1、高考数学111 分类加法计数原理与分步乘法计数原理排列与组合专题十一计数原理【真题典例】11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点计数原理、排列、组合(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理;会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.(2)排列与组合理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式;能解决简单的实际问题2018课标,15组合组合数公式2017课标,6排列、组合排列数公式、组合数公式2016课标,12分类加法计数原理、组合组合
2、数公式2014大纲全国,5分步乘法计数原理组合数公式分析解读从近5年高考情况来看,本节内容的考查方式有两种:一是在选择题、填空题中单独考查或以古典概型为载体进行考查,二是在解答题中与概率结合考查,解题时应牢记排列数、组合数公式,掌握求解排列组合题的基本策略.破考点【考点集训】考点计数原理、排列、组合1.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,某校高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名.8名同学分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学
3、是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.48种D.36种答案B2.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,则不同的安排方案共有()A.90种B.180种C.270种D.360种答案B3.(2018广东南雄一模,5)5位大学毕业生分配到3家单位,每家单位至少分配1人,则不同的分配方法共有()A.25种B.60种C.90种D.150种答案D炼技法【方法集训】方法1排列组合问题的解题方法1.(2018广东中山一中第五次统测,7)从10名大学毕业生中选3个人担任村主任助理,则甲、乙至少
4、有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为()A.85B.49C.56D.28答案B2.(2017河南百校联考质检,7)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排拍毕业照,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为()A.60B.96C.48D.72答案C方法2分组分配问题1.(2018天津和平一模,8)把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则不同的放法种数为()A.35B.70C.165D.1 860答案C2.(2018广东珠海模拟,7)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有()A.480种B.360种C.240种D.12
5、0种答案C过专题【五年高考】A组山东省卷、课标卷题组考点计数原理、排列、组合1.(2016课标,12,5分)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案C2.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案C3.(2018课标,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不
6、同的选法共有种.(用数字填写答案)答案16B组其他自主命题省(区、市)卷题组考点计数原理、排列、组合1.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案B2.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案C3.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案1 2604.(2017天津,1
7、4,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案1 0805.(2018江苏,23,10分)设nN*,对1,2,n的一个排列i1i2in,如果当sit,则称(is,it)是排列i1i2in的一个逆序,排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2), f4(2)的值;(2)求fn(2)(n5)的表达式(用n表示).解析本小题主
8、要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)记(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有(123)=0,(132)=1,(213)=1,(231)=2,(312)=2,(321)=3,所以f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,
9、所以fn(1)=n-1.为计算fn+1(2),当1,2,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此, fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.当n5时, fn(2)=fn(2)-fn-1(2)+fn-1(2)-fn-2(2)+f5(2)-f4(2)+f4(2)=(n-1)+(n-2)+4+f4(2)=.因此,当n5时, fn(2)=.疑难突破要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“fn(k)”的含义,不妨从比较小的1,2,3入手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序
10、数为2的全部排列的个数,可以通过与f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的排列中的倒数第2个位置、f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)与fn(2),fn(1), fn(0)的关系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,从而得到fn(2)(n5)的表达式.C组教师专用题组考点计数原理、排列、组合1.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案D2.(2014福建,10,5分)用a代表红球
11、,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(
12、1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案A3.(2014广东,8,5分)设集合A=(x1,x2,x3,x4,x5)|xi-1,0,1,i=1,2,3,4,5,那么集合A中满足条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130答案D4.(2013福建,5,5分)满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10答案B5.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同
13、值的个数是()A.9B.10C.18D.20答案C6.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案607.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案368.(2013重庆,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).答案590【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019届河南中原名校高三第
14、一次质量考评,9)甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A、B、C、D四类课外书(每类课外书均有若干本),已知每人只借阅一本,每类课外书均有人借阅,且甲只借阅A类课外书,则不同的借阅方案种数为()A.48B.54C.60D.72答案C2.(2018安徽黄山二模,8)我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼-15”飞机准备着舰,规定乙机不能最先着舰,且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻),那么不同的着舰方法种数为()A.24B.36C.48D.96答案C3.(2018河北唐山二模,6)用两个1,一个2,一个0可组成不同四位数的个数是()A.18B.16C.12D
15、.9答案D4.(2018河北保定一模,9)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.其中甲必须去A社区,乙不去B社区,则不同的安排方法种数为()A.8B.7C.6D.5答案B5.(2018山西长治二模,10)某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位长度)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位长度,如果掷出的点数为i(i=1,2,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位长度,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A.
16、22种B.24种C.25种D.36种答案C6.(2017山西太原五中二模,3)小明跟父母、爷爷、奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻,则不同的坐法种数为()A.60B.72C.84D.96答案C7.(2017河南天一大联考,9)如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料,其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有()A.360种B.720种C.780种D.840种答案B二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2019届四川绵阳江油中学高三上第三次月考,14)现有6个人排成一横排照相,其中甲不能被排在两端,则不同的排法种数为.答案4809.(2018北京西城四十四中月考,13)A、B两地街道如图所示,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有种.答案1010.(2017江西八所重点中学联合模拟,13)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整,要求其中恰有2人座位不调整,则不同的调整方案的种数为.(用数字作答)答案20
