1、第4 8 卷第7 期西安交通大学学报V 0 1 4 8N o 72 0 1 4 年7 月J o U R N A Lo FX I A NJ I A o T o N GU N I V E R S I T YJ u I 2 0 1 4D O I：1 0 7 6 5 2 x j t u x b 2 0 1 4 0 7 0 1 3采用李雅普诺夫函数的电液伺服系统反馈线性化控制俞珏，庄健，于德弘(西安交通大学机械工程学院，7 1 0 0 4 9，西安)摘要：针对电液伺服系统的参数时变、强非线性，致使传统控制算法难以实现高精度高稳定性的位置输出的问题，提出了一种采用李雅普诺夫函数(L y a p u n o
2、 v)的反馈线性化控制器。该控制器通过反馈线性化方法将电液伺服系统的位置输出控帝J 在预定轨迹上，使系统满足准确性、快速性的要求。针对液压系统中的油液体积弹性模量参数存在着较大的不确定性且难以在线测量、不精确的参数将削弱反馈线性化的控制效果甚至导致系统失稳的问题，采用L y a p u n o v 直接法对反馈线性化控制器进行再设计。通过系统的综合误差构建形式简单的L y a p u n o v 函数，进而给出最优参数估计值的取值方法，且满足L y a p u n o v 函数的导函数为非正定，从而保证了整个系统的渐进稳定性。仿真结果表明，改进的反馈线性化控制器能够很好地兼顾控制精度和系统的鲁
3、棒性，获得较好的控制效果。关键词：李雅普诺夫函数；电液伺服系统；反馈线性化；参数时变；体积弹性模量中图分类号：T P 2 7 3文献标志码：A文章编号：0 2 5 3 9 8 7 X(2 0 1 4)0 7 一0 0 7 卜0 6F e e d b a c kL i n e a r i z a t i o nC o n t r o lf o ra nE l e c t r 俨H y d r a u l i cS e r V oS y s t e mU s i n gL y a p u n o VF u n c t i o n sY UJ u e，Z H U A N GJ i a n，Y UD
4、e h o n g(S c h 0 0 1o fM e c h a n i c a lE n g i n e e r i n g，x a nJ i a o t o I l gU n i v e r s i t y，X i a n7 1 0 0 4 9。C h i n a)A b s t r 北t：Af e e d b a c kl i n e a r i z a t i o nc o n t r o l l e rf o ra ne l e c t r o-h y d r a u l i cs e r v os y s t e mt h r o u g hu s i n gL y a p u
5、n o vf u n c t i o n si sp r o p o s e dt os o l v et h ep r o b l e mt h a tp o s i t i o no u t p u tw i t hh i g h p r e c i s i o na n dh i g h s t a b i l i t yi sd i f f i c u l tt oo b t a i nf r o mt r a d i t i o n a lc o n t r o la l g o r i t h m sd u et ot h et i m e V a r y i n gp a r a
6、 m e t e ra n ds t r o n gn o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c so ft h es y s t e m T h ec o n t r o l l e ra p p l i e saf e e d b a c kl i n e a r i z a t i o nm e t h o dt od r i v ep o s i t i o no u t p u t st oap r e d e t e r m i n e dt r a j e c t o r y，m a k i n gt h es y s t e mr e
7、 s p o n s ea c c u r a t ea n dr a p i d S i n c et h eb u l km o d u l u so fo i li nh y d r a u l i cs y s t e mi sh i g h l yu n c e r t a i na n di t sp a r a m e t e r sc a n n o tb em e a s u r e do n _ l i n e，i n a c c u r a t ee s t i m a t i o no ft h ep a r a m e t e r sw i l lw e a k e
8、nc o n t r o lp e r f o r m a n c e so ft h ec o n t r o l l e ra n dm a ye v e nc a u s ei n s t a b i l i t yo ft h ec o n t r o ls y s t e m H e n c e，t h eL y a p u n o vd i r e c tm e t h o di sa p p l i e dt or e d e s i g nt h ef e e d b a c kl i n e a r i z a t i o nc o n t r o l l e r As i
9、m p l eL y a p u n o vf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e dt h r o u g hs y s t e mt r a c k i n ge r r o r s，a n dam e t h o di sg i v e nt oc a l c u l a t et h eo p t i m a lv a I u ef o rp a r a m e t e re s t i m a t i o n T h eo p t i m a le s t i m a t i o no fp a r a m e t e r sm e e t st
10、h er e q u i r e m e n tt h a tt h ed e r i v a t i v eo ft h eL y a p u n o vf u n c t i o ni sn o n p o s i t i v ea n dg u a r a n t e e st h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h es y s t e m S i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e d收稿日期：2 0 1 4 一0 1 一1 3。作者简介：俞珏(1
11、 9 8 6 一)，男，博士生；庄健(通信作者)，男，副教授。基金项目：国家自然科学基金资助项目(5 1 3 7 5 3 6 3)；西安市科技计划资助项目(C X l 2 5 0 4)。网络出版时间：2 0 1 4 一0 4 2 5网络出版地址：h t t p：w w w c n k i n e t k c m s d e t a i l 6 1 1 0 6 9 T 2 0 1 4 0 4 2 5 0 9 3 0 0 0 6 h t m l万方数据西安交通大学学报第4 8 卷c o n t r o l l e rh a ss a t i s f a c t o r yt r a c k i n
12、 gp e r f o r m a n c ew i t hh i g hc。n t r o la c c u r a c ya n ds t r o n gr o b u s t n e s st op a r a m e t e rv a r i a t i o n K e y w o r d s：L y a p u n o vf u n c t i o n；e l e c t r o h y d r a u I i cs e r v os y s t e m；f e e d b a c kl i n e a r i z a t i o n；t i m e v a r y i n gp a
13、 r a m e t e r；b u l km o d u l u s电液伺服系统具有功率一质量比大、动作平稳、传输距离远等优点，但也存在着很多不利于精确控制的特性，如强非线性、参数时变性和模型不确定性。传统的控制难以满足电液伺服系统高精度、高稳定性的要求，对此研究人员尝试了许多新型控制策略】4 ，其中滑模变结构和自适应控制的研究最为普遍，在实际应用中也取得了一定的效果，但这两者均有一定的局限性：滑模变结构控制设计过程复杂且难以消除抖振现象；自适应控制需要假设系统参数呈线性变化，这与实际相悖。反馈线性化方法可将一个非线性系统通过状态变换转化为一个线性系统，进而应用成熟的线性控制方法，近年来已经
14、被成功地用于解决一些实际控制问题 5 。本文以电液伺服系统的位置输出为控制目标，采用反馈线性化方法将系统的非线性模型线性化，然后通过配置控制器的参数将位置输出控制在预定轨迹上 6 。反馈线性化控制严重依赖于系统模型和参数的准确性，当液压系统参数发生变动时控制精度降低，鲁棒性减弱甚至失稳。因此，在反馈线性化控制中需要及时准确地测量系统状态。油液体积弹性模量表征液压油的可压缩性，直接影响液压元件和系统的固有频率和阻尼比，从而影响系统的稳定性和动态品质。由于温度变化和混入气体等原因，油液体积弹性模量存在着较大的不确定性、易变性且难以直接在线测量 7 ，其实际值和变化趋势难以用数学模型量化表示。若将油
15、液体积弹性模量视为恒定值，所得的仿真结果与实际控制结果往往存在较大的误差。为了提高电液系统的位置控制精度、快速性、稳定性和鲁棒性，需考察油液体积弹性模量变动对系统的影响 8 。现有文献除了寻求油液体积弹性模量在线测量和估计方法外争1 0 ，亦有采用模糊控制7|、鲁棒控制1 1 1 或奇异摄动理论口2 3 等来提高系统对油液体积弹性模量变动的鲁棒性，但以上控制算法往往需要较大的计算量，且存在系统形式限制的问题。本文在反馈线性化的基础上引入L y a p u n o v 直接法对控制器进行再设计。首先通过体积弹性模量的估计值来计算系统的实际输出和误差，针对系统的综合误差构建形式简单的L y a p
16、 u n o v 函数，再给出体积弹性模量参数的具体取值方法，使其满足L y a p u n o v 函数的导函数为非正定，从而保证整个系统的渐进稳定性，最后即可得到采用新参数的控制律。整个再设计过程简便、直观，易于实现。1电液伺服系统的数学模型电液伺服位置控制系统结构如图1 所示，它由电控部分和液压部分组成。电控部分负责采集系统状态变量并给出相应的控制量。液压部分是在电控控镧量A。：柱塞有效面积；z，：液压缸位移；z，：伺服阀阀芯位移；M，：活塞和负载折合到活塞上的总质量；B p：柱塞及负载运动中的黏滞摩擦系数；K。：负载弹性刚度系数；九：液压缸负载压力；F L：作用在柱塞上的外负载力图1电
17、液伺服控制系统示意图部分的控制下完成预定动作，其数学模型包括液压缸力平衡方程和流量方程。对称型液压缸的力平衡方程如下A，夕L=M P z p+B p z p+K p z p+F L(1)液压缸的流量方程如下1，A-王r+c t 户L+茜夕。一Q。(2)式中：c。为液压缸内泄漏系数；V。为缸腔及管道的总容积；展为体积弹性模量，其数值易变动且难以直接测量；Q。为液压缸的负载流量Q L：c。伽丝王塑亟丝 l 2(3)Lp_ J其中：C d 为伺服阀流量系数；硼为阀口面积梯度；J D为液压油密度；p。为供油压力；s i g n()为符号函数；z，为伺服阀阀芯位移，与控制器输入电压信号“之h t t p
18、：w w w j d x b c nh t t p：z k x b x j t u e d u c n万方数据第7 期俞珏，等：采用李雅普诺夫函数的电液伺服系统反馈线性化控制间常被视为一阶微分方程，即r，王，+z，一K，“(4)式中：r，为伺服阀延时时间；K，o 为增益系数。以液压缸位置输出z。为控制目标，设定系统状态变量为工一 z l，z 2，z 3，z 4 T=z P，王p，户L，z，由式(1)(4)整理可得Z 12Z 2王。一一惫工，一急z。+急z。一是缸一一踮丑一磁施十兹函一而王。一铃(c 幽叫止警 1 2 一A-z z c t z。)z 4 K，Z 4o 十一“2 控制器设计(5)2
19、 1 反馈线性化控制器设计由式(5)可知电液伺服系统本质上是非线性的。传统P I D 控制器虽然原理简单、可靠成熟，但用于高精度控制液压系统则具有一定的局限性。针对式(5)中的非线性项，本文采用反馈线性化控制将其线性化。由于反馈线性化控制只能应用于光滑向量场，即被控非线性系统具有任意阶连续偏导数，故采用连续可微的S i g m o i d 函数替代式(5)中的符号函数得s i g n(础)S g m(础)一 秽(6)式中：艿 o 为S i g m o i d 函数的形状系数，S i g m o i d 函数的导数近似为o。假设系统在无负载条件下运行，即F。=0，可将系统改写为工=，(x)+g(
20、工)“(7)y J l(x)(8)式中各函数表达式如下，(j)一一惫z-一急z z+盒z。M p 却M p 却M p 工3铃(G 止学 l，2 一一c 丙)Z 4(9)g(工)一-ooo 坠 7(1 0)Lr vJJ l(工)一z 1(1 1)由式(9)(1 1)可得L g (x)=o；L g L f (工)=o；L E L 弘(工)一oL。L 弘(x)一6 展；L 弘(x)一口o+n 1 展+口2 镤式中6 一嵩黔。一警时(磊一惫)w，旷一畿 警w z 一最黔瞰。口2 _ 一粉w 2-等；s g 毗。)W o 一 户。一s g m(z 4)z 3 “2W 1 一(一K p z l 一B p
21、z 2+A p z 3)M pw z2 丧(势“旷s g m(订一A p z 2 一c t z 3)本文重点考察体积弹性模量参数对系统的影响，故将上述方程式表达成屡不同阶数项的形式。由上面的计算可知系统相对阶数为4，因此依据输入状态线性化判定条件5 3 可将系统进行反馈线性化。系统输出可表达为j，“一L 扣(工)+L。L J l(工)“一日。+口l 展+n 2 鹾+印。“(1 2)假设液压系统不过载运行，即s g m(z。)丁。o 均成立。为消除系统的非线性部分，控制器“可选择为“一去可一n。一n 展一口z 镤)(1 3)式中：u 为一个待定的新输入口()一y+是3 P+忌2 P+点L；+是o
22、 P(1 4)式中：姐为系统期望输出；P 一姐一y 为系统输出误差。由式(1 2)(1 4)可将系统输出转化为y“一口一y，+志3 e+志2 P 姐+忌1；+忌o P(1 5)通过傅立叶变换可将式(1 5)改写为如下形式(s 4+是3 s 3+是2 5 2+忌1s+矗o)E(s)一0(1 6)合理选择式中系数量。、是。、是。、志。可保证特征方程户4+愚。p 3+忌2 户2 十毛，多+忌。一。所有的根都为负实数，或为具有负实部的复数，即保证了系统的稳定性。同时，合理的系数选择也可将系统的输出控制在预定轨迹上，控制结果不受系统非线性的影响，控制效果优于传统的P I D 控制。2 2基于L y a
23、p u n o v 直接法的控制器再设计体积弹性模量参数值展与混入空气量、工作压h t t p：w w w j d x b c nh t t p：z k x b x j t u e d u c n万方数据西安交通大学学报第4 8 卷力、温度、掺杂、油液类型等因素有关，目前在理论上并没有完善的计算模型，在实际应用中也难以在线实时测量。因此，展的确切值难以确定，只可通过经验知识来确定取值范围，即O o时庶一屉。i。即可满足不等式。(2)P。口2 O式(2 6)可转化为r(展)=展(厦一展)陋一嚣 o(2 8)当墅二!o 时r(众)一o，曲线图如图2 a 所示，庶一位为r 函数在庶正半轴的解，展一风
24、i。时满足ro；当坚 o 时r(众)一o，曲线图如图2 b 所示，r 函数曲线在众右半轴有两个解：展和堕字，r 函。口2 隗数在这两解之间取值为负。因此，当坚鹾。i。时，展可选择为陆当专藤。时，众可选择为陆。；当簇m i n 专 簇一时，难以确定两解的大小，此时展选择为负值即可满足r o，如展一一&试。八r 一rV 蔗|。V 庄(a)O 时n2d2图2r 函数曲线图(3)P。口2 0此时可将式(2 6)转化为r(展)一展(众一展)陋一寄po(2 9)1 1(众)曲线见图2 所示，同理可得厦的可行解：当兰孑商i。时，展一位。；当宅艮。时，忽一层m i n；当藤t。鼍 艮，时，展为艮；焦t n i
25、。h t t p：w w w j d x b c nh t t p：z k x b x j t u e d u c n万方数据第7 期俞珏，等：采用李雅普诺夫函数的电液伺服系统反馈线性化控制综上可将众的取值归纳如下展。，展。I n，届。-n，盘一 一鼬展。，簇。鼬i。已。n 2=0&e。(口。一u)Oe。口2=0&P。(口。一口)o&!号子屡商。口P。口。o&!字艮。口，。岛口：o&瞄。生型 艮。(3 0)“即：o&墅产陆口P。口。o&墅三!簇。“，P。口：o&p i。生二二!犀。，n 由式(2 8)可知当展取值较大时，r 痿，r 的符号由展决定，因此展的取值范围较大。众应当选择距离展可能取值
26、区间较近的参数值，兼顾系统的稳定性和准确性。3 仿真实验及结果分析利用M a t l a b 软件对所提出的控制算法进行了仿真研究，仿真中所用的系统物理参数标称值如下：A p 一2 1 0 3m 2，M p 一2 0k g，B p=2 1 0 4N s m，u 一5 1 0 _ 2n 1 3，c d 一0 6 9，叫=2m m，D=8 8 0k g m 3，r，一2 0m s，K。=1 1 0-2m V，K。一1 1 0 5N m，F l，一ON，C。一3 1 0-1 3m 5(N s)，度一9 0 0M P a，足“。一8 5 0M P a，屉。一9 5 0M 咿a，艿一3 0，A 一2 4
27、M P a。在系统参数无误差的条件下，将反馈线性化控制器与传统P I D 控制器应用于电液伺服系统位置控制中进行对比仿真，考察两种控制器在阶跃输入和正弦输入条件下的控制效果。阶跃输入仿真中输入信号幅值为o 1m，反馈线性化控制器所使用的参数为K 1 0 7【，A o 一8(1 0 7 c)3，A 1=8(1 0 7【)2，A 24 0 兀，是。一8(1 0 7 c)4，志l 一1 6(1 0 7 c)3，忌2 1 2(1 0 兀)2，忌。一5 0 7 c，P I D 控制器参数选择为是。一3 6，忌i一5 5，=o 5。正弦输入仿真中输入信号幅值为0 1m，频率为2H z，反馈线性化控制器所使
28、用的参数为K=4 0 丌，A o=8(1 0 7【)3，A l 一8(1 0 丌)2，A 2 4 0 兀，点。一3 2X(1 0 7 c)4，惫1 4 0(1 0 7 c)3，忌2 2 4(1 0 7 c)2，志。一8 0 7 c，P I D 控制器参数选择为足。一2 4，忌i一7 5，志。一o 5 5。两仿真中采样与控制周期均为o 1m s。控制结果分别如图3 和图4 所示。由图3 和图4 可知，在参数无误差条件下，反馈线性化控制能够将系统输出控制在由参数惫。、点，、时间s(a)液压缸位置输d(b)液压缸位置输出跟踪误差图3 反馈线性化与P I D 控制在阶跃输入下的响应时间s(a)液压缸位
29、置输d(b)液压缸位置输出跟踪误差图4 抗饱和补偿P I 控制器控制流程框图走。、点。确定的预定轨迹上，被控系统的超调量、调整时间和稳定误差等性能指标均优于P I D 控制器控制。为考虑系统参数误差对控制器的影响，将体积弹性模量参数展设定为变化量，如图5 所示。为考察标准反馈线性化控制器与改进的反馈线性化控制器在正弦输入条件下的系统响应，仿真中系统参数和两种控制器的控制参数与上述正弦输入所用的参数相同。标准反馈线性化控制器中使用的体积弹性模量参数为展一9 0 0M P a，而改进控制器使用式(3 0)获取有效参数值，如图6 所示。两控制器控制结果如图7 所示。由图7 可知，改进控制器能更好地适
30、应系统参h t t p：w w w j d x b c nh t t p：z k x b x j t u e d u c n万方数据西安交通大学学报第4 8 卷山茎认时间s图5 体积弹性模量参数&的变化时间s訇6 体积弹性模量参数估计值鼠的变化压缸位置输出-P l D 控制器时间s(b)液压缸位置输出跟踪误差图7 标准反馈线性化与改进控制器在正弦输入下的响应数突变。当体积弹性模量参数变化剧烈时获得的控制结果较标准反馈线性化控制器具有更小的超调量和控制误差。当参数估计值与实际值的偏差变大时，标准反馈线性化控制器控制效果明显变差。图8 显示了不同参数估计值对两种控制器控制效果的影响，仿真中实际体积
31、弹性模量参数&一9 0 0M P a，其他系统参数和控制器参数与上述仿真中所用参数相同。由图8 可知，系统参数的误差使得标准反馈线性化控制器的控制精度明显降低。在仿真中发现，当体时间，s图8 不同参数误差条件下两种控制器的控制效果积弹性模量参数&小于8 5 0M P a 或大于10 5 0M P a时，系统将失稳，而改进的反馈线性化控制器能很好地兼容控制精度和系统的渐进稳定性，从而获得了较好的控制效果。4 结论本文提出了一种消除电液伺服系统非线性的反馈线性化控制器，在系统参数无误差条件下可将系统输出控制在预定轨迹上，获得较好的控制效果。在此基础上，针对体积弹性模量参数存在误差的情况，采用L y
32、 a p u n o v 直接法改进了控制器，得到了保证系统渐进稳定的控制律，并给出了控制器构造及参数计算的具体步骤。相比于其他控制方法，本文方法具有思路清晰、计算简单等特点。仿真结果证明了该方法的有效性，以及在不同工作条件下可兼顾系统的稳定性和准确性，这对实现液压伺服系统的高精度位置跟踪控制有一定的帮助。参考文献：1 H 0TH，A I NKK S p e e dc o n t r o lo fah y d r a u l i cp r e s s u r ec o u p l i n gd“v eu s i n ga na d a p t i v ef u z z ys l i d i n
33、 g n l o d ec o n t r o l J I E E E A s M ET r a n s a c t i o n so nM e c h a t r o n i c s，2 0 1 2，1 7(5)：9 7 6 9 8 6 2 Y A 0B i n，B UF a n p i n g，R E E D YJ，e ta I A d a p t i v er o b u s tm o t i o nc o n t r o lo fs i n 9 1 e r o dh y d r a u“ca c t u a t o r s：t h e o r ya n de x p e r i m e n t s J I E E E A s M ET r a n s a c t i o n so nM e c h a t r o n i c s 2 0 0 0，5(1)：7 9 9 1 3 L I
