1、高数高数三角函数变换cos(AB)=cosAcosB+sinAsinBcos(A+B)=cosAcosB+sinAsinBsin(AB)=sinAcosBcosAsinBsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsinAcosB=12sin(A+B)+sin(AB)sinxcosx=12sin2xsinAsinB=12cos(AB)cos(A+B)sin2x=12(1cos2x)cosAcosB=12cos(AB)+cos(A+B)cos2x=12(1+cos2x)cos2x=1tan2x1+tan2xsin2x=2tanx1+tan2xarcsinx+arccosx=2arctan
2、x+arccotx=2arctanx+arctan1x=2圆柱体积 V=r2h圆锥体积V=13r2h球体积V=43r3椭圆面积S=ab抛物线y2=2px交点坐标(p2,0)准线x=p2点到直线距离ax0+by0+ca2+b2第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点。可去间断点：间断点处左右极限存在但不等于该点函数值。f(x0+0)=f(x00)f(x0)跳跃间断点：间断点处左右极限存在但不相等。f(x0+0)f(x00)第二类间断点：间断点处左右极限至少有一个是重要极限limx0sinxx=1limx(1+1x)x=elimx0(1+x)1x=ex趋向于 0 时的等价无穷小sinxx tanx
3、x arcsinxx arctanxx 1cosx12x2ln(1+x)x loga(x+1)xlna ex1x ax1xlnan1+x1xn(1+bx)a1abx导数公式(ax)=axlna (logax)=1xlna(tanx)=sec2x (cotx)=csc2x (secx)=secxtanx (cscx)=cscxcotx(arcsinx)=11x2(arccosx)=11x2(arctanx)=11+x2(arccotx)=11+x2sin(ax+b)(n)=ansin(ax+b+n2)cos(ax+b)(n)=ancos(ax+b+n2)(1ax+b)(n)=(1)nann!(a
4、x+b)n+1ln(ax+b)(n)=(1)n1(n1)!an(ax+b)n积分公式dxx2a2=lnx+x2a2+Cdxa2x2=arcsinxa+Cdxx2a2=12lnxax+a+Cdxx2+a2=1aarctanxa+Cdxa2x2+b2=1abarctanaxb+csecxdx=lnsecx+tanx+ccscxdx=lncscxcotx+ca2x2dx=a22arcsinx2+x2a2x2+cx2a2dx=x2x2a2a22lnx+x2a2+c02sinnxdx=02cosnxdx=(n1)!n!2(n为偶数)02sinnxdx=02cosnxdx=(n1)!n!(n为奇数)02f
5、(sinx)dx=02f(cosx)dx0 xf(sinx)dx=20f(sinx)dx=02f(sinx)dx0 xf(t)dt0 xf(t)dt0af(x)dx=120a f(x)+f(x)dxaaf(x)dx=0a f(x)+f(x)dxfx(x,y),fy(x,y)在(x0,y0)连续z=f(x,y)在(x0,y0)可微 f(x,y)在(x0,y0)连续二重积分特点积分区域D 关于x轴对称Df(x,y)d=0f为y 的奇函数，即f(x,y)=f(x,y)Df(x,y)d=2D1f(x,y)df 为y的偶函数，即f(x,y)=f(x,y)积分区域D 关于y轴对称Df(x,y)d=0f为x
6、 的奇函数，即f(x,y)=f(x,y)Df(x,y)d=2D1f(x,y)df 为x的偶函数，即f(x,y)=f(x,y)积分区域关于原点对称Df(x,y)d=0f为x，y 的奇函数，即f(x,y)=f(x,y)Df(x,y)d=2D1f(x,y)df 为x，y的偶函数，即f(x,y)=f(x,y)函数展开式ex=1+x+12!x2+1n!xn=k=0nxkk!sinx=x13!x3+15!x5+(1)n11(2n1)!x2n1=k=0n(1)kx2k+1(2k+1)!cosx=112!x2+14!x4+(1)n1(2n)!x2n=k=0n(1)kx2k(2k)!ln(1+x)=x12x2+
7、13x3+(1)n11nxn=k=1n(1)k1xkk11+x=k=0n(1)kxk11x=k=0nxk多元函数极值：驻点(x0,y0)满足fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0且A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0)B2AC0时是最小值，A0时，(x0,y0)不是极值点。B2AC=0时，不能判断，需要另外方法讨论。一阶线性微分方程：y+p(x)y=q(x)公式法通解：y=ep(x)dxq(x)ep(x)dxdx+C二阶常系数线性微分方程：y+py+qy=0，特征方程：r2+pr=q=0=p24q0时，有两个相异实根r1r2，通解y=f(x)=C1
8、er1x+C2er2x=p24q=0 时，有二重根r，通解y=f(x)=(C1+C2x)erx=p24q0i不是特征根，y*=Acosx+Bsinxi是特征根，y*=x(Acosx+Bsinx)差分一般形：yt+1+ayt=f(t)，通解yt=C(a)tf(x)形式特解形式f(t)=Pn(t)Pn(t)为n 次多项式a+10，y=Qn(t)a+1=0，y=tQn(t)f(t)=Mbta+b0，y=Abta+b=0，y=Atbtf(t)=Mcost+Nsinty=Acost+Bsint渐近线x=a是垂直渐近线limxaf(x)=，必须是a左右都趋于无穷。x+时，y=b是水平渐近线 limx+f(
9、x)=bx+时，y=kx+b是斜渐近线 limx+f(x)x=k，且limx+f(x)kx=b在考察水平渐近线和斜渐近线时，也要同时考察x时的情况。级数n=1Un收敛的必要条件是limn Un=0若级数n=1Un收敛，任意添加括号不影响敛散性，去括号会有影响。n=0aqn，当q1时收敛，当p1时发散。正项级数审敛法之一：比较判别法n=1Un和n=1Vn为正项级数，且limxVnUn=A当0A+时，n=1Un和n=1Vn有相同的敛散性。当A=0时，n=1Un收敛，则n=1Vn收敛；n=1Vn发散，则n=1Un发散。当A=+时，n=1Vn收敛，则n=1Un收敛；n=1Un发散，则n=1Vn发散。正
10、项级数审敛法之二：比值判别法limn Un+1Un=p当p1时，级数n=1Un发散当p=1时，比值判别法失效交错级数n=1(1)nUn级数审敛莱布尼斯判别法若满足UnUn+1，即Un单调减少，且limn Un=0，则收敛。幂级数收敛半径l=limnan+1an或l=limnnanR=1l，0l1时收敛，当q1时发散线性代数线性代数A为 n 阶矩阵，A可逆A0r(A)=nAx=0只有零解A与单位矩阵 E等价A的特征值全不为 0A的行/列向量组线性无关A是mn矩阵，b为 m维列向量，Ax=b对于任何b 总有解bRm，常数C1,C2,Cn，使(a1,a2,an)(C1C2Cn)=bA的列向量a1,a
11、2,an可以表示任一m维列向量nm矩阵B，使AB=E向量组a1,a2,an与1=(100),2=(010)n=(001)等价向量组秩r(a1,a2,an)=r(A)=mA行向量线性无关范德蒙行列式1111x1x2x3xnx12x22x32xn2x1n1x2n1x3n1xnn1=1 jin(xixj)kA=knA AB=AB A*=An1 A1=A1(kA)*=kn1A*A*=AA1(A*)1=(A1)*=AA(A*)*=An2A(An)1=(A1)n(kA)1=1kA1(AB)1=B1A1(A1)T=(AT)1(A*)T=(AT)*(kA)T=kAT(AB)T=BTAT(A+B)T=AT+BT
12、 AA*=A*=AEA=(abcd)的伴随阵A*=(dbca)即主对角线互换，副对角线变号。A0*B=A*0B=AB，0AB*=*AB0=(1)mnAB(B00C)n=(Bn00Cn)(B00C)1=(Bn00C1)(0BC0)1=(0C1B10)r(A*)=n，若r(A)=nr(A*)=1，若r(A)=n1r(A*)=0，若 r(A)n1A经过有限次初等变换为 B，则A，B等价A，B 为同型矩阵mn，且r(A)=r(B)存在可逆矩阵P，Q，使A=PBQ（注意，即使AB为n 阶方阵，未必有A=B）A，B是 n 阶矩阵，存在可逆矩阵P，使 P1AP=B，则A、B相似，ABEA=EB，即 A、B有
13、相同的特征值i=1naii=i=1nbii，即 A、B有相同的迹r(A)=r(B)A=BA、B是 n 阶实对称阵，若存在可逆矩阵C，使CTAC=B，则A、B合同。记为AB实对称阵AB AB二次型xTAx与 xTBx 有相同的正负惯性指数r(A)=r(B)A是mn阶矩阵Ax=0有非零解r(A)n。即，若mn，则必有非零解。Ax=b有唯一解r(A)=r(A)=nAx=b有无穷解r(A)=r(A)nAx=b无解r(A)+1=r(A)b不能由A列向量线性表出基础解系三条件1.向量组a1,a2,as是方程组的解2.向量之间线性无关3.向量个数s=nr(A)两个向量组可以互相线性表出，则两向量组等价。若向
14、量组（I）可由向量组（II）线性表出，且r(I)=r(II)，则（I）（II）等价。A 为 n阶矩阵齐次方程 Ax=0非齐次方程 Ax=bA0只有零解有唯一解A=0有非零解无解或者多解向量组a1,a2,as线性相关(a1a2as)(x1x2xs)=0有非零解r(a1,a2,as)0是必要条件）A的顺序主子式全大于零（aii0是必要条件）存在可逆矩阵C，使得A=CTC对于二次型A，r(A)=正、负惯性指数之和概率概率分布参数定义域分布率期望方差0-1 分布P1，0pkq1kppq二项分布（B）n，p0,1,nCnkpkqnknpnpq几何分布p1,2,pqk11pqp2超几何分布n，N，MCMk
15、CNMnkCNnnp（p=M/N）npqNnN1柏松分布（P）0自然数kk!e均匀分布（U）a，b（a，b）1baa+b2(ba)212指数分布（E）(0,+)ex112正态分布（N）,(,+)12 e(x)222标准正态分布=0,=1(,+)12ex2201A，B不相容P(AB)=0，即AB=A，B独立P(AB)=P(A)P(B)切比雪夫大数定律（注：所有大数定律都要求样本相互独立）limn P1ni=1nXi1ni=1nEXi=1 EXiDXi存在，且DXi有上限伯努力大数定律limn P1ni=1nXiP=1 Xi为参数P的的 0-1分布辛钦大数定律limn P1ni=1nXi=1 Xi
16、同分布同期望，EXi=列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）limnP1n(i=1nXin)x=(x)，即i=1nXinn=1ni=1nXi/nN(0,1)(x)是标准正态分布，=DX拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为其极限分布）limnPYnnpnp(1 p)x=(x)，即Ynnpnp(1 p)N(0,1)X=1ni=1nXi S2=1n1i=1n(XiX)2=1n1i=1n(Xi2nX2)E(X)=E(Xi)=D(X)=D(X)n=2n E(S2)=D(X)=2设X N(0,1)，Y2(n)，则t=XYn t1a(n)=ta(n)t2F(1,n)X2(n1)Y2(n2)，则F=X/
17、n1Y/n2，记为F(n1,n2)FF(n1,n2)1FF(n2,n1)F1a(n1,n2)=1Fa(n2,n1)设X N(0,1)X N(,2n)X/n=n(X)N(0,1)12i=1n(Xi)22(n)(n1)S22=i=1n(Xi X)22(n1)X/n(n1)S22/(n1)=X/nS=n(X)St(n1)n(X)2S2F(1,n1)X与 Y 不相关Cov(X,Y)=0 EXY=EXEY D(X+Y)=DX+DYP(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)柏松积分：柏松积分：+et2dt=函数：函数：(a)=0+xa1exdx(12)=
18、(a+1)=a(a)(n)=(n1)!(1)=1方差：D(X)=E(X2)E(X)2协方差：Cov(X,Y)=E(XEX)(YEY)=E(XY)EXEYD(X Y)=DX+DY2Cov(X,Y)相关系数XY=Cov(X,Y)DXDY柏松定理：设 X 符合参数为 n，p的二项分布，即X B(n,p)，当n充分大而p 充分小，且np大小适中时，X近似服从参数为=np的柏松分布。槺-拉定理：设 X 符合参数为 n，p的二项分布，即X B(n,p)，当n充分大时，X近似服从参数为np，npq 的正态分布，即X N(np,npq)连续型随机变量函数的分布的求法，Y=g(X)定义法：FY(y)=PYy=P
19、g(X)=y=g(x)yf(x)dx fY(y)=FY(y)公式法：要求Y=g(X)严格单调，fX(x)处处可导fY(y)=fXh(y)h(y)yfY(y)=0其他h(y)是g(x)的反函数卷积公式：Z=X Y fZ(z)=+f(x+z,x)dx，若独立，则fZ(z)=+fX(x+z)fY(x)dx注意：注意：卷积公式形式很多，总体思想是，将X、Y 其中一个变量用Z表示，对剩下的变量在整个定义域内做积分。公式中的积分区域虽然是(,+)，但实际使用公式时，应根据实际的定义域进行积分。边缘分布函数：设(X,Y)f(x,y)FX(x)=PX x=P Xx,Y+=F(x,+)=x+f(x,y)dydx
20、fX(x)=+f(x,y)dy fY(y)=+f(x,y)dxfX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x)X符合参数为的柏松分布，则Y=kX符合k的柏松分布。即，X P()且Y=kX YP(k)分布可加性：条件：X，Y相互独立X B(n,p)YB(m,p)，则X+YB(m+n,p)X P(1)YP(2)，则X+YP(1+2)X N(1,12)YN(2,22)，则 aX+bY N(a1+b2，a212+b222)X 2(n)Y2(m)，则X+Y2(n+m)当X，Y 不相互独立时，正态分布相加结果：X N(1,12)YN(2,22)aX+bY N(a1+b2，a212+b222+2ab12)对于二维正态分布，不相关等价于相互独立。F(x)为分布函数的充要条件：1.F(x)单调不减，且右连续2.limxF(x)=0 limx+F(x)=1f(x)为概率密度的充要条件：1.f(x)02.+f(x)=1X，Y相互独立F(x,y)=FX(x)FY(y)f(x,y)=fX(x)fY(y)矩估计法：样本矩=总体矩，即1ni=1nXil=E(Xl)最大似然估计：X1,X2,Xn为来自总体 X的样本，X1,X2,Xn相互独立，则，联合分布概率密度为2,L()=L(X,Xn,)=i=1nf(Xi,)的最大似然估计值为，使L()取得最大值时的值。
