1、高中数学必修一必修三知识点合集高中数学必修一知识点总结第一章 集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并 且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响 集合3、集合的表示： （1）用大写字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4
2、,5 （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c b、描述法： 区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 xR| x-32 ,x| x-32 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aA 常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集
3、 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R6、集合间的基本关系（1）“包含”关系：子集 定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：（或B） 注意：有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA（2）“包含”关系：真子集如果集合，但存在元素xB且xA，则集合A是集合B的真子集如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)读作A真含于B（3）“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等”如果AB 同时 BA 那么A=B（4）不含任何元
4、素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。（5）集合的性质 任何一个集合是它本身的子集。AA如果 AB, BC ,那么 AC如果AB且BC，那么AC有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集7、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U设
5、S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，CSA=韦恩图示性 质A A=A A =A B=BAA BA A BBA U A=A A U =AA U B=B U A A U BA U BB(CuA)(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=二、函数的概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中 的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集 合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA （1）其
6、中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； （2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则3.函数的表示方法： （1）解析法：明确函数的定义域 （2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离 散的点等等。 （3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函
7、数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . ( 2) 画法 1.描点法 2.图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。三、函数的基本性质1.函数解析式子的求法（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出 它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：2定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对
8、数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有 意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域 一致 (两点必须同时具备)4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5、值域 （先考虑其定义域） （1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反表示法：针对分式的类型，把Y关于X
9、的函数关系式化成X关于Y的函数关系式， 由X的范围类似求Y的范围。 (3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定 义域的范围。 (4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。6.分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 （2）各部分的自变量的取值情况 （3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 （4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数7映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
10、，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 8、函数的单调性(局部性质)及最值（1）增减函数（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的
11、值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：任取x1，x2D，且x1x2；作差f(x1)f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数
12、的单调性 复合函数：如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、 g的复合函数。复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律：“同增异减”9：函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x) 就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x) 就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步
13、骤： a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的 函数；若对称，则进行下面判断； b、确定f(x)与f(x)的关系； c、作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性 1.在公共定义域内: 2.偶函数的加减乘除仍为偶函数； 3.奇函数的加减仍为奇函数； 4. 奇数个奇函数的乘除认为奇函数； 5.偶数个奇函数的乘除为偶函数； 6.一奇一偶的乘积是奇函数； 复合函数的奇偶性： 一个为偶就为偶，两个为
14、奇才为奇。 10、函数最值及性质的应用（1）、函数的最值1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2.利用图象求函数的最大（小）值3.利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x) 在x=b处有最大值f(b)；4.如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x) 在x=b处有最小值f(b)；（2）函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。（3）判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于
15、作差法是与0作比 较，作商法是与1作比较。（4）绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。（5）在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一 定 可以判断函数为奇函数。高中数学必修三知识点总结第一章 算法初步算法的概念 算法的特点(1)有限性： 一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性： 算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当 是模棱两可.(3)顺序性与正确性： 算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个 确定的 后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执
16、行完前一步才能进行下一步，并且每 一 步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性： 求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性： 很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过 有限、事先设计好的步骤加以解决.程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来 准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分： 1.表示相应操作的程序框； 2.带箭头的流程线； 3.程序框外 4.必要文字说明。（二）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结
17、束，是任何流程图不可少的。输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退 出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果； 另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形
18、符号内描述的语言要非常简练清楚。（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结 构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成
19、立，只能执行A框或B 框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可 以有多个判断框。3、循环结构： 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况， 这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。 循环结构又称重复结构。循环结构可细分为两类：（1）一类是当型循环结构如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。（2）另一类是直到型循环结构如下右图所示，
20、它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。 当型循环结构 直到型循环结构输入、输出语句和赋值语句赋值语句（1）赋值语句的一般格式变量=表达式（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两 边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或 算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。注意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式
21、。如：2=X是错误的。赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）赋值号“=”与数学中的等号意义不同。注意：在IFTHENELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2第二章 统计简单随机抽样1总体和样本： 1.研究对象的全体叫做总体 2.每个研究对象叫做个体 3.总体中个体的总
22、数叫做总体容量 4.样本容量：一般从总体中随机抽取一部分：， ， ， 研究，我们称它为样本其中个体的个数称为样本容量2简单随机抽样： 从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。 特点： 每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间 无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在 总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。3简单随机抽样常用的方法： （1）抽签法； 随机数表法； 计算机模拟法； 使用统计软件直接抽取。4抽签法: （1）给调查对象群体中的每一个对象编号； （2）准备抽签的工具，实施抽签 （3）对样
23、本中的每一个个体进行测量或调查5随机数表法 系统抽样 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样 本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）分层抽样先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。两种方法： （1）按比例分层抽样： 根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取样本的方法。 （2）不按比例分层抽样： 有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采
24、用该方法，主要是便 于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体 时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢 复到总体中各层实际的比例结构。2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征1、平均值： 2、样本标准差： 4（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍2.3.2两个变量的线性相关1、概念: （1）回归直线方程 （2）回归系数2回归直线方程的应用 （1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数
25、量关系 （2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。 第三章 概 率随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：（1）必然事件：在某种条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；（2）不可能事件：在某种条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件；（3）随机事件：在某种条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件；（4）基本事件： 试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样 的 时间叫基本事件；（5）基本事件空间： 所有基本事件构成的集合，叫做基本事件空间，用大写希腊字母表示；（5）频数、频率： 在相
26、同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验 中事件A出现的次数为事件A出现的频数；称事件A出现的比例为事 件A出现的频率；（6）概率： 在n次重复进行的试验中，时间A发生的频率mn，当n很大时，总是在某个常 熟附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常熟叫做事件A 的概率，记作P(A)，0P(A)1；概率的基本性质 1.必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0P(A)1；2.当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；3.若事件A与B为对立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于 是有P(A)=1P(B)
27、；4.互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不 会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2） 事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事 件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2） 事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。古典概型（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。（2）古典概型的解题步骤； 求出总的基本事件数； 求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=几何概型基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积） 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式： P（A）=（3）几何概型的特点： 1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个基本事件出现的可能性相等
