1、第 2 3卷第 3期 V o 1 2 3 四川教育学院学报 2 0 0 7年3月 J O URNA L OF S I C HU AN C OL L EG E OF EDU C AON Ma r 2 0 0 7 传染病的 S I 微分方程模型及稳定性分析 杜瑜(成都航空职业技术学院，成都6 1 0 0 0 0)摘 要：利用微分方程的基本知识和疾病传播的一般规律及人口守恒统计法则建立起 S I 与 S I R的传染病模 型 再运用微分方程定性理论的数学方法，重点对 S I 的传染病模型进行定性与稳定性分析，从而得 出相应情况下 的生态意义。关键词：模 型；稳定性；相轨线；阈值定理 T h e S
2、I D i ff e r e n t i a l E q u a ti o n Mo d e l o f E p i d e mi c s a n d I t s A n a l y s i s o f S t a b mt y Ab s t r a c t：T h i s p a p e r in t r o d u c e s a me t h o d t o e s ta b l i s h t h e SI e p i d e mi c a l mod e l a n d S I R e p i d e mi c a l mode l w i t h t h e b a s i c k
3、 n o w l e d g e o f d i ffe r e n t i al e q ua t i o n s，t h e g e n e r a l r u l es o f e p i d e mic s p r e a d i n g a n d s t a ti s t i c a l r u l e s o f p o p u l a t i o n c o n s e r v a t i o n Ap p l y i n g t h e q uali tat i v e t h e o r y o f d i ff e ren ti al e q u a t i o n s
4、t h e qu a li t a t i v e a naly s i s and s ta b i l i t y analy s i s o f t h e S I e p i d e mi c al mode l c a n b e d o n e T h e T e f 0 T e，the e c o-l o g i c a l 8 i g n j tic a n e e u n d e r d i ff e ren t s i t u a t i o n s i s o b t a i n e d Ke y w o r d s：m ode l；s ta b i l i ty；p h
5、 a s e t r a j e c t o ry；t h e t h e o rem o f t h r e s h o l d 中图分类号：0 1 7 文献标识码：A 文章编号：1 0 0 0-5 7 5 7(2 0 0 7)0 3-0 1 1 1-0 2 一、模型准备 1、S I 模型把城市人 口分为易感者(S)和已感者(I)两个集合，其人数比例分别记作：S(t)，I(t)。(即s(t)+I (t)=1)2、S I R模型把城市人口分为易感者(s)和已感者(I)和病愈免疫的移出者(包括死亡)的人 R(t)。(即 S(t)+I (t)+R(t)=1)我们知道疾病传播一般服从下列法则：法则
6、1 在所考虑的时期内，人 口总数保持在固定水 平 N。法则 2 易受传染者 S(t)人数比例的变化率正比于传 染病患者 I(t)与 S(t)人数的乘积。法则 3 由I(t)向 R(t)转变的速率与 I(t)成正比。二、S I 模 型 由上述疾病传播法则，不难得出传染病的数学模型 f=一 I s，s(o)=S 0 0 7 u=(1)l O 1=h i S c tI，I(o)=1 0 o 其中，s(o)、I(0)为初始状态，常数、称为传染率、移 除 率，其 值 均 大 于 零。令 叮：，吉=称 为 相 对 移 除 率。该方程无法求出 s和 I 的解析解，但可将、s(o)、I (0)取定某值后用 M
7、 A T L A B软件编程计算，从而得出 I(t)一S(t)的图形即相轨线。在相平面 s I 平面上，相轨线的定义域(s，I)D为 D=(S，I)l S 10，I I0，S+I 1 ，在方程(1)中消去 d t司 得到：d I=11，I l=I。，容 易 求 出 方 程 的 解 为：I=(s。+Io)一 s 言 n S o 在定义域 D内表示的曲线即为相轨线，如 图 1 所示。其中箭头表示了随时间 t 的增加 S(t)和 I(t)的变化趋势。图 I 定理 l(阈值定理)设 s(t)，I(t)是初值问题的解，如果 叮 s 0 1，当 t 一+时，I(t)先 增 加 达 到 最 大 值1 一 言
8、一 丽 1，此 时 s：吉，而 后 单 调 减 少 趋 于 零，s(t)是 一 个 单调减少函数，并且其极限 l i m S(t)垒s(+)，是方程 I n ，1一 S+=0 在(O，L)内的根(见图 1)。收稿 日期：2 o o 6 1 0-0 4 作者简介：杜瑜(1 9 7 4 一)，男，四川广安人，本科，讲 师，研 究方向：计算数学。1 1 1 维普资讯 http:/ 四川教育学 院学报 2 0 0 7年 3月 f 票=一 入 Is 一 8 s，s c。，=s。2 1 d I=一 I I(0)=I。0 一 其中k,O t,8均大于零，令 叮=，=为相对移除 Of 叮 率。以下对模型(2)
9、进行分析。我 们 在(s，I)相 平 面 上 考 察 轨 线。首 先 由 警=一 h IS 一8 S=一(入 I S+8 S)0 有 s(t)S o 再 由 方 程 =入 Is 一 =h I(S 一 吉)可 知，当 s。吉 时，有 d I 0 成 立，lit I(t)单调减少。当S。时由 S(t)单调减少可得存在唯一的 t。，使 s(t。)=1叮，因 此 有：0 t 0，llt J I(t)增 加，t t。后 崇 0，此 时 I(t)单 调 减 少，所 以 I(h)是 最 大 值。即在相平面上的轨线 I()在：时，I()为最大 值。显 然 方 程 组(2)的 轨 线 方 程 为：I(t)+ln
10、 击 =1 一 s 言 k()上式说明采取预防措施后，可以减少得病人数，并且 I (t)的最大值小于不采取预防措施时的最大值。令 D=(S，I)1 0S1，0 I(t)1，S+I=1 是一个 由 S轴到 I 转以及直线 S+I=1 所围成的三角形区域。对于方程组(2)，其轨线为：S=0，I=I o e I=0 S=S o e 一 o(o，0)点在(2)在 D上唯一的平衡点，并且点(0，0)是局部渐近稳定的，这是因为特征根一8及 一 均小于零。1 1 2 对于在直线 S+I：1 上 的所 有解 均有：一 一8 S0 所以，在 D内出发的轨线不会越出区域 D。令 D=(s，I)J 0 S 1，0I
11、(t)1，S+I=1 在上 I D u l a c 函 数B(s，I)l-，由D u la c 定 理知 在 上 不 存 在D 极限环，所以由 D上出发的轨线当 t 一+*时，必趋于平衡 点(O，0)。综上所述，我们得出如下定理。定理 2 对于初始问题(2)，区域 D是平衡点 0(0，0)的渐近稳定区域。定理3(阈值定理)设 s(t)，I(t)是初值 问题(2)的 解，如果 a S。1，当t 一+*时 I(t)增加到达最大值 I()，而后 单调减少趋于零。s(t)同时单调减少趋于零。3、在传染病流行之前，对易感染的人群进行有效的预 防可以使易感染的人数下降，从而达到防止传染病流行的 目的。4、
12、在传染病发生之后，立即对易感染的人群进行有效 的预防，同样可以使易感染的人数下降，从而减少得病人 数。此 种 情 况 下，如 果在 发 病初 期易 感 染的 人 数S。，那么疾病会很快被消灭。如果在发病初期易感染人数 s。一1，那么得病人数先增加，当其达到最大值 I()后，得 病人数逐渐减少而后疾病被消灭。此种情况下的最大值 I (吉)小 于 不 作 预 防 时 的 最 大 值 1 一 1 一 而1。5、经过一段时间以后。整个人群将趋于对该疾病具有 免疫力。三、S I R模型 由前述疾病传播的一般法则及人 口守恒定律，可得到 S I R的数学模型。f：一 h I S l d t I id I：h IS a I(3)I U【l 且 S 0 0，I o 0，R 0 0 方程组(3)是三维的，采取与(1)的同样讨论方法，只 须把第一个和第二个方程联立即可，同样得到与定理 1相 类似的阈值定理。参考文献：1 姜启源等 数学模型 M 高等教育出版社，1 9 9 3 2 张锦炎常微分方程几何理论与分支问题 M 北 京大学出版社，i 9 8 7 3 张芷芬等 微分方程定性理论 M 科学出版社，1 9 8 5 (责任编辑：刘舂林责任校对：林子)维普资讯 http:/
