1、相交线与平行线复习和练习题 相交线与平行线复习及练习题2、知识点梳理一、知识定义邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。同位角、内错角、同旁内角：同位角：1与5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。内错角：2与6像这样的一对角叫做内错角。同旁内角：2与5像这样的一对角叫做同旁内角。命题：判断一件事情的语句叫命题。平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定
2、的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。三、定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。性质2：两直线平行，内错角相等。性质3：两直线平行，同旁内角互补。平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。判定2：
3、内错角相等，两直线平行。判定3：同旁内角相等，两直线平行。三、经典例题题型一互余与互补例1 一个角的余角比它的补角的少20.则这个角为（） 分析若设这个角为x，则这个角的余角是90x，补角是180x，于是构造出方程即可求解.解设这个角为x，则这个角的余角是90x，补角是180x.则根据题意，得 (180x)(90x)20.解得：x40.故应选B.说明处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解.题型二平行线的性质与判定例2 判断题：1)不相交的两条直线叫做平行线。()2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。()3)两直线平行，同旁内角相等。
4、()4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。()答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。 (2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 (3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。 (4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。例3 已知：如图1，l1l2，150，则2的度数是（） 分析要求2的度数，由l1l2可知1+2180，于是由150，即可求解.解因为l1l2，所以1+2180，又因为150，所以2180118050130.故应选B.说明本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解.例4 如图2，已知直线l1l2，140，那么2
5、度.分析如图2，要求2的大小，只要能求出3，此时由直线l1l2，得31即可求解.解因为l1l2，140，所以1340.又因为23，所以240.故应填上40.说明本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解. 图3例5 如图3，已知ABCD，130，290，则3等于（） 分析要求3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过2的顶点作EFAB，由有1AEF，3CEF，再由130，290求解.解如图3，过2的顶点作EFAB.所以1AEF，又因为ABCD，所以EFCD，所以3CEF，而130，290，所以3903060.故应选A.说明本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解.例6 如图
6、4，ABCD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，BEF的平分线交CD于点G，若EFG72，则EGF等于（） 分析要求EGF的大小，由于ABCD，则有BEF+EFG180，EGFBEG，而EG平分BEF，EFG72，所以可以求得EGF54.解因为ABCD，所以BEF+EFG180，EGFBEG，又因为EG平分BEF，EFG72，所以BEGFEG54.故应选B.说明求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解.课堂作业：如图，已知，于D，为上一点，于F，交CA于G.求证.例7 已知：如图，ABCD，求证：B+D=BED。分析：可以考虑把
7、BED变成两个角的和。如图5，过E点引 一条直线EFAB，则有B=1，再设法证明D=2，需证EFCD，这可通过已知ABCD和EFAB得到。证明：过点E作EFAB，则B=1（两直线平行，内错角相等）。 ABCD（已知）， 又EFAB（已作）， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 D=2（两直线平行，内错角相等）。 又BED=1+2， BED=B+D（等量代换）。变式1已知：如图6，ABCD，求证：BED=360-（B+D）。分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的BED都是指小于平角的角，如果把BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，
8、我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。证明：过点E作EFAB，则B+1=180（两直线平行，同旁内角互补）。 ABCD（已知）， 又EFAB（已作）， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 D+2=180（两直线平行，同旁内角互补）。 B+1+D+2=180+180（等式的性质）。 又BED=1+2， B+D+BED=360（等量代换）。 BED=360-（B+D）（等式的性质）。变式2已知：如图7，ABCD，求证：BED=D-B。分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。证明：过点E作EFAB，则FEB=B（两直线平行，内
9、错角相等）。 ABCD（已知）， 又EFAB（已作）， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 FED=D（两直线平行，内错角相等）。 BED=FED-FEB， BED=D-B（等量代换）。变式3已知：如图8，ABCD，求证：BED=B-D。分析：此题与变式2类似，只是B、D的大小发生了变化。证明：过点E作EFAB，则1+B=180（两直线平行，同旁内角互补）。 ABCD（已知）， 又EFAB（已作）， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 FED+D=180（两直线平行，同旁内角互补）。 1+2+D=180。 1+2+D-（1+B）=180-180（等式的性质）。 2=B-
10、D（等式的性质）。 即BED=B-D。例8 已知：如图9，ABCD，ABF=DCE。求证：BFE=FEC。证法一：过F点作FGAB ，则ABF=1（两直线平行，内错角相等）。 过E点作EHCD ，则DCE=4（两直线平行，内错角相等）。 FGAB（已作），ABCD（已知）， FGCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 又EHCD （已知）， FGEH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 2=3（两直线平行，内错角相等）。 1+2=3+4（等式的性质） 即BFE=FEC。证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。 ABCD（已知）， 1=ABF（两直线平行，内错角相等）。 又ABF=DC
11、E（已知）， 1=DCE（等量代换）。 BGEC（同位角相等，两直线平行）。 BFE=FEC（两直线平行，内错角相等）。如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。证法三：（如图12）连结BC。 ABCD（已知）， ABC=BCD（两直线平行，内错角相等）。 又ABF=DCE（已知）， ABC-ABF =BCD-DCE（等式的性质）。 即FBC=BCE。 BFEC（内错角相等，两直线平行）。 BFE=FEC（两直线平行，内错角相等）。题型三尺规作图例9 已知角和线段c如图5所示，求作等腰三角形ABC，使其底角B，腰长AB c，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保
12、留作图痕迹.分析要作等腰三角形ABC，使其底角B，腰长ABc，可以先作出底角B，再在底角的一边截取BAc，然后以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C，即得.作法（1）作射线BP，再作PBQ；（2）在射线BQ上截取BAc；（3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；（4）连接AC.则ABC为所求.如图6.例10 如图7，已知AOB和射线OB，用尺规作图法作AOBAOB（要求保留作图痕迹）.分析只要再过点O作一条射线OA，使得AOBAOB即可.作法（1）以O为圆心，任意长为半径，画弧，交OA、OB于点C、D；（2）以O为圆心，同样长为半径画弧，交OB于点D；（3）以D为圆心，CD长为半径
13、画弧与前弧交于点C；（4）过点OC作一条射线OA.如图7中的AOB即为所求作.说明在实际答题时，根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了.课后作业:1、选择题1下列说法中，正确的是（ ） A一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线; BP是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P到L的距离一定是1; C相等的角是对顶角; D钝角的补角一定是锐角.2如图1，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE，则图中的邻补角一共有（ ）A3对 B4对 C5对 D6对 (1) (2) (3)3若1与2的关系为内错角，1=40，则2等于（ ） A40 B1
14、40 C40或140 D不确定4如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（ ）5a，b，c为平面内不同的三条直线，若要ab，条件不符合的是（ ） Aab，bc; Bab，bc; Cac，bc; Dc截a，b所得的内错角的邻补角相等6如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）1=5；（2）1=7；（3）2+3=180；（4）4=7，其中能判定ab的条件的序号是（ ） A（1）、（2） B（1）、（3） C（1）、（4） D（3）、（4）7如图3，若ABCD，则图中相等的内错角是（ ） A1与5，2与6; B3与7，4与8;C2与6，3与7; D1与5，4与88如图4，ABC
15、D，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分BEF若1=72，则2的度数为（ ）A36 B54 C45 D68 (4) (5) (6)9已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，则符合条件的直线L的条数为（ ） A1 B2 C3 D410如图5，四边形ABCD中，B=65，C=115，D=100，则A的度数为（ ）A65 B80 C100 D11511如图6，ABEF，CDEF，1=F=45，那么与FCD相等的角有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个12若A和B的两边分别平行，且A比B的2倍少30，则B的度数为（ ） A30 B70 C30或70 D100二、
16、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分把答案填在题中横线上）13如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平行（即ABDC）如果C=60，那么B的度数是_14已知，如图，1=ABC=ADC，3=5，2=4，ABC+BCD=180将下列推理过程补充完整： （1）1=ABC（已知）， AD_ （2）3=5（已知）， AB_, （_） （3）ABC+BCD=180（已知）， _,（_）16已知直线AB、CD相交于点O，AOC-BOC=50，则AOC=_度，BOC=_度17如图7，已知B、C、E在同一直线上，且CDAB，若A=105，B=40，则ACE为_ (7) (8) (9)18如图8，已
17、知1=2，D=78，则BCD=_度19如图9，直线L1L2，ABL1，垂足为O，BC与L2相交于点E，若1=43，则2=_度20如图，ABD=CBD，DFAB，DEBC，则1与2的大小关系是_三、解答题（本大题共6小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）22（7分）如图，ABAB，BCBC，BC交AB于点D，B与B有什么关系？为什么？23（6分）如图，已知ABCD，试再添上一个条件，使1=2成立（要求给出两个答案）24（6分）如图，ABCD，1：2：3=1：2：3，说明BA平分EBF的道理25（7分）如图，CDAB于D，点F是BC上任意一点，FEAB于E，且1=2，3=80求B
18、CA的度数26（8分）如图，EFGF于FAEF=150，DGF=60，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由课堂作业答案：22. AF.1DGF（对顶角相等）又12DGF2DBEC（同位角相等，两直线平行）DBAC（两直线平行，同位角相等）又CDDBADDFAC（内错角相等，两直线平行）AF(两直线平行,内错角相等).课后作业答案:1D2D 点拨：图中的邻补角分别是：AOC与BOC，AOC与AOD，COE与DOE，BOE与AOE，BOD与BOC，AOD与BOD，共6对，故选D3D 4C 5C 6A7C 点拨：本题的题设是ABCD，解答过程中不能误用ADBC这个条件8B 点拨：ABCD，1=72
19、， BEF=180-1=108 ED平分BEF， BED=BEF=54 ABCD，2=BED=54故选B9C 点拨：如答图，L1，L2两种情况容易考虑到，但受习惯性思维的影响，L3这种情况容易被忽略10B11D 点拨：FCD=F=A=1=ABG=45故选D12C 点拨：由题意，知或解之得B=30或70故选C1312014（1）BC；同位角相等，两直线平行 （2）CD；内错角相等，两直线平行 （3）AB；CD；同旁内角互补，两直线平行15（2），（3），（5）16115；65 点拨：设BOC=x，则AOC=x+50 AOC+BOC=180 x+50+x=180，解得x=65 AOC=115，BO
20、C=65171451810219133点拨：如答图，延长AB交L2于点F L1L2，ABL1，BFE=90 FBE=90-1=90-43=47 2=180-FBE=133201=221解：如答图，由邻补角的定义知BOC=100 OD，OE分别是AOB，BOC的平分线， DOB=AOB=40，BOE=BOC=50DOE=DOB+BOE=40+50=9022解：相等理由 ABAB，BCBC，B=ADC，ADC=B，B=B23CFBE或CF、BE分别为BCD、CBA的平分线等24解：设1、2、3分别为x、2x、3x ABCD 由同旁内角互补，得2x+3x=180，解得x=36 1=36，2=72 EBG=180， EBA=180-（1+2）=72 2=EBA BA平分EBF25解：CDAB，FEAB，CDEF，2=FCD1=2，1=FCDDGBCBCA=3=8026解：ABCD 理由：如答图，过点F作FHAB，则AEF+EFH=180 AEF=150，EFH=30 又EFGF，HFG=90-30=60 又DGF=60， HFG=DGFHFCD，从而可得ABCD
