1、版高考数学北师大版理一轮复习第3章导数及其应用31导数的概念及运算文档1.导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0).(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x)，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.2.导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应
2、地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(为实数)f(x)x1f(x)sinxf(x)cos_xf(x)cosxf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)lnxf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导
3、数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0).()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cosx.()1.(教材改编)f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值为()A.0 B.3 C.4 D.答案B解析f(x)x32x1，f(x)x22.f(1)3.2.如图所示为函数yf(x)，
4、yg(x)的导函数的图像，那么yf(x)，yg(x)的图像可能是()答案D解析由yf(x)的图像知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C.又由图像知yf(x)与yg(x)的图像在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图像在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3.设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)f()sinxcosx，则f()_.答案解析因为f(x)f()sinxcosx，所以f(x)f()cosxsinx，所以f()f()cossin，即f()1，所以f(x)sinxcosx.f(x)cosxsinx.故f(
5、)cossin.4.已知函数f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，则f(0)_.答案120解析f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，f(0)(1)(2)(3)(4)(5)120.5.(2015陕西)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.答案(1,1)解析yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y (x0)，曲线y (x0)在点P处的切线斜率k2 (m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1).
6、题型一导数的运算例1求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sinx；(3)y3xex2xe；(4)y；(5)yln(2x5).解(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln33xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2.(4)y.(5)令u2x5，ylnu，则y(lnu)u2，即y.思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量
7、，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.(1)f(x)x(2016lnx)，若f(x0)2017，则x0等于()A.e2 B.1C.ln2 D.e(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A.1 B.2C.2 D.0答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2016lnxx2017lnx，故由f(x0)2017得2017lnx02017，则lnx00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数，且f(1)2，f(1)2.题型
8、二导数的几何意义命题点1已知切点的切线方程问题例2(1)函数f(x)的图像在点(1，2)处的切线方程为()A.2xy40 B.2xy0C.xy30 D.xy10(2)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_.答案(1)C(2)解析(1)f(x)，则f(1)1，故该切线方程为y(2)x1，即xy30.(2)y2e2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其中直线y2x2与yx的交点为A(，)，三角形的面积S1.命题点2未知切点的切线方程问题例3(1)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是()
9、A.2xy30 B.2xy30C.2xy10 D.2xy10(2)已知函数f(x)xlnx，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()A.xy10 B.xy10C.xy10 D.xy10答案(1)D(2)B解析(1)对yx2求导得y2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为k2x0.由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xlnx上，设切点为(x0，y0).又f(x)1lnx，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln11.直线l的方程为yx1，即xy10.故选B.命题点3和切线有关的参数问题例4已
10、知f(x)lnx，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1)，则m等于()A.1 B.3 C.4 D.2答案D解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，所以ex22(当且仅当ex，即x0时取等号)，则ex24，故y当(x0时取等号).当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0，)，切线的方程为y(x0)，即x4y20.故选A.7.若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x
11、)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)kxb和g(x)kxb，则称直线l：ykxb为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知函数f(x)x21和函数g(x)2lnx，那么函数f(x)和函数g(x)的隔离直线方程为_.答案y2x2解析由题意得函数f(x)和函数g(x)的隔离直线为它们在交点(1,0)处的公切线.因为f(1)2g(1)k，所以切线方程为y2(x1).8.已知函数f(x)x33x，若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的直线方程为yax16，则实数a的值是_.答案9解析先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线上有y0x3x0，求导数得到切线的斜率kf(x0)3x3，又切线l过
12、A、M两点，所以k，则3x3，联立可解得x02，y02，从而实数a的值为ak9.9.已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程.解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4).(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.10.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y
13、120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0).令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx
14、所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B组专项能力提升(时间：15分钟)11.已知函数f(x)1，g(x)alnx，若在x处函数f(x)与g(x)的图像的切线平行，则实数a的值为()A. B. C.1 D.4答案A解析由题意可知f(x)，g(x)，由f()g()，得，可得a，经检验，a满足题意.12.曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21 (x1,2)上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为()A. B.C. D.答案B解析设P(x0，x1)，x01,2，则易知曲线yx21在点P处的切线方程为y(x1)2x0(xx0)，y2
15、x0(xx0)x1，设g(x)2x0(xx0)x1，则g(1)g(2)2(x1)2x0(1x02x0)，S普通梯形1x3x012，P点坐标为时，S普通梯形最大.13.若函数f(x)x2axlnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_.答案2，)解析f(x)x2axlnx，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2.14.已知曲线f(x)xn1(nN)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2016x1log2016x2log2016x2015的值为_.答案1解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点P(
16、1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1x2x2015，则log2016x1log2016x2log2016x2015log2016(x1x2x2015)1.15.已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解(1)由已知得f(x)3ax26x6a，f(1)0，3a66a0，a2.(2)存在.由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x6x012).g(x0)6x06，切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0,9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x
