1、第三节 抽样分布第三节 抽样分布一、基本概念一、基本概念二、常见分布二、常见分布三、小结三、小结一、基本概念一、基本概念1.统计量的定义统计量的定义,不含未知参数.的观察值,21的一个样本是来自总体设XXXXn,),(2121的函数是nnXXXXXXg.计量中若g是一个统则称),(21nXXXgnnXXXxxx,2121是相应于样本设,的样本值),(),(2121nnXXXgxxxg是则称是不是实例实例 1?,),(,22321哪些不是些是统计量判断下列各式哪为未知为已知其中样本的一个是来自总体设 NXXX,11XT,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT
2、,2215 XXT).(123222126XXXT 2.几个常用统计量的定义几个常用统计量的定义(1)样本平均值(2)样本方差其观察值,21是来自总体的一个样本设nXXX;11 niiXnX niiXXnS122)(11.11 niixnx.,21是这一样本的观察值nxxx.11122 niiXnXn其观察值(3)样本标准差其观察值 niixxns122)(11 ;11122 niiXXnSS.)(1112 niixxns.11122 niixnxn(4)样本 k 阶(原点)矩其观察值(5)样本 k 阶中心矩其观察值;,2,1,11 kXnAnikik.,2,1,11 kxnnikik;,3,
3、2,)(11 kXXnBnikik.,3,2,)(11 kxxnbnikik证明证明再根据第五章辛钦定理知由以上定义得下述结论:辛钦定理 辛钦定理,)(存在记成阶矩的若总体kkXEkX,21同分布独立且与因为XXXXn,21同分布独立且与所以kknkkXXXX)(1kXE故有,时则当 n,kPkA.,2,1 k)(2kXE)(knXE.k;,2,1,11 kXnkPniki 由第五章关于依概率收敛的序列的性质知由第五章关于依概率收敛的序列的性质知 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据.),(),(2121kPkgAAAg .是连续函数其中g),(),(2121kPkgAAAg .是连续
4、函数其中g3.经验分布函数经验分布函数经验分布函数的做法如下:相应的统计量称为经验总体分布函数)(xF,21的一个样本是总体设FXXXn ,)()(21中不大于表示用nXXXxxS )(为定义经验分布函数xFn)(),(1)(xxSnxFn.分布函数,的随机变量的个数x实例实例 ,对于一个样本值 ).)()(表示的观察值仍以xFxFnn ,3 ,2 ,1 具有一个样本值设总体F 则经验分布函数 .)(的观察值容易求得xFn )(3的观察值为xF,1,32,31,0)(3xF,1 x,21 x32 x.3 x实例实例 ,2 ,1 ,1 具有一个样本值设总体F )(3的观察值为则经验分布函数xF
5、,0)(3xF,1 x,1.2 x,3221 x一般地，,21样本值的一个容量为是总体设nFxxxn,21按自小到大的次序排列先将nxxx,并重新编号,)()2()1(nxxx )(的观察值为则经验分布函数xFn)(xFn,0,nk,1 ,)1(xx，)1()(kkxxx.)(nxx 格里汶科定理格里汶科定理格里汶科定理,x对于任一实数,时充分大当对于任一实数nx经验分布函)()(xFxFn与总体分布函数数的任一个观察值,只有微小的差别来从而在实际上可当作)(xF.使用.10)()(suplim xFxFPnxn,)(xF一致收敛于分布函数 1 )(以概率xFn ,时当 n即二、常见分布二、常
6、见分布统计量的分布称为抽样分布.自由度是指上式右端包含的独立变量的个数.分布分布2 .1 分布，的服从自由度为2 n的样本，是来自总体设1)0(N,21nX,XX则称统计量 222212nXXX ).(22n 记为证明证明分布的概率密度为)(2n)(yf,2,21)1(2分布分布即为因为 ),1,0(NXi又因为),1(22 iX由定义.,2,1,2,212niXi 即 ,0，2122e)2(21ynnyn 0 y.其他.)(2图分布的概率密度曲线如n,21相互独立因为nXXX,22221也相互独立所以nXXX分布的可加性知根据 2 niiX12.2,2 n性质性质 1(此性质可以推广到多个随
7、机变量的情形.)分布的性质2),(1221n 设)(2分布的可加性),(22iin 设,立独22,21 并且),(2222n ).(2122221nn 则,独立相互并且),2,1(2mii mii12 则).(212mnnn 性质性质 2证明证明),(22n 若),1,0(NXi因为)(2iXE所以)(2iXD23.,2,1ni)(2 E故 niiXE12)(,n)(2 D niiXD12)(.2n)(2分布的数学期望和方差,)(2nE 则.2)(2nD )(iXD,1224)()(iiXEXE,1 niiXE12 niiXD12 分布的分位点 2,对于给定的正数.分位点的值得上.)()(22
8、分位点分布的上为的点 nn)(22nP )(2d)(nyyf ,10 称满足条件,对于不同的,n可以通过查表求 根据正态分布的对称性知例例 1附表附表 1-1 附表附表 1-2,的值求 z05.0z025.0z.1 zz ,645.1,96.1 的上服从标准正态分布设)1,0(),1,0(NNX,de2122 xzXPzzx满足分位点.可通过查表完成附表 4只详列到 n=45 为止.例例 2在在 Matlab 中求解中求解附表附表 2-1 附表附表 2-2 附表附表 2-3 分位点满足的上设 )(),(22nnZ,d);()()(222 nynynZP ,)(2的值求n )8(2025.0)1
9、0(2975.0)25(21.0,535.17,247.3.382.34.可通过查表完成例如例如利用上面公式,而查详表可得费舍尔费舍尔(R.A.Fisher)证明证明:费舍尔资料费舍尔资料,充分大时当n2205.0)99645.1(21)50(.221.67.505.67)50(205.0 ,45 时可以求得 n.分位点的近似值上.分位点是标准正态分布的上其中 z.)12(21)(22 nzn t 分布又称学生氏(Student)分布.2.随机数随机数演示演示分布函数与密度函数演示分布函数与密度函数演示学生氏资料学生氏资料),1,0(NX设 tntnnnthn,1221)(212 分布的概率密
10、度函数为)(nt分布t,/分布的服从自由度为称随机变量tnnYXt,独立且YX),(2nY).(ntt记为则形.当 n 充分大时,其图形类似于标准正态变量概率密度的图图分布的概率密度曲线如t显然图形是关于,e21)(lim22tnth 因为,)1,0(分布分布近似于足够大时所以当Ntn,n但对于较小的.)1,0(分布相差很大分布与Nt.0对称的 t由分布的对称性知,对于给定的可以通过查表求).()(1ntnt ,45时当 n分布的分位点 t.)()(分位点分布的上为的点 ntnt )(d)()(nttthnttP ,10 称满足条件.分位点的值得上.)(znt 例例 3在在 Matlab 中求
11、解中求解附表附表 3-1附表附表 3-2分位点满足的上设)(),(ntntT,d);()()(ntynytntTP ,)(的值求nt)10(05.0t,8125.1)15(025.0t.1315.2.可通过查表完成3.随机数随机数演示演示分布函数与密度函数演示分布函数与密度函数演示),(12nU 设分布分布F,布分的服从自由度为随机变量FnnnVnUF),(/2121),(22nV,独立且VU则称).,(21nnFF记为分布的概率密度为),(21nnF)(y ,12222212112221212111nnnnnynnnynnnn ,0,0 y.其他根据定义可知,图分布的概率密度曲线如F).,(
12、112nnFF则分布的分位点F,对于给定的),(21nnFF若.),(),(2121分位点分布的上为的点 nnFnnF ),(2121d)(),(nnFyynnFFP 称满足条件,10 例例 4在在 Matlab 中求解中求解附表附表 4-2附表附表 4-1分位点满足分布的上设),(21nnF,),(21的值求nnF)8,7(025.0F)30,14(05.0F,d)(),(),(2121 nnFyynnFFP ,90.4.31.2.可通过查表完成证明证明:分位点具有如下性质分布的上 F.),(1),(12211nnFnnF ),(1 211nnFFP 所以 ),(11211nnFFP ),(
13、111211nnFFP,),(111211 nnFFP),(21nnFF因为,),(11 211 nnFFP故),(1 12nnFF因为,),(1 12 nnFFP所以,),(),(11221-1nnFnnF 比较后得.),(1),(12211nnFnnF 即)9,21(59.0F例)12,9(105.0F 28.01.357.0 .分位点的一些上用来求分布表中未列出 4.正态总体的样本均值与样本方差的分布正态总体的样本均值与样本方差的分布定理一定理一),(,221 NXXXn是来自正态总体设有的样本均值和样本方差正态总体),(2 N,的样本.以下两个重要定理则有)./,(2nNX ,是样本均
14、值X定理二定理二,),(,221的样本是总体设 NXXXn);1()1(1)222 nSn .(2)2独立与SX,X则有,2方差分别是样本均值和样本S证明证明由 t 分布的定义知定理三定理三且两者独立,),1,0(/NnX 因为),1()1(222 nSn )1()1(/22 nSnnX ).1(/ntnSX 则有,X,),(,221的样本是总体设 NXXXn,2方差分别是样本均值和样本S).1(nt定理四定理四,差分别是这两个样本的方分别是具有与设21,2121nnYYYXXX,),(21 N相同方差的两正态总体的样),(22 N,本,且这两个样本互相独立,1111 niiXnX设,1212
15、值分别是这两个样本的均 niiYnY,)(11112121 niiXXnS 212222)(11niiYYnS则有);1,1(/(1)2122212221 nnFSS ),2(11)()(212121 nntnnSYXw ,(2)22221时当 ,2)1()1(212222112 nnSnSnSw其中.2wwSS 证明证明(1)由定理二),1()1(1221211 nSn ),1()1(2222222 nSn ,2221独立由假设SS 分布的定义知则由F222222211211)1()1()1()1(nSnnSn .)1,1(/2122212221 nnFSS 即1),1(21 nnF(2)2
16、21221,nnNYX 因为212111)()(nnYXU 所以),1()1(122211 nSn 由),1()1(222222 nSn ,且它们相互独立分布的可加性知故由2),1,0(NV2222)1(Sn),2(212 nn,相互独立与由于VU)2/(21 nnVU212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt.分布的定义按t 2211)1(Sn 三、小结三、小结两个最重要的统计量:样本均值样本方差三个来自正态分布的抽样分布:niiXnX11 niiXXnS122)(11 .,2分布分布分布Ft 辛钦定理辛钦定理返回 返回 相互独立，服从同设随机变量,21nXXX.11lim,1
17、nkknXnP有则对于任意正数),2,1()(kXEk 望一分布，且具有数学期附表附表 1-11-1标准正态分布表标准正态分布表z01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.8665
18、0.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.8508
19、0.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.8340
20、0.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645返回返回附表附表 1-21-2标准正态分布表标准正态分布表z01234567891.61.71.8
21、1.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.9982
22、0.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.9750
23、0.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.9936
24、0.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96返回返回附表附表 2-12-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.815
25、9.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.5482
26、0.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267分布表分布表17.535返回返回n2=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8
27、311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912
28、3.247附表附表 2-22-2分布表分布表返回返回n2=0.250.100.050.0250.010.0051718192021222324252627282930313220.48921.60522.71823.82824.93526.03927.14128.24129.33930.43531.52832.62033.71134.80035.88736.97324.76925.98927.20428.41229.61530.81332.00733.19634.38235.56336.74137.91639.08740.25641.42242.58527.58728.86930.14431.
29、41032.67133.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.77344.98546.19430.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440.64641.92343.19444.46145.71246.97948.23249.48033.40934.80536.19137.56638.93240.28941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.89252.19153.48635.71837.15638.58239.99741.40142.
30、79644.18145.55946.92848.29049.64550.99352.33653.67255.00356.32834.382附表附表 2-32-3分布表分布表返回返回n2 附表附表 3-13-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.
31、38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9
32、980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208分布表分布表1.8125返回返回nt附表附表 3-23-2=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110
33、.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427
