1、01相似三角形题型之一比例与比例线段 01相似三角形题型之一比例与比例线段 比例与比例线段 教学目标： 1.了解比例中项的概念。 2.会求已知线段的比例中项。 3.通过实例了解黄金分割。 4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点： 教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。 教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。 1知识点与方法概述 A：比例的性质： 基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d. 合比性质： 等比性质：如果 ，那么. B：比例线段： 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条
2、线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项. C：黄金分割： 如图，把线段AB分成两条线段AC和BC，所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截 得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. E：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上
3、截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况: 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD中，AD/CF，AB=BC 求证：DE=EF 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在ACF中，BE/CF，AB=BC求证：AE=EF F：三角形的中位线定理： 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 已知：如图，D、E分别为AB、AC的中点 求证：DE/BC，DE? G：梯形的中位线定理 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线
4、段叫做梯形的中位线。 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。 已知：梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF/AD/BC，EF? 12(AD?BC). 12BC 2典型例题讲解 例1：有关合分比定理的计算 已知：3x=5y，則x:y=_，=_。 已知：课堂练习： ，則_，=_。 已知：，則=_。 已知：，則x+y+z=6，則x=_，y=_，z=_。 已知：a:b:c=1:3:5，則=_。 ABAMAC 如图已知BE=ME=CE AB?BC?CAAE求证： BC=ME ABAMACAB?ACAM证明：BE=ME=CE， BE?CE=EM， A
5、B?ACAMAB?BC?CABCAM?ME即 BC=ME， = ME AB?BC?CAAE即 BC=ME 本题要通过观察找出已知条件和待证结论之间的内在联系，然后灵活运用等比性质和合比性质达到证题的目的 例2：有关比例线段的计算 如图，CE是?ABC的中线，CDcm；若CD=9cm，则AF=cm. 如图，?ABC中，E为BC上一点，CD平分?ACB交AE于点D，且CD?AE，DF交AB于F。若AF=2cm，则AB=cm. 课堂练习： 已知：如图，?ABC中，AB:BC:CA=3:2:4,AB=9cm,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求?DEF的周长. ?ACB的平分线， 已知：如图，?
6、ABC中，BD、CE分别是?ABC、AH?BD于H，AF于F，若AB=14厘米，AC=9厘米，BC=18厘米，求FH的长. ?CE/BC?12AD,EF/BD,EG/AC. 若EF=18cm，则BG= 已知：如图，梯形ABCD中，?ABC两底的长. 例3：有关黄金分割的作图与计算 黄金分割 ?DCB?45?，AD/BC，高是h，中位线长m，求 五角星是我们常见的图形.在图4-4中,度量点C到点A,B的距离 ACBC 与 相等吗？ ABAC BCAC 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ， ACAB那么称线段AB被点C黄金分割(golden section), 图4-5 点C叫做线段AB
7、的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. 问题：一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有几个黄金分割点？ 求黄金比的数值，如图414 设 AP x，则PBABAPABAB?x. AB ABP图4-1-4A C B ABAB?xAB?x1xPBAPx ，得 ，即 APAB AB?xABx1化简，得x2x10. 15 15 解得x1 ，x2 22所以 5 1AP AB2 黄金分割的深远意义：历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开
8、后的长度之比约为许多美丽的形状都与这个比值有关。 尺规做线段的黄金分割点：已知线段ABa，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。 分析：线段a的黄金分割所得的较长线段长应是 5 1 a， 2 5 15 1 a a，于 a是以a和 a为直角边的斜边长 2222因此本题转化为作两条线段之差. DEACB 作法： 1 1.经过点B作BDAB,使BD AB 22.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE. 如图，点C就是线段a的黄金分割点 思考：如果设AB=1,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少?计算 AB的黄金分割点吗? 课堂练习： 已知：M是线段AB的黄金分割点，AMBM. 求
9、证： AM?ABAB?ABAMACBC 与 ；点C是线段ABAC . 一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人比例协调。一个参加空姐选拔活动的选手肚脐以上的高度是65cm，肚脐以下的高度是95cm，那么，她该穿多高的鞋子才好看？ 例4：有关平行线分线段成比例的计算与证明 如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FGBE交AE于G，求证GFFB GFEF证明：GFAD ADED FBEF又FBDC DCED GFFB又ADDC得：ADAD，GF=FB 本题要善于从较复杂的几何图形中，分离出“平行线分线段成比例定理的推论”的基本图形，“
10、A型”或“最后使问题得证。 已知：如图ABC中，DE/AC，DF/AB，求证：BE:AE=AF:FC。 已知：如图，ABC中，AD/EF，AC/ED，求证：BF:FD=BD:DC。 已知：如图，AD/EG，CD/FG，求证：AC/EF。 课堂练习： 如图，l1/l2/l3，分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F. 若AB:AC=1:2，那么DE:EF=. 型”，得到相应的比例式，并注意公共线段“ED”产生“中间比”， 已知：如图，在?ABC中，EF /CD,DE/BC. 求证：AF：FD=AD:DB. 已知：如图，在?ABC中，AD平分?BAC交BC于D，DE平分?ADC交AC于E
11、，若?BAC长. ?2?B，AE=4，CE=3. 求AB的 3、课堂小结 A：比例与比例的性质，有关合分比定理的计算； B：比例线段，与比例线段有关的计算； C：黄金分割，黄金分割点，黄金比的概念，黄金分割点的尺规求法； D：平行线分线段成比例定理及相关计算与证明。 A组 一、填空题： 1.若4x=5y,则xy.2.若 x3 y4 z5，则 x?y?zyx?yy y?z?xx. 3.已知 x?y13ab y7，则的值为. 4.已知 34，那么 a?bb. 5.若 ab cd ef3，且b+d+f4，则a+c+e . 6.若(x+y)y83，则xy. 7.若 ba?b 35，那么 ab. 8.等
12、腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是. 9.已知ABC和ABC，则AB+BC+AC . 10.若a8cm，b6cm，c4cm，则a、b、c的第四比例项dcm； a、c的比例中项xcm. 11.已知3x8y，求 a?3b2b72ABABBCBCCACA32，且AB+BC+CA16cm. xy= ab12. 已知 x2，求= 13. 若 y3，求 x?yy= 14. 如果xyz135，那么 x?3y?zx?3y?z 15. 正方形对角线的长与它的边长的比是 16.在15000000的地图上，量得杭州到南京的距离约为60cm，那么杭州到南京的实际距离约为km. 17在一张地图上，甲、乙两地的图上距离
13、是3 cm,而两地的实际距离为1500 m，那么这张地图的比例尺为_. 18.已知19若 ab3x ?cd 25 (b+d0)，则 a?cb?d x4，则x等于53 2320已知 xy ab?，则(x?y):(x?y)? a?b?1a?b?521如果?，且a?2,b?3，那么 ab? 22已知7(a?b)?3a，则23如果 xa?x2?2x?3y?z2a?3b?cxx?y?zyb?y7?zcz5?2，那么? x?zy24已知：，设A?，B?，C?x?y?zx，那么A、B、C的大小顺 序是. 25已知：4x?11y?5z,2x?y 二、解答题： ?z，则x:y:z= . 1、已知：5y-4x0，
14、求(x+y)(x-y) 2、已知 3、已知线段x、y，如果(x+y)(x-y)ab，求xy. 4、已知： 5如图，D、E分别在ABC的边AB、AC上， ADABAEACDEBC23aba?bc= b?ca= c?abx，求x cd ef3(且有b+d+f0)，求证： a?cb?d c?ed?f 3. ，且ABC与 ADE的周长之差为15cm，求ABC与ADE的周长. 6已知a:b:c?2:4:5，且2a?b?3a?6， 、求 3a?b?2c的值。 8 、若a:b:c?2:3:4，且a?b?c?5， a?b的值 求10、已知 ab?cd7、已知 a5?b7?c8，且a?b?c?20，求2a?b?
15、c 9、若a?23?b4?c?56,且2a?b?3c?21 ，试求a:b:c ，求证： a?bb?c?dd11、若a:b:c?1:2:3，求 a?b?ca?b?c的值。 B组 1. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E、F为BC的三等分点，求BG、GH、HD 的长 DCFHEGAB 2. 如图，已知ABC、CDE是等边三角形，且B、C、D三点在一直线上，如果BC=15,CD=5. 求CF的长 AEFBCD 3. 如图，已知矩形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，且BE=2AE，BF=2FC, EF 交BD于点G. 求证：GEB是等腰三角形 ADEGBFC 4. 如图，在AB
16、C中，AD?13AB, 延长BC到点F，使得CF?13BC，连接DF, 交AC 于点E. 求证：DE=EF (2) AE=2EC ADEBCF AFAB 5. 如图，在ABC中，AB=AC, ADBC于点D，DE：AE=1：3. 求 A的值 FEBDC 6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=2, 延长AD到H，使AH=7，对角线AC、 BD相交于点O，连接HO交DC于点F，延长HO交AB于点E. 求AE的长 HDFCOAEB 7. 如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DFBE交AC于点F，EGCD交 AB于点G. 求证：GFBC AGDFEBC 8. 如图，在ABC中
17、，D为BC的中点，F为AC上一点，且CF：AF=1：2，BF交AD于点E 求 BEEF的值 AFEBDC 9. 如图，ADEGBC，AD=6, BC=9, AE:AB=2:3，求GF的长 ADEFGBC 10. 如图，在ABC中，D是AC的中点，过点A作EABC，F是AB上一点，连接DF的直线 交AE于点E，交BC的延长线于点P. 求证：AE=CP (2)若AB=4AF;EP=12,求DF的长 EAFDBCP 11. 如图，ABEFDC, AB=6,DC=9,求EF的长 DAEBFC 12. 如图，ABCD为正方形，过A的一条直线依次与BD、DC、BC延长线交于点E、F、G， AE=5,EF=
18、4,求FG的长 ADEFBCG 13. 如图，在梯形ABCD中，ADBC, AC与BD交于点O,CEAB交BD的延长线于点E. 求证：OB?OD?OE E2ADOBC 14. 如图，AFBECD, AF=12, BE=19, CD=28,求FE:ED的值 AFBE 15. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是CD的中点，AE交BD于点 F, 求DF:FO的值 DCDEFOCAB 16. 在梯形ABCD中，ABCD,AB=3CD,E为对角线AC的中点，直线BE交AD于点F, 求AF:FD的值 DCFEAB 17如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，且AE=
19、BF=AB, EF与AC相 31交于点H. (1) 求EH：FH的值 (2) 设AB=x, 四边形BCHF的面积为y，求y关于x的函数关系式 AEDHFBC 18. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在射线DC上. 若AF=AE,并设CE=x, AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域 若CE?14，延长FE与直线AB交于点G，当CF的长度为何值时，EAG是等腰 三角形？ DFCDCEABAB 19. 如图，在直角坐标系中有点A(6,0)、B(0,8)、C(-4,0), M、N分别为线段AC,射线AB上的动点. 点M以每秒2个单位的速度自C向A运动，点N以每
20、秒5个单位的速度自A向B的方向运动. 若MN交OB于点P 求证：MN：NP为定值； 若BNP是等腰三角形，求CM的长 yBCOAx 20如图，已知M、N为ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求证：EF=3DE 考点：平行线分线段成比例专题：证明题分析：过N、M分别作AC的平行线，线段之间的关系可得 = ，进而DFHN，可得 = = ，即 = ，进而即可得出结论解答：证明：过N、M分别作AC的平行线交AB于H，G 两点，NH交AM于K， BM=MN=NC， BG=GH=HA， 则HK= GM，GM= HN， HK= H
21、N，即 = ， 又DFHN， = = ， 即EF=3DE点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质求解 一些简单的计 21如图，梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，且EFAD 求证：OE=OF， 求证：1/AD+1/BC=2/EF 比例和比例线段检测题 一、 若 填空题： x?yy?35，则 xy?； l1 AE 线段a，b的积是625，则a、b的比例中项是 ；l2BF 如果a:b:c?3:4:5，那么 ABBD2a?3b?ca?5b?3c? ；C 如图，l1l2l3，那么 ?_， EGFG?_；l3 GD ABC中，如果AC:CB?3:4，C的内角平分
22、线交AB于P，那么PA:PB? 若x2?xy?6y2?0，则x:y?； A 如图，ABC中，DEBC，AD = 3k，BD = 3k， DE 那么DE:BC?；BC 如图，ABC中，C = 900，CD是斜边AB上的高， C AD = 9，BD = 4，那么 CD =；AC = ； 已知ABC中，P是AB上的一点，ACP = B， AB = c，BC = a，那么CP =；ADB 两个相似三角形的相似比系数为k?2，如果它们的周长之差4cm，那么这两个相似三角形的周长分别是。 二、 选择题： 1. 如果ax?bc，那么将x作为第四比例项的比例式是- A bc?axB ax?cbC ab?cxD
23、 xb?ac 2. 三线段a、b、c中，a的一半的长等于b的四分之一长，也等于c的六分之一长，那么 b这三条线段的和与的比等于 - A 1:6B6:1C1:3D 3:1A 3. 如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，那么ADEDE 与四边形DBCE的面积之比是- A 1:1B 1:2C1:3D 1:4 BC 4. 下列图形一定相似的是- A 两个矩形B 两个等腰梯形 C 有一个内角相等的菱形 D 对应边成比例的两个四边形 A 5. 如图，O是ABC内任意点D、E、F分别在线段OA、OB、OCD 上，且AD = 131313AC，BE =BC，CF =CD，那么ABC与DEF E O
24、F 相似比为- B C A 2:1 B3:1C4:1D3:2 三、计算题： 1. 如图，已知ABC中，C的平分线交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于E，若AC =a，BC =b，求DE的长；A D E BC 2. 如图，G为ABC的重心，GFAC，求DF:FC、BC:BF的值； A GE BD FC 四、 证明题： 1. 如图，在ABC中，A与B互余，CDAB，垂足是D，DEBC，交AC于E，求证： AD:AC?CE:BD 2. 如图，在ABC中，AM平分BAC，D为AM的中点，DNAM，DN交BC的延长线于N， 求证：MN2?BN?CN CA E D ADBBMCN 五、探究题 1在AB
25、C中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时发现了如下的事实 AE11AO22当AC=2=1?1时，有AD=3=2?1 AE11AO22当AC=3=1?2时，有AD=4=2?2 AE11AO22AC=3=1?2时，有AD=4=1?3 AE1AO在图丁中，当AC=1?n时参照上述研究结论，请你猜想用n表示AD的一般结论，并给出证明。 2如图，在ABC的边 AB上有一异于中点的动点P，沿平行于 BC的方向运动到AC边于点D，再沿平行于AB方向运动到BC边于点E，再沿平行于CA方向运动到AB边于点F?如果每次平行于某一边方向运动到另一边于一点算作运动一次，
26、那么这样运动2008次点P在那里？ 比例与比例线段 教学目标： 1.了解比例中项的概念。 2.会求已知线段的比例中项。 3.通过实例了解黄金分割。 4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点： 教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。 教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。 1知识点与方法概述 A：比例的性质： 基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d. 合比性质： 等比性质：如果 ，那么. B：比例线段： 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线
27、段，简称比例线段. 设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项. C：黄金分割： 如图，把线段AB分成两条线段AC和BC，所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截 得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. E：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况: 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD中，AD/CF，AB=BC 求证：DE=EF
