1、北师大八年级下册第六章平行四边形证明题专项练习含答案1. 如图 ,四边形 ABCD是平行四边形 ,DE平分 ADC,交 AB 于点 E,BF平分 ABC,交 CD于点 F.求证 :DE=BF2.如图 ,在平行四边形 ABCD中 ,将 BCD沿 BD翻折 ,使点 C落在点 E处 ,BE和 AD相交于点 O.求证 :OA=OE.3.如图所示 ,把平行四边形 ABCD折叠 ,使点 C与点 A重合 ,这时点 D 落在点 D1 处 ,折痕为 EF若, BAE=55 ,求 D1AD的度数5. 如图 ,点 E为 ?ABCD的边 AB 上一点 ,将 BCE沿 CE翻折得到 FCE点, F落在对角线 AC上 ,
2、且 AE=AF若, BAC=28 ,求 BCD的度数。6.如图 ,在 ?ABCD中 ,点 E是 BC边的中点 ,连接 AE并延长与 DC的延长线交于 F.(1)求证 :CF=CD;(2)若 AF平分 BAD,连接 DE,试判断 DE与 AF的位置关系 ,并说明理由 .7.如图 ,在 ?ABCD中 ,连接 BD,在 BD的延长线上取一点 E,在 DB的延长线上取一点 F,使 BF=DE连接, AF、 CE.求证 :AF CE.8.如图 ,在 ?ABCD中 ,O是对角线 AC的中点 ,EF经过点 O交 AD,BC于 E,F四边形. AFCE是平行四边形吗 ?请说明理由9.如图 ,四边形 ABCD是
3、平行四边形 ,直线 EF BD,与 CD、 CB的延长线分别交于点 E、 F与, AB、 AD交于点 G、 H.(1)求证 :四边形 FBDH为平行四边形(2)求证 :FG=EH.10.如图 ,已知 ABC是等边三角形 ,点 D、 F分别在线段 BC、 AB上 , EFB=60 ,EF=DC.(1)求证 :四边形 EFCD是平行四边形 ;(2)若 BF=EF求证 , :AE=AD.11.如图 ,已知在 ABC中 ,AB=AC点, P为底边 BC上 (端点 B、 C除外 )的任意一点 ,且 PE AC,PF AB.(1)线段 PE、 PF、 AB 之间有什么数量关系 ?并说明理由 ;(2)如图
4、,将“点 P为底边 BC上任意一点”改为“点 P为底边 BC延长线上任意一点” ,其他条件不变 ,上述结论还成立吗 ?如果不成立 ,你能得出什么结论 ?请说明你的理由 .12.如图 ,已知 ABC是等边三角形 ,点 D、 F分别在线段 BC、 AB上 , EFB=60 ,EF=DC.(1)求证 :四边形 EFCD是平行四边形 ;(2)若 BF=EF求证 , :AE=AD.13.如图 ,在平行四边形 ABCD中 , C=60 ,M、 N 分别是 AD、 BC的中点 ,BC=2CD.(1)求证 :四边形 MNCD 是平行四边形 ;(2)求证 :BD= 3 MN.14.如图 ,已知 ABC的中线 B
5、D、 CE交于点 O,F、 G分别是 OB、 OC的中点 .求证 :四边形 DEFG是平行四边形15.如图 ,在 ABC中 ,D、 E分别是边 AB、 AC的中点 , B=50 .将 ADE沿 DE折叠 ,使点 A落在点 A1 处 ,求 BDA1的度16.如图 ,M 是 ABC的边 BC的中点 ,AN 平分 BAC,BN AN 于点 N,延长 BN交 AC于点 D,已知 AB=10,BC=15,MN=3.(1)求证 :BN=DN;(2)求 ABC的周长 .17.如图 ,在 ABC中 ,BC=AC,E、 F分别是 AB、 AC的中点 ,延长 EF交 ACD的平分线于点 G.(1)AG 与 CG有
6、怎样的位置关系 ?说明你的理由 ;(2)求证 :四边形 AECG是平行四边形18.我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线” “三角形的中位线平行于三角形的第三边 ,且等于第三边的一半” .类似地 ,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 .如图所示 ,在梯形 ABCD中 ,AD BC,点 E,F分别 是 AB,CD的中点 ,那么 EF就是梯形 ABCD的中位线 ,通过观察、测量 ,猜想 EF和 AD,BC有怎样的位置和数量关系 ,并证 明你的结论 .19. 如图 ,四边形纸片 ABCD中 , A=70 , B=80 ,将纸片折叠 ,使 C,D落在 AB边上的 C,D处 ,折痕
7、为 MN,求 AMD+ BNC 的度数20.如图所示， E， F分别为平行四边形 ABCD中 AD， BC的中点， G， H 在 BD上，且 BG DH，求证四边形 EGFH是平行四边形22.如图， M 是 ABC的边 BC的中点， AN 平分 BAC， BN AN 于点 N，延长 BN 交 AC于点 D，已知 AB 10，BC 15， MN 3 （ 1 ）求证： BN DN； （ 2）求 ABC的周长23.（ 1）如图，口 ABCD的对角线 AC， BD交于点 O，直线 EF过点 O，分别交 AD， BC于点 E， F求证： AE CF（ 2）如图， 将口 ABCD（纸片）沿过对角线交点 O
8、 的直线 EF折叠，点 A落在点 A1 处， 点 B 落在点 B1 处， 设 FB1交 CD于点 G， A1B1 分别交 CD， DE于点 H， I求证： EI FG答案1.证法一 :四边形 ABCD是平行四边形 , AD=CB, A= C, ADC= CBA. DE平分 ADC,BF平分 ABC, ADE=? ADC, CBF=? CBA, ADE= CBF, ADE CBF(ASA) . DE=BF.证法二 :四边形 ABCD是平行四边形 , DC AB, CDE= AED, DE平分 ADC, ADE= CDE, ADE= AED, AE=AD.同理 ,CF=CB又, AD=CB, AE
9、=CF , AB=CD, DF=BE四边形, DEBF是平行四边形 , DE=BF.2.证法一 :四边形 ABCD为平行四边形 , AD BC,且 AD=BC, ADB= CBD,由折叠可知 EBD= CBD,BE=BC, EBD= ADB,AD=BE, BO=DO, AD-DO=BE-BO即, OA=OE.证法二 :四边形 ABCD为平行四边形 , A= C,且 AB=DC.由折叠可知 E= C,DE=DC, A= E,AB=DE.在 AOB和 EOD中 , AOB EOD, OA=OE.3.四边形 ABCD是平行四边形 , BAD= C,由折叠性质知 , D1AE= C, D1AE= BA
10、D, D1AD= BAE=554.题图 (2)中 OE=OF理由. :在 ?ABCD中 ,AB CD,OA=OC, E= F,又 AOE= COF, AOE COF(AAS), OE=OF题图 (3)中 OE=OF理由. :在 ?ABCD中 ,AD BC,OA=OC, E= F,又 AOE= COF, AOE COF(AAS), OE=OF5. BAC=28 ,AE=AF, AFE= AEF=? =76 , EFC=180 -76 =104 ,由折叠的性质知 , B= EFC=104 ,四边形 ABCD是平行四边形 , AB CD, B+ BCD=180 , BCD=180 -104 =76
11、.6. (1)证明 :四边形 ABCD是平行四边形 , AB CD,AB=CD点, F为 DC的延长线上一点 , AB DF, BAE= CFE, ECF= EBA, E为 BC的中点 , BE=CE则在, BAE和 CFE中 , BAE CFE(AAS) , AB=CF, CF=CD.(2)DE AF.理由 : AF 平分 BAD, BAF= DAF, BAF= F, DAF= F, DA=DF又由, (1)知 BAE CFE, AE=EF , DE AF.7.四边形 ABCD是平行四边形 , AD BC,AD=BC. ADF= CBE又. BF=DE, BF+BD=DE+BD , DF=B
12、E. ADF CBE. AFD= CEB. AF CE.8.四边形 AFCE是平行四边形 .理由如下 : 四边形 ABCD是平行四边形 , AD BC. DAC= BCA.又 O是 AC的中点 , OA=OC又. AOE= COF, AOE COF. OE=OF. OE=OF,OA=OC四边形 , AFCE是平行四边形 .9. (1)四边形 ABCD是平行四边形 , AD BC,又 EF BD,四边形 FBDH为平行四边形 .(2)由 (1)知四边形 FBDH为平行四边形 , FH=BD, EF BD,AB DC,四边形 BDEG是平行四边形 , BD=EG, FH=EG, FH-GH=EG-
13、GH , FG=EH.10. (1) ABC是等边三角形 , ABC=60 . EFB=60 , ABC= EFB. EF BC.又 EF=DC四边形, EFCD是平行四边形 .(2)连接 BE. BF=EF , EFB=60 BEF是等边三角形 EB=EF ABE=60又 EF=DC BE=DC ABC是等边三角形 , ACB=60 ,AB=AC. ABE= ACD,又 BE=DC,AB=AC , ABE ACD, AE=AD.11. (1)PE+PF=AB理由. : PE AC,PF AB, EPB= C,四边形 PEAF是平行四边形 , PF=AE, AC=AB, B= C, EPB=
14、B, PE=BE . BE+AE=AB, PE+PF=AB.(2)(1)中结论不成立 .此时结论为 PE-PF=AB理由 . : PE AC,PF AB, FPC= ABC,四边形 PEAF是平行四边形 , PE=AF又, AB=AC, ABC= ACB, FPC= ACB= FCP, PF=FC, PE-PF=AF-FC=AC=AB.12. (1) ABC是等边三角形 , ABC=60 . EFB=60 , ABC= EFB. EF BC.又 EF=DC四边形 , EFCD是平行四边形 .(2)连接 BE. BF=EF , EFB=60 , BEF是等边三角形 . EB=EF, ABE=60
15、 .又 EF=DC, BE=DC. ABC是等边三角形 , ACB=60 ,AB=AC. ABE= ACD,又 BE=DC,AB=AC , ABE ACD, AE=AD.13. (1)四边形 ABCD是平行四边形 , AD BC,AD=BC. M、 N 分别是 AD、 BC的中点 , MD=NC,又 MD NC,四边形 MNCD 是平行四边形 .(3) 如图 ,连接 DN. N 是 BC的中点 ,BC=2CD, CD=NC. C=60 , DCN是等边三角形 . ND=NC, DNC= NDC=60 . ND=NB=CN. DBC= BDN=30 . BDC= BDN+ NDC=90 .MNC
16、D 是平行四边形 , MN=CD. BD=? MN.14. D,E分别为 AC、 AB 的中点 , DE是 ABC的中位线 , DE BC且, DE=1 BC,又 F、 G分别是 OB、 OC的中点 ,2 FG是 BCO的中位线 , FG BC,且 FG=? 1 BC, DE FG,DE=FG四边形, DEFG是平行四边形 .215. D、 E分别是边 AB、 AC的中点 , DE BC, ADE= B=50 (两直线平行 ,同位角相等 ),又 ADE= A1DE, A1DA=2 B, BDA1=180 -2 B=80 .16. (1)证明 : AN 平分 BAC, 1= 2, BN AN,
17、ANB= AND=90 ,又 AN=AN, ABN ADN, BN=DN.(2)由 ABN ADN 知 ,AD=AB=10,点 N 为 BD 的中点 ,又 M 是 BC的中点 , MN 为 BCD的中位线 , CD=2MN=6, AC=AD+CD=16, ABC的周长 =AB+BC+AC=10+15+16=41.17. (1)AG CG.理由 : E、 F分别是 AB、 AC的中点 , EF是 ABC的中位线 ,AF=CF, EF BC, FGC= GCD, CG平分 ACD, FCG= GCD, FCG= FGC, FG=FC又, AF=CF , AF=FG, FAG= AGF, FAG+
18、AGC+ ACG=180 , AGC=90 , AG CG.(2)证明 :由 (1)知 ,FG=? 1 AC, EF是 ABC的中位线 , EF=? 1 BC, FG=EF又, AF=CF四边形, AECG是平行四边形2218. 结论 :EF AD BC,EF=? 1 (AD+BC).证明如下 :如图所示 ,连接 AF并延长交 BC的延长线于点 G,2 AD BC, DAF= G,在 ADF和 GCF中 , DAF= G, DFA= CFG,DF=FC, ADF GCF(AAS), AF=FG,AD=CG又 , AE=EB, EF BG,EF=? 1 BG,即 EF AD BC,EF=? 1
19、(AD+BC).2219.四边形纸片 ABCD中 , A=70 , B=80 , D+ C=360 - A- B=210 .将纸片折叠 ,使 C,D落在 AB 边上的 C,D处 , MDB= D, NCA= C, MDB+ NCA=210 ADM+ BCN=150 , AMD+ BNC=360 - A- B- ADM- BCN=6020. 证明： 四边形 ABCD是平行四边形， AD BC， AD BC（平行四边形对边平行且相等） EDH FBG又 E， F分别为 AD， BC的中点， DE BF 又 BG DH， DEH BFG（ SAS） ， EH FG， DHE BGF EHG FGH（
20、等角的补角相等） EH FG 四边形 EGFH是平行四边形21.由已知得 AP t， CQ 3t， PD 24 t， BQ 26 3t （ 1） PD CQ，当 PD CQ时，即 3t 24 t 时，四边形 PQCD为平行四边形，解得 t 6故当 t 6 时，四边形 PQCD为平行四边形 （ 2）如图 3 38 所示，作 DE BC， PF BC，垂足分别为 E， F，则 CE 2当QF CE时，即 QF+CE 2CE 4 时，四边形 PQCD是等腰梯形此时有 CQ EF 4，即 3t（ 24 一 t） 4，解得 t 7故当 t 7 时，四边形 PQCD为等腰梯形 （ 3）若四边形ABQP为矩
21、形，则 AP BQ，即 t 26 3t，解得 t 13故当 t 13时，四边形 ABQP为矩形2222.（ 1）证明：在 ABN和 ADN 中，12AN ANABN ADN， BN DNANB AND2）解： ABN ADN， AD AB 10， DN NB， 又点 M 是 BC中点， MN 是 BDC的中位线， CD 2MN 6， 故 ABC的周长 AB BC CD AD 10 15 6 10 4123.证明：( 1)四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， OA OC， 1 2， AOE 和 COF 中，1 2 ， AOE COF( ASA ) ， AE CF；OA OC34( 2)四边形 ABCD 是平行四边形， A C， B D，由( 1)得 AE CF，折叠的性质可得： AE A 1E， A 1 A， B1 B， A1E CF， A 1 A C， B 1 B D ，又 1 2， 3 4，5 3， 4 6， 5 6，在 A1IE 与 CGF 中， A1 CA1E CFA1IE CGF（ AAS ）， EI FG
