1、理学概率论与数理统计练习题含答案第一章随机事件及其概率练习：1.判断正误（1） 必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一 定不发生。（B）（2） 事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。（B）（3） 事件的对立与互不相容是等价的。（B）（4） 若 P（A） = 0,则 A-一。（B）（5） 若P（A） = 0.4,P（B） = 0.5,则P（AB） = 0.2。 （ B）（6） A,B,C三个事件至少发生两个可表示为 AB BC AC （ A）（7） 考察有两个孩子的家庭孩子的性别，11珂两个男孩，（两个女孩）,（一个男孩，一个女孩），则P 两个女孩心三（B）（8）
2、 若 P（A）辽 P（B）， 则 A B。（ B ）（9） n个事件若满足_i, j, P（AAj）二P（A）P（Aj），则门个事件相互 独立。（B）（10） 只有当 A B 时，有 P（B-A）=P（B）-P（A） o（A）2.选择题（1）设A, B两事件满足P（AB）=0，则?A. A与B互斥B. AB是不可能事件C. AB未必是不可能事件 D. P(A)=O或P(B)=O(2)设A, B为两事件，则P(A-B)等于(C)A.P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)-P(AB)(3) 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞
3、销”，则其对立事件A为(D)A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”B.“甲乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”(4) 若A, B为两随机事件，且B A，则下列式子正确的是(A)A. P(A U B)=P(A) B. P(AB)=P(A)C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A)(5)设 P(AB) = a,P(A) = b,P(B)=c，则 P(AB)等于A. (a+c)c B. a+cTc. a + b - c d. (1 b)c(6)假设事件A和B满足P(B|A)=1,则(B)A. A是必然事件 b. P(B|A)=0C. A 二
4、B D. A B(7)设 0P(A)1 , 0P(B)1, P(A|B) P(A|B)=1 则(D)A. 事件A, B互不相容 B.事件A和B互相对立C.事件A, B互不独立D.事件A, B互相独.立8.对于任意两个事件代B,必有(C)A若AB -八,则代B一定独立；B若AB二：则A, B一定独立；C.若AB =:则A, B有可能独立；D若AB二：则A,B一定不独立;9.已知 P(B|A),P(B A) =4, P(AB)=1 3 -A1,4 B.1,33 7 3 5(D)4 丄,则P(A), P(B)的值分别为:7 5C.丄土 D.?315 35 10 5三解答题1 .设P(A) = p,
5、P(B) =q,P(AB) =r,求下列事件的概率：P(AU B),P(Ab), p(AUb),p(AB).解：由德摩根律有 P(A B) =P(AB) =1 - P(AB) =1 -r;P(AB) = P(B _AB) = P(B) _ P(AB) =q _r;P(A B) =P(A) P(B) _P(AB) =(1 _ p) q _(q _r) =1 r _ p;P(AB) =P(A_. B) =1_P(A) P(B)_P(AB) =1 _(p q_r).2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次， 命中率分别是0.6和0.5,现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。解：设事件A甲表示甲命中，
6、A乙表示乙命中，B表示目标被命中。P(A甲 B)二P(A甲 B)P(B)P(A甲)= 0.6P(A甲- A乙) = 0.6+0.5-0.6 0.5= 0.75(因为 A甲二 B,所以 A甲 B 二 A甲),目标被命中只要甲乙至少有一个命中即可，所以 P(B)=P(A甲- A乙)甲乙独立射击，所以 P(A甲 A乙 )=P(A甲 )P(A乙 )。3.设一枚深水炸弹击沉一潜艇的概率为 0.6,求释放4枚深水炸弹能击沉潜艇的概率。解：4枚深水炸弹只要有一枚射中就有击沉潜艇的可能，所以设B表示潜艇被击沉，A，i = 1,2,3, 4为第i枚深水炸弹击沉潜艇P（B） = P（ A） U A2 U人傀）=1
7、 一卩（人3人2人2九）=1 p（AAAA） =1 p（A）p（A）p（A）p（A4）=1 o.444某卫生机构的资料表明：患肺癌的人中吸烟的占 90%,不患肺癌的 人中吸烟的占20%。设患肺癌的人占人群的0.1%。求在吸烟的人中 患肺癌的概率。解：设A表示吸烟，B表示患肺癌。p（A B）=90%, p（A B）=20%,P（B）=0.1%.已知条件为 p（B A-p（AB= p（B）p（A|B）p（A） P（B）P（A|B） + P（B）P（A|B） 0.001X0.9一 0.001 0.9 0.999 0.25.设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0，1，2只残次品的概率 分别为0.8,
8、0.1, 0.1, 一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱， 经顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则购买，否则不买，求（1） 顾客购买此箱玻璃杯的概率。（2） 在顾客购买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。解：参考书上24页例4第二章随机变量及其分布练习题：1判断正误：（1） 概率函数与密度函数是同一个概念。（B）（2） 超几何分布在一定条件下可近似成二项分布。（A）(3)P()中的是一个常数，它的概率含义是均值。(A)(3)P(a ：X : b) =P(a b)。( B)(4) 若 X 的密度函数为 f(x)二cosx，贝S P(0 cX s) = fcostdt. (B)2选择题k(1
9、)若X的概率函数为P(X=k)=畤ZOMli,贝怙的值为(D)A、 B. - C.e D.e_，(2) 设在区间la,b I上，X的密度函数f(x) = s inx,而在la,bl之外,f(x) = 0,则区间la,b等于：(A)A. 0, B.0,二丨 C. ,0 D. 0,一 2 二 _ 2(3)若 X P( ),当 m=()时P(X 二 m)最大？ (A)A.，或 B-1 C. D. 三解答题(1)已知一批产品共20个，其中有4个次品，按不放回与有放 回两种抽样方式抽取6个产品，求抽得的次品数的概率分布。解：不放回抽样，次品数X -H (4,6,20)C kC6 乂P(X 二 k)二；6
10、16 ,k= 0,1,2,3,4.C20放回抽样，次品数X 7(6, 4)20P(X =k) =c61)k(4)6 = k =0,1,2,3,4 川 20.5 5(2)设X的分布律是p(x =-1)=*,P(X =1) = 1求它的分布函数。解:x ： 1,P(X ：x) =O,F(x) =0;1 一仁 x ：1,F(x)二 P(X zx)二 P(X 二-1) ;1 x,F(x)二 P(X ex)二 P(X = 1) P(X =1) = 1;9,x cO;1F(x) ，-仁 x ：1|21,x _1.(3)设连续型随机变量X的分布函数为0,x v0,F(x) = 、 2（2） P（xV （3）
11、 X的密度函数解：由分布函数的右连续性，函数的右极限值等于函数值有limF(x)=F(),所以 1 x * 2n二 Asin ,所以 A =1.2P（X ：6）JIf X二 二 二 二 16F(6F6S-2cosx,0 x ： ，f(x)=F(x) = 2卫,其它.I Ax 1兰x兰24设随机变量X的概率密度函数为f（x） =仁；仙 ,，求（1）常数A 0,其他3（2） P（- X ：-）（3） X的分布函数。解：由密度函数性质有=2A _ A =1,23 3 i 2 2 1 212P(1X 弋2)= 2 f (x)dx = LOdx+3xdx = 3X分布函数为：当x 叮时，F(x)二 P(
12、X :：: x) =0;r r x x2 1ox 1o 1当 1 x0求EY及DY。 解: EY - -1 P(Y1 13-1) 0 P(Y =0) 1 P(Y =1) - -1 P(X : 0) 1 P(X 0)2DY 二 EY2 - E2丫二(T)2 P(X 0) 12 P(X 0) - J)2 83 9(4)假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2,机器发生故障时 全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元，发 生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润为0元；发生 三次或三次以上故障就要亏损 2万元，求一周内期望利润是多少？ 解：设X表示出故障的次数，Y表示利润
13、。10, X = 05,X =1X B(5, 0.2), Y 二I 0,X = 22,3空X乞5EY =10 P(X = 0) 5 P(X =1) (-2)P(X =3) P(X =4) P(X 5)EY =10 氷C0O.2O.85 +5XC50.29.84 +(2)C；0.230.82 十。；。，。1 +C；0.250.8化简即可。(5)求乘客等候汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分钟发车，若乘 客不知发车的时间，在每小时的任一时刻随机到达车站， 时间的数学期望。解：设X表示乘客的到达时间，则 丫表示等候时间，10 - X,0 乞 X 乞 1030-X,10 XX U0, 60,
14、 Y 二55- X,30 X70- X,55 X1 30 1dx (30x) dx60 10 60第四章正态分布10EY 二 0 (10-x)1 6055(55 - x) dx (70 - x) dx = 1030 60 55 60 12练习题:1.判断题：:2 2、，. N (巴b),则巴称为正态分布的两个参数，且J _0,二2 0. (B)(2) 正态分布的密度函数是偶函数，其图象关于 y轴对称。(b)(3) 正态分布密度函数的图象对称轴由 决定，平坦度由、二2决定。(A)(4)P(a ：X 汕)八(b)(a); ( B)(5)若 X UN(5,1),Y_ N(5,1),则 X YUN(0
15、,2). ( B)2.选择题：(1) 若两个相互独立的随机变量 X和丫分别服从正态分布NJ和 N(1,1),则(B )。1 1A.P(X 丫 乞0) ; B.P(X 丫 乞1) ;2 21 1C.P(XYE0) ; B.P(XYE1) ;2 2(2) 已知xLn(4,t2)，则随厲的增大，P(X-H如，则 p(x auQ = (B ).a aA： B2 C. D.1 -2 23解答题(1)已知 XLN(8,0.52),求P(X 9), P(7.5 兰 X W10),P(X 8 兰1),P(X 9 0.5).解:9一8)：(2) =0.9772,0.5P(7.5 岂 X 乞10) =F(10)
16、F(7.5) = ： ：(10一8)小0.57.5 一8)0.5 )=门(4) 一门(_1) ： (1) = 0.8413,P(X -8 G) = P(X -80.5兰丄)=2(2)1=0.9544,0.5P( X 9 c 0.5) = P(0.5 c X 9 c 0.5) = P(8.5 c X c 9.5)也8)0.58.5-8、0.5 )1-0.8413 = 0.1587.（2）某地抽样调查考生的英语成绩（按百分制）计算，近似服从正态分布，平均成绩为 72分，96分以上的占考生总数的2.3%，求考生的英语成绩在60L84分之间的概率。解：设X表示考生的英语成绩，则 X - N（72,n2
17、），由已知有P（X 96） =0.023,则 P（X 乞 96） =1 -0.023 =0.977,X -72 96_72 24 24即P（ ）=门（）=0.977,查正态分布表知 2,所以二=12.要求CT CT CT CTP（60：X ： 84）P 60一 72 X - 7? 84 了彳 一 2 1 .0.682612 12 12第五章1.判断正误。（1） 总体是随机变量，样本也是随机变量，并且它们的概率分布完全相同。（A）（2） 样本来自总体，样本与样本，样本与总体之间都是相互独立的。（B）（3） 统计问题的核心是由样本估计总体，样本容量越大，估计越准确。（A）（4） 统计量是样本的函数
18、，但不是所有的统计量都是随机变量。(B)(5)样本均值与EX是相等的。(B)2.选择题。2(1) XsXzIHXn为来自总体N(* )的一个样本，已知，二2未知,则以下是统计量的是(A )nA.r Xi -X)2i 4n( Xi -X)2B.4n(Xi -X)D. vC2 XjXJKXn为来自总体N(0，1)的一个样本,x，S分别为样本均值和样本方差，则以下不正确的是(B)AnX N(0, n);nC. Xj2、2(n)i 土XB.t( n-1)S- 1 D.X、N(0,) n2(3)下列统计量服从 (n)分布的是：(D)A(n -用2n (Xi -X)2b. yC (n-1)32C.2 1,
19、S； (Xi-X)n i甘n、(Xi T2D.心(4) XXzlllX10 和 X1,X2|I(X9 是分别来自总体 N(1,4)和 N(2,9)的样 aS2 本，郡2分别是它们的样本方差，贝S常数a = ( C)时，统计量S22服从F(9,8)分布。A3 B.2 C.9 D.42 4 9(5)若 X 2(n),则 E(X2) =( C)则 1丫(D)A.1F(5,6)B.F(5,6)C.F(6,5)D.F(6,5)(8)设X |_t(n)(n 1),Y 二1xt，则(C )2 2AY、 (n) BY、 (n -1) C.Y 、F (n,1)D.Y、F(1, n)(9)设 X、N(0,1),Y
20、、N(0,1),则必有(C)AX - Y服从正态分布B.X2 Y2服从2分布C.x2与Y2都服从2分布D.X2服从F分布2 2A.3n B.2 n C.n 2n D.n n2(6) XXJHXn为来自总体N(,)的一个样本，X为样本均值,贝 y P(X4G( C)A.与二有关； B与有关； C与n有关； D.为一常数(7)设 X 2(6),Y 2(5),且 X,丫 相互独立,第六章参数估计1.判断题(1 )参数的点估计适用于总体分布已知但参数未知的情形。 A2参数的点估计由不用的估计法得到的估计量完全相同。 B3同一参数的矩估计量优于极大似然估计量。 B4无偏估计量的函数未必是无偏估计量。 A
21、5同一参数的矩估计量往往不唯一。 A6同一参数的两个估计量方差越小的越有效。 B2.选择题。（1）若1, 1, 1, 0, 1, 1是来自总体B（1,p）的观察值，则p的矩估计量是（D ）A.5d.6X1,X2川Xn是来自总体X的一个样本，且DX = , X,S2分别是样本均值和样本方差，则必有（D）A.S是二的无偏估计量 B.S是二的极大似然估计量C.X与S2相互独立 D.ES2 2（3）正态总体X的方差匚2已知，为使总体均值的置信度为1 的置信区间长度不大于L ,则样本容量n应取（D）2 _ 2 ,2 2 2 2 U0t4u-；二 U 厅L B.n 厂 C.n_L2 L2 L2 L总体X服
22、从（0门）上的均匀分布, 0未知，X1,X|Xn是来An 一.224u汕D.n (4)自总体X的一个样本，则二的矩估计量为：（B）A.XB.2X C.min X1, X2 |l|Xn D.max X1,X|Xn(5)总体 X 的分布律为 P(X =x) ,x = 0,1,211(，而 1, 2, 5, 7,x!A.4(6)8是来自X的观察值，则，的最大似然估计值为（C）23B.5 C. D.35X1,X2,X3是来自总体X的一个样本，DX =丁2，则以下无偏估计量中（B ）最有效。tX3C.-X1 -X2 -X36 3 21B.(X1 X2 X3)1 1 1D.X一X2 一 X34 4 23.
23、解答题(1 ) Xi,X2|(Xn是来自总体X的一个样本，其中总体有密度2f(x)= lF -x), (i )求未知参数的矩估计量0,其他(ii )判断矩估计量的无偏性(iii)计算估计量的方差解:(i)先求总体的一阶原点矩即数学期望月 2 r re 2 ,EX x 2 (v - x)dx x 2 dx -、o 甘2 $o h2_ 0 _ A _ 令 EX 二 X 即-=X，得 r =3X。3(ii ) E =E(3X) =3E(X) =3E(X) =3所以该估计量是无偏估计量。(iii)估计量的方差DX 二2 2 22 2 EX -E X x 2 L -x)dx -() ;0日2 )匕 18
24、DP)- - DX 92二 D(3X) =9D(X) =9n 2n(2)设总体X的概率密度为f(x)=(=?x-,0“x：1；其中二是未知10,其他参数，分别用矩估计法和极大似然估计法求 二得估计量。解：矩估计法求解，先求总体期望EX = J；x 6 +1)x&dx =(日 +1)J；x叫x 叩 +1)鸽|0 二暮, 令EX 二X即=1 =X，得2X 一1。+2 1 -x极大似然估计法：先写似然函数n nL(刃八(一 1)x,0 :：: Xi :：: 1,化简 L十 1)n(i xj71,i 1 7求对数似然函数nln L(R=In(r 1)n( Xi门=1 n(r 1)n In( Xifi 4n二 n ln( v 1)八 ln xiy求导并令导数为0d ln L(日) n 丄；. nln xi =0,dv 1 v i n解得 6 = _ -1.Tn Xii A(3)证明：在所有的无偏估计量 n工八GXi(其中a G =1)中，样本i A i A均值是最有效的。(此题不用掌握)证明：利用柯西-许瓦兹不等式有n n n n n n1=(7 Ci)2 =C 1 Ci)
