1、高中数学竞赛教材讲义 第十六章 平面几何2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第十六章 平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理 设分别是ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若则三点共线。塞瓦定理 设分别是ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，则塞瓦定理的逆定理 设分别是ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分别是ABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是广义托勒密定理 设ABCD为任意凸四边形，则ABCD+B
2、CADACBD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理 设P为ABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有AP2=AB2+AC2-BPPC.西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理 ABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且二、方法与例题1同一法。即不直接
3、去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例1 在ABC中，ABC=700，ACB=300，P，Q为ABC内部两点，QBC=QCB=100，PBQ=PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。证明 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为ACP=PCQ=100，所以，在ABP，BPQ，ABC中由正弦定理有，由，得。又因为P1，P2同在线段AQ上，所以P1，P2重合，又BP与CP仅有一个交点，所以P1，P2即为P，所以A，P，Q共线。2面积法。例2 见图16-1，ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为BPD的平分线。证
4、明 设A点到BE，DF距离分别为h1,h2，则又因为SABCD=SADF，又BE=DF。所以h1=h2，所以PA为BPD的平分线。3几何变换。例3 （蝴蝶定理）见图16-2，AB是O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。证明 由题设OMAB。不妨设。作D关于直线OM的对称点。连结，则要证PM=MQ，只需证，又MDQ=PFM，所以只需证F，P，M，共圆。因为=1800-=1800-=1800-。（因为OM。AB/）所以F，P，M，四点共圆。所以MDQ。所以MP=MQ。例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角
5、形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。证明 在平面上作两个同心圆，半径分别为1和1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A，B，C，D，E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1，B1，C1，D1，E1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为A1，B1，C1，则ABC与A1B1C1都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。4三角法。例5 设AD，BE与CF为ABC的内角平分线，D，E，F在ABC的边上，如果EDF=900，求BAC的所有可能的值。解 见图16-3，记ADE=，EDC=，由题设FDA=-，BDF=-，由正弦定理
6、：，得，又由角平分线定理有，又，所以，化简得，同理，即所以，所以sincos-cossin=sin(-)=0.又-3PG.证明 因为，又G为ABC重心，所以（事实上设AG交BC于E，则，所以）所以，所以又因为不全共线，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC3PG。6解析法。例7 H是ABC的垂心，P是任意一点，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求证：X，Y，Z三点共线。解 以H为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x轴和y轴，建立直角坐标系，用(xk,yk)表示点k对应的坐标，则直线PA的斜率为，直线HL斜率为，直线HL
7、的方程为x(xP-xA)+y(yP-yA)=0.又直线HA的斜率为，所以直线BC的斜率为，直线BC的方程为xxA+yyA=xAxB+yAyB,又点C在直线BC上，所以xCxA+yCyA=xAxB+yAyB.同理可得xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC.又因为X是BC与HL的交点，所以点X坐标满足式和式，所以点X坐标满足xxP+yyP=xAxB+yAyB.同理点Y坐标满足xxP+yyP=xBxC+yByC.点Z坐标满足xxP+yyP=xCxA+yCyA.由知，表示同一直线方程，故X，Y，Z三点共线。7四点共圆。例8 见图16-5，直线l与O相离，P为l上任意一点，PA，PB
8、为圆的两条切线，A，B为切点，求证：直线AB过定点。证明 过O作OCl于C，连结OA，OB，BC，OP，设OP交AB于M，则OPAB，又因为OAPA，OBPB，OCPC。所以A，B，C都在以OP为直径的圆上，即O，A，P，C，B五点共圆。AB与OC是此圆两条相交弦，设交点为Q，又因为OPAB，OCCP，所以P，M，Q，C四点共圆，所以OMOP=OQOC。由射影定理OA2=OMOP，所以OA2=OQOC，所以OQ=（定值）。所以Q为定点，即直线AB过定点。三、习题精选1O1和O2分别是ABC的边AB，AC上的旁切圆，O1与CB，CA的延长线切于E，G，O2与BC，BA的延长线切于F，H，直线EG
9、与FH交于点P，求证：PABC。2设O的外切四边形ABCD的对角线AC，BD的中点分别为E，F，求证：E，O，F三点共线。3已知两小圆O1与O2相外切且都与大圆O相内切，AB是O1与O2的一条外公切线，A，B在O上，CD是O1与O2的内公切线，O1与O2相切于点P，且P，C在直线AB的同一侧，求证：P是ABC的内心。4ABC内有两点M，N，使得MAB=NAC且MBA=NBC，求证：5ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF相交于点H，直线ED和AB相交于点M，直线FD和AC相交于点N，求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。6设点I，H分别是锐角ABC的内心和垂心，点B1，C1分别是
10、边AC，AB的中点，已知射线B1I交边AB于点B2(B2B)，射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于点K，A1为BHC的外心。试证：A，I，A1三点共线的充要条件是BKB2和CKC2的面积相等。7已知点A1，B1，C1，点A2，B2，C2，分别在直线l1,l2上 ，B2C1交B1C2于点M，C1A2交A1C2于点N，B1A2交B2A1于L。求证：M，N，L三点共线。8ABC中，C=900，A=300，BC=1，求ABC的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。9ABC的垂心为H，外心为O，外接圆半径为R，顶点A，B，C关于对边BC，CA，AB的对称点分别为
11、，求证：三点共线的充要条件是OH=2R。2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第十四章 极限与导数一、 基础知识1极限定义：（1）若数列un满足，对任意给定的正数，总存在正数m，当nm且nN时，恒有|un-A|f(a)且f(c)=m，则c(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。14Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在(a,b)，使证明 令F(x)=f(x)-,则F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在(a,b)使=0，即15曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x
12、I,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意xI,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设1,2,nR+，1+2+n=1。（1）若f(x)是a,b上的凸函数，则x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、方法与例题1极限的求法。例1 求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）=；（2）当a1时， 当0a1时， 当a=1时， （3）因为而所以（4）例2 求下列极限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)(|x|0且)。解 （1）3cos(3x+1).(2)
13、（3）（4）（5）5用导数讨论函数的单调性。例6 设a0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的单调区间。解 ，因为x0,a0，所以x2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a+1时，对所有x0，有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增；（2）当a=1时，对x1,有x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+)内递增；（3）当0a0，解得x2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)内单调递增，在(2-a+,+)内也单调递增，而当2-a-x2-a+时
14、，x2+(2a-4)x+a22x.证明 设f(x)=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0cosxf(0)=0，即sinx+tanx2x.7.利用导数讨论极值。例8 设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。解 因为f(x)在(0,+)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x(0,1)时，所以f(x)在(0,1上递减；当x(1,2)时，所以f(x)在1，2上递增；当x(2,+)时，所以f(x)在2，+）上递减
15、。综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。例9 设x0,y0,1，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。解 首先，当x0,y0,1时，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,当时，因为cosx0,tanxx，所以；当时，因为cosx0,tanx0，所以；又因为g(x)在(0,)上连续，所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0(1-y)xxg(x)，即，又因为，所以当x(0,),y(0,1)时，f(x,y)0.其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=时，
16、f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时，f(x,y)取最小值0。三、基础训练题1=_.2已知，则a-b=_.3 _.4_.5计算_.6若f(x)是定义在(-,+)上的偶函数，且存在，则_.7函数f(x)在(-,+)上可导，且，则_.8若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_.9函数f(x)=x-2sinx的单调递增区间是_.10函数的导数为_.11若曲线在点处的切线的斜率为，求实数a.12.求sin290的近似值。13设
17、0ba0时，比较大小：ln(x+1) _x.9.函数f(x)=x5-5x4+5x3+1,x-1,2的最大值为_，最小值为_.10曲线y=e-x(x0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，则S(t)的最大值为_.11若x0，求证：(x2-1)lnx(x-1)2.12函数y=f(x)在区间(0,+)内可导。导函数是减函数，且0，x0(0,+).y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程，另设g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),表示m；（2）证明：当x(0,+)时，g(x)f(x)；（3）若关于x的不等式x2+1ax+b在(0,+)
18、上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。13.设各项为正的无穷数列xn满足lnxn+,证明：xn1(nN+).五、联赛一试水平训练题1设Mn=（十进制）n位纯小数0只取0或1（i=1,2,n-1），an=1，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则_.2若(1-2x)9展开式的第3项为288，则_.3设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)0)，若对任意xln(3a),ln(4a)，不等式|m-f-1(x)|+ln0恒成立，则实数m取值范围是_.9.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x
19、)=xlnx,（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0ab，证明：0g(a)+g(b)-(b-a)ln2.10.(1)设函数f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0x1)，求f(x)的最小值；（2）设正数p1,p2,满足p1+p2+p3+=1，求证：p1log2p1+p2 log2p2+log2-n.11.若函数gA(x)的定义域A=a,b)，且gA(x)=,其中a,b为任意的正实数，且ab，（1）求gA(x)的最小值；（2）讨论gA(x)的单调性；（3）若x1Ik=k2,(k+1)2,x2Ik+1=(k+1)2,(k+2)2，证明： 六、联赛二试水平训练题1证明下列不等式：（1）；（2）。2当01.
