 的值；（3）点 R 在抛物线位于 x 轴下方部分的图象上，当ROB 面积最大时，求点R 的坐标. 例 1、证明：（1）ABE 是等边三角形，BA=BE，ABE=60MBN=60， MBN-ABN=ABE-ABN即MBA=NBE又MB=NB， AMBENB（SAS）（5 分）解：（2）当 M 点落在 BD 的中点时，A、M、C 三点共线，AM+CM 的值最小（7 分）如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小（9 分）理由如下：
7、连接 MN，由（1）知，AMBENB，AM=EN，MBN=60，MB=NB， BMN 是等边三角形 BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM（10 分）根据“两点之间线段最短”，得 EN+MN+CM=EC 最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长（11分） a(x 1) 4例 2、 解：（1）设所求抛物线的解析式为：y，依题意，将点B（3，0）代2(3 1) 4 0y (x 1) 4入，得： a解得：a1所求抛物线的解析式为：22（2）如图 6，在 y 轴的负半轴上取一点 I，使得点 F 与点 I 关于 x 轴对称，在 x 轴上取一点
8、H，连接 HF、HI、HG、GD、GE，则 HFHI设过 A、E 两点的一次函数解析式为：ykxb（k0）， (x 1) 4点 E 在抛物线上且点 E 的横坐标为 2，将 x2 代入抛物线 y，得2y ( 2 1) 4 32点 E 坐标为（2，3） (x 1) 4又抛物线 y图像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B、D2 (x 1) 4 0，x1 或 x3当 y0 时，2当 x0 时，y143,点 A（1，0），点 B（3，0）， 点 D（0，3）又抛物线的对称轴为：直线 x1，点 D 与点 E 关于 PQ 对称，GDGE分别将点 A（1，0）、点 E（2，3）代入 ykxb，得： k b 0
9、 k 1 解得： 2k b 3 b 1 过 A、E 两点的一次函数解析式为：yx1当 x0 时，y1 点 F 坐标为（0，1）=2DF又点 F 与点 I 关于 x 轴对称，点 I 坐标为（0，1） DE DI 2 4 2 5 EI2222又要使四边形 DFHG 的周长最小，由于 DF 是一个定值，只要使 DGGHHI 最小即可由图形的对称性和、，可知，DGGHHFEGGHHI只有当 EI 为一条直线时，EGGHHI 最小 k x b (k 0)设过 E（2，3）、I（0，1）两点的函数解析式为： y，111 k x b分别将点 E（2，3）、点 I（0，1）代入 y，得：112k b 3 11
10、b 11 k 2解得： 1b 1 1过 A、E 两点的一次函数解析式为：y2x11当 x1 时，y1；当 y0 时，x ；21点 G 坐标为（1，1）， 点 H 坐标为（ ，0）2四边形 DFHG 的周长最小为：DFDGGHHFDFEI由和，可知：2 2 5DFEI四边形 DFHG 的周长最小为2 2 5。（3）如图 7，由题意可知，NMDMDB，NM MD MD BD要使，DNMBMD，只要使即可， NM BD即： MD2设点 M 的坐标为（a，0），由 MNBD，可得AMNABD，NM AM BDAB再由（1）、（2）可知，AM1a，BD3 2，AB4AM BD (1 a) 3 2 3 2
11、 (1 a) MNAB OD OM a 9，44 MD22223 24式可写成： a2 9 (1 a) 3 23 或 a 3（不合题意，舍去）解得：a23点 M 的坐标为（ ，0）2又点 T 在抛物线 y (x 1)2 4图像上，315当 x 时，y223 15点 T 的坐标为（ ， ）.2 2 例 3、解：（1）点 F 在 AD 上，AF2=a2a2，即 AF= 2a 。 DF b 2a 。1113S DF AB （ b 2a） b b ab 。22222 DBF（2）连接 DF，AF，由题意易知 AFBD，四边形 AFDB 是梯形。DBF 与 ABD 等高同底，即 BD 为两三角形的底。由
12、 AFBD，得到平行线间的距离相等，即高相等，1S S b 。22 DBF ABD（3）正方形 AEFG 在绕 A 点旋转的过程中，F 点的轨迹是以点 A 为圆心，AF 为半径的圆。第一种情况：当 b2a 时，存在最大值及最小值，BFD 的边 BD= 2b ，当 F 点到 BD 的距离取得最大、最小值时，S BFD 取得最大、最小值。12b 2ab2DFBD 时，S BFD 的最大值= 2b (b 2a) ，如图，当22212b 2ab2S BFD 的最小值= 2b (b 2a) 。222第二种情况：当 b=2a 时，存在最大值，不存在最小值，b2 2abS BFD 的最大值= 。2 12例
13、4、解：（1）由x+1=0，得到 x=2， （ ， ）。A2 01由x+1=3，得到 x=4， （ ， ）。B 4 32 y=ax2+bx 3 经过 A、B 两点，1 a= 4a 2b 3=0 2，解得。 16a+4b 3=312 b= 设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则 E（0，1）。根据勾股定理，得 AE= 5 。PCy 轴，ACP=AEO。OAAE22 55sin ACP=sin AEO= 。511y= x2 x 3（2）由（1）可知抛物线的解析式为。22111 m， m2 m 3m， m+1由点 P 的横坐标为m ，得 P，C。 222 12111 m+1 m2 m 3 m2 +m
14、+4PC=。 222 12 5559 55 RtPCD 中， PD PC sin ACP= m2 +m+4 = m 12 +，在 25 59 55 0 ，当 m=1 时，PD 有最大值。55 32m= 或存在满足条件的m 值，。29 16a+4b=0=ax +bx2例5、解：（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入y中，得方程组 ， 4a-2b=61 =1 a= x -2x2解之，得 2 .抛物线的解析式为y.2 b=-2（2）连接AC交OB于E.直线m切C于 A ACm， 弦 AB=AO， AB AO.ACOB，mOB.33 OAD=AOB，OA=4 tanAOB= ，OD=OAta
15、nOAD=4 =3.443作 OFAD 于F.则 OF=OAsinOAD=4 =2.4.5t秒时，OP=t,DQ=2t，若 PQAD，则FQ=OP= t.DF=DQFQ= t.ODF 中，t=DF= OD2 OF2=1.8秒.1（3）令R(x, x2x) (0x4).221作 RGy 轴于G 作 RHOB 于H交y轴于I.则RG= x，OG= x +2x.2234RtRIG 中，GIR=AOB ，tanGIR= .IG= x IR=53x,434112RtOIH 中，OI=IGOG= x（ x +2x）= x x.HI= （ x x）.4 1222232235 22354 1x （ x2323
16、315 x=511 2x+ x= ( x于是 RH=IRIH=3x）=5x+2225 25511 121)+244011111111当x= 时，RH最大.S 最大.这时 x2x= ( )2 =553211.点R( ,22422444ROB5532 ) 16a+4b=0=ax +bx2例5、解：（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入y中，得方程组 ， 4a-2b=61 =1 a= x -2x2解之，得 2 .抛物线的解析式为y.2 b=-2（2）连接AC交OB于E.直线m切C于 A ACm， 弦 AB=AO， AB AO.ACOB，mOB.33 OAD=AOB，OA=4 tanAOB=
17、 ，OD=OAtanOAD=4 =3.443作 OFAD 于F.则 OF=OAsinOAD=4 =2.4.5t秒时，OP=t,DQ=2t，若 PQAD，则FQ=OP= t.DF=DQFQ= t.ODF 中，t=DF= OD2 OF2=1.8秒.1（3）令R(x, x2x) (0x4).221作 RGy 轴于G 作 RHOB 于H交y轴于I.则RG= x，OG= x +2x.2234RtRIG 中，GIR=AOB ，tanGIR= .IG= x IR=53x,434112RtOIH 中，OI=IGOG= x（ x +2x）= x x.HI= （ x x）.4 1222232235 22354 1
18、x （ x2323315 x=511 2x+ x= ( x于是 RH=IRIH=3x）=5x+2225 25511 121)+244011111111当x= 时，RH最大.S 最大.这时 x2x= ( )2 =553211.点R( ,22422444ROB5532 ) 16a+4b=0=ax +bx2例5、解：（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入y中，得方程组 ， 4a-2b=61 =1 a= x -2x2解之，得 2 .抛物线的解析式为y.2 b=-2（2）连接AC交OB于E.直线m切C于 A ACm， 弦 AB=AO， AB AO.ACOB，mOB.33 OAD=AOB，OA=
19、4 tanAOB= ，OD=OAtanOAD=4 =3.443作 OFAD 于F.则 OF=OAsinOAD=4 =2.4.5t秒时，OP=t,DQ=2t，若 PQAD，则FQ=OP= t.DF=DQFQ= t.ODF 中，t=DF= OD2 OF2=1.8秒.1（3）令R(x, x2x) (0x4).221作 RGy 轴于G 作 RHOB 于H交y轴于I.则RG= x，OG= x +2x.2234RtRIG 中，GIR=AOB ，tanGIR= .IG= x IR=53x,434112RtOIH 中，OI=IGOG= x（ x +2x）= x x.HI= （ x x）.4 1222232235 22354 1x （ x2323315 x=511 2x+ x= ( x于是 RH=IRIH=3x）=5x+2225 25511 121)+244011111111当x= 时，RH最大.S 最大.这时 x2x= ( )2 =553211.点R( ,22422444ROB5532 )
