1、名师整理最新中考数学专题复习弧弦圆心角圆周角之间的关系精品教案中考数学人教版专题复习：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系一、教学内容弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系1.圆心角、圆周角的概念.2.弧、弦、圆心角之间的关系.3.圆周角定理及推论.二、知识要点1.弧、弦、圆心角（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.（2）弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 如图所示，（1）若AOBCOD，则ABCD，ABCD；（
2、2）若ABCD， 则AOBCOD，ABCD；（3）若ABCD，则AOBCOD，ABCD.1ABOCD2.圆周角（1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.C CCO12OOABADBEAB90（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径.三、重点难点本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理.难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.【典型例题】例1.在O中，如图所示，AOBDOC，试说明： （1）DBAC；（2）BDAC
3、.2AOBCD 分析：（1）DOCAOB，DCBCABBC，BDAC.（2）在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，BDAC. 解：（1）DOCAOB，DCAB， DCBCABBC，即BDAC. （2）由（1）得BDAC，BDAC.例2.如图所示，C是AB的中点，与ADC相等的角的个数是（ ）A.7个 B.3个 C.2个BCD.1个AOD分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，ADCABCCABCDB，故与ADC相等的角共有3个.解：B评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.3例3.如图所示，BC为半圆O的直
4、径，G是半圆上异于B、C的点，A是BG的中点，ADBC于点D，BG交AD于点E，请说明AEBE.分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE与BE相等，可转化为说明BADABE，圆周角ABE所对的弧为AG，连结AB、AC即可解决问题.A GEBDOC 解：连结AB、AC.ABAG，ABEACB.又ADBC，ABDBAE90.BC为直径，BAC90，ABDBCA90，BCABAE.BAEABG，AEBE.例4.如图所示，在O中，AOC150，求ABC、ADC、EBC的度数，并判断ABC和ADC、EBC和ADC的度数关系.BO150EACD
5、分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧AC所对的圆心4角是AOC，所对的圆周角是ABC，优弧ABC所对的圆心角是大于平角的，所对的圆周角是ADC.解：AOC150，1ABC2AOC75.360AOC360150210，1ADC2105，EBC180ABC18075105.ABCADC75105180，EBCADC105，ABC和ADC互补，EBC和ADC相等.评析：理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提.例5.如图所示，AB、CD是O的弦，AC.求证：ABCD.DBACO分析：此题的证明方法很多，由于AB和CD在圆中，且为弦，可证明AB和C
6、D所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB和CD相等.等等.解法一：如图（1）所示，过点O作OEAB，OFCD，垂足分别为E、F.AB2AE，CD2CF，AEOCFO90.5又AC，OAOC，AOECOF，AECF.ABCD.DBA E FCO(1)解法二：如图（2）所示，连结OB、OD.OAOBOCOD，AB，CD.AC，BD.OABOCD，ABCD.D B D BA C A 2O O(2) (3)解法三：如图（3）所示，连结AC.OAOC，13.又BAODCO，24. BCAD. BCBDADBD，即ABCD，ABCD.3C61例6.AB、BC、CA是O的三条弦，O到AB的
7、距离OE等于2AB，求C的度数.分析：C可能为一个钝角，也可能为一个锐角，要分类画图、分析和解答.AAECEB OBOCm(1) (2)解：如图（1）所示，连结AO、BO.1因为OEAB，所以EBAE2AB.1又OE2AB，所以EBOEAE.所以EBOEOBEOAEAO45.1 1 1所以C2AOB2（AOEEOB）29045.如图（2）所示，由（1）得AOB90，所以优弧AmB所对的圆心角是270，所以C135.即C的度数为45或135.评析：图（）中， ABC为锐角三角形，圆心在ABC内部；图（）中，ABC为钝角三角形，圆心O在ABC外部，两种情形都符合题意，所以本题应有两解.【方法总结】
8、71.圆不仅是轴对称图形和中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这样就把圆和其他的中心对称图形区别开来，即圆不仅是中心对称图形，而且还突破了中心对称图形旋转180后才能与原来图形重合的局限性，得出圆所特有的性质：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这叫做圆的旋转不变性.利用这一性质可以推出圆的一些其他性质.2.在利用圆心角、弧、弦的关系定理解题时，我们应注意：作圆心到弦的垂线是圆中一种常见的作辅助线的方法；由圆心到弦的垂线、弧、圆心角的相等来证明弦相等是证明线段相等的一条重要途径.3.圆周角定理及其推论在证明和计算中应用非常广泛，它是证明角相等、线（
9、弦）相等、弧相等的重要依据，尤其是其推论为在圆中确定直角、构成垂直关系创造了条件，它是圆中的一个很重要的性质，要熟练掌握.同时它也是证明弦为直径的常用方法，若图中有直径，往往构造直径所对的圆周角形成直角，这也是圆中重要的辅助线.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1.一条弦分圆周为57，这条弦所对的两个圆周角分别为（ ）A.150，210B.75，105C.60，120D.120，2402.已知AC为O的直径，弦AB10cm，BAC30，那么O的半径为（ ）B.2cm103C.3cm203D.3cm3.如图所示，O的弦AB、CD相交于点E，已知ECB60，AED65，那么，ADE的度数
10、为（ ）8A.40 B.45 C.55DD.65BOEAC*4.如图所示，劣弧AE所对的圆心角为40，则BD等于（ ）A.320 B.160 C.300CBOD.260DAE5.如图所示，AB为O的直径，ACD15，则BAD的度数为（ ）A.75 B.72 C.70D.65COADB6.如图所示，已知圆心角AOB的度数为100，则圆周角ACB的度数为（ ）A.80 B.100 C.120 D.130OBAC*7.已知O的半径为6cm，O的一条弦AB的长为63cm，则弦AB9所对的圆周角是（ ）A.30B.60C.30或150D.60或120二、填空题1.如图所示，D、E分别是O的半径OA、OB
11、上的点，CDOA，CEOB，CDCE，则AC与CB弧长的大小关系是_.CBAEDO2.如图所示，点A、B、C、E都在圆周上，AE平分BAC交BC于点D，则图中相等的圆周角是_.AODBCE 3.如图所示，AB是O的直径，BCBD，A30，则BOD_.CAOBD4.如图所示，已知O的半径为2，圆周角ABC30，则弦AC的长是_.10BOCA5.如图所示，AB是半圆O的直径，BAC40，D是AC上任意一点，那么D的度数是_.CDAOB*6.如图所示，A、B、C、D、E是O上顺次五点，且ABBCCD，如果BAD50，那么AED_.CDBOEA三、解答题1.如图，在O中，AB、CD是两条弦，OEAB，
12、OFCD，垂足分别为E、F.（1）如果AOBCOD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OEOF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小关系？为什么？AOB与COD呢？11ACEFBDO2.如图所示，AB、DE是O的直径，C是O上的一点，且ADCE，BE与CE的大小有什么关系？为什么？B ECOD A*3.如图所示，AB为O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且ACPC.PB的延长线交O于D.求证：ACDC.DBOACP*4.如图所示，已知A、B、C、F、G是O上的五点，AF交BC于点D，AG交BC于点E，且BDCE，12.求证：ABAC.A12OBDECFG12
13、【试题答案】一、选择题1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 6.D 7.D二、填空题1.相等2.ABCAEC，ACBAEB，BAECAEBCECBE3.604.2 5.130 6.75三、解答题1.（1）如果AOBCOD，那么OEOF，理由是：因为AOBCOD，1 1所以ABCD.因为OEAB，OFCD，所以AE2AB，CF2CD，所以AECF.又因为OAOC，所以R OAER OCF.所以OEOF.（2）如果OEOF， 那么ABCD，ABCD，AOBCOD，理由是：因为OAOC，OEOF，所1以R OAER OCF.所以AECF，又因为OEAB，OFCD，所以AE2AB，1 CF2CD.所以AB2AE，CD2CF.所以ABCD.所以ABCD，AOBCOD.2.BECE.理由：AB、DE为O的两条相交的直径，AODBOE，BEAD，又ADCE，BECE.13.连结AD，AB是O的直径，ADP90，ACCP，CD2AP.13 ， BFDCGE（SAS），FG.ABAC，ABAC.1CDAC2AP.ACDC. 14
