1、第三讲多边形的面积等积变形第三讲-多边形的面积(等积变形)第三讲 多边形的面积（等积变形）知识概述三角形面积的公式是底高2，两个三角形只要是底和高分别相等，它们的面积就相等，而这两个三角形的形状不一定完全相同，例如，下面的两个三角形面积就是相等的。在解答一些平面图形的面积时，我们可以2等底等高两个三角形面积相等的方法来解答。例题精学例1 四边形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，如果四边形ABCD的面积时80平方厘米，求阴影部分的面积时多少平方厘米。思路点拨 图中阴影部分BNDM是一个不规则的四边形，不能直接求出它的面积。如果用一条对角线BD将四边形ABCD分成两个三角形。（如右图所示
2、）。在 ABD和 BDC中，由于M，N分别是AB，CD的中点，根据等底等高三角形面积相等的道理，可知SAMD=SMBD，。所以阴影部分的面积与空白部分的两个三角形的面积之和相等。同步精练1. 如图，六边形的面积时平方厘米，分别是，的中点，求图中阴影部分的面积。2. 如图，平行四边形的面积为平方厘米，是期中任意一点，求阴影面积3. 如图，正方形的边长是厘米，H是所在边的二等分点，F，G，L，M是所在边的三等分点，求阴影部分的面积和。例2 如下图，三角形ABC为等边三角形，D为AB边上的中点。已知三角形BDF的面积为5平方厘米。求等边三角形ABC的面积。思路点拨 我们在三角形ABC的AC边上取中点
3、F，BC边上取中点G，然后连接DF，FG，GD（如右图）。我们看到，三角形ADF，BDG，FGC，GFD为四个完全一样的等边三角形。因为DE为DBG底BG上的高，所以SDBE=。由此，我们可以想到三角形的面积是三角形面积的倍同步精练1. 如图，平行四边形中，三角形的面积是平方厘米，平行四边形的面积时多少平方厘米？2. 如图，已知长方形，三角形的面积为平方厘米，三角形的面积为平方厘米，求阴影部分的面积时多少平方厘米？3. 如图，在一个等边三角形中任意取一点，连接，过点作三角形三边的垂线，分别为垂足。三角形被分成个三角形。已知三角形的面积为平方厘米，求图中阴影部分的面积。例下图中正方形的边长是厘米
4、，长方形的长厘米，问长方形的宽为多少厘米？思路点拨因为长方形面积长宽，现在已知长方形的长是厘米，要求宽的长度，就要求出长方形的面积。而正方形的面积可以求出，长方形的面积与正方形的面积有什么关系呢？观察长方形和正方形的重叠部分可以发现，如果连接，则三角形的面积既是正方形面积的一半，也是长方形面积的一半，这样就可以说明正方形的面积和长方形的面积相等。同步精练1. 如图，两个相同的直角三角形叠放在一起，求阴影部分的面积。（单位：分米）2. 如图，为长方形，厘米，厘米，分别为，的中点，且。求阴影部分的面积。3. 如图，是直角梯形，其中厘米，厘米，厘米，且三角形、四边形DEBF及三角形CDF的面积相等，
5、三角形EBF（阴影部分）的面积是多少平方厘米？例3 下图是两个正方形拼成的图形，其中小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。思路点拨 在上一讲我们曾经做过已知大、小两个正方形的边长再求图中阴影部分面积的题目。而现在只知道 小正方形的边长，又该如何求阴影部分的面积呢？如上图，我们可以连接AC，SAGC=GCAB2，SACE=CEAD2，GC和CE都是小正方形的边长，AB和AD都是大正方形的边长，所以SAGC=SACE。而这两个三角形分别去掉它们的共同部分（ACH），则它们剩下的部分也应相等，即SAGH=SCEH。这样原图中阴影部分就可以转化为GCE的面积，而SGCE等于小正方形面积的一半。同步
6、精练1. 如果下图中大正方形的边长是6分米，求阴影部分的面积。2. 如图，AD=2AB，CF=3AC，BE=4BC，已知ABC的面积为5平方厘米，求DEF的面积。3. 如图，AE=ED，AF=FC，已知ABC的面积为90平方厘米，求阴影部分的面积。 练 习 卷 1. 如图，在平行四边形ABCD中，EF与AC平行，如果三角形BFC的面积是35平方厘米，那么三角形AEB的面积能不能确定？如果能，它的面积是多少？ 2. 在三角形ABC中，AD垂直于BC，CE垂直于AB，AD=8厘米，CE=7厘米，AB+BC=21厘米，求三角形ABC的面积。 3. 如图，AB=6厘米，BC=4厘米，AC=2CD，BE
7、=BD，求三角形ADE的面积。 4. 如图，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的中点，AE的长是ED的2倍，求三角形CDE的面积。 5. 三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF的3倍，求三角形AEF的面积。 6. 下图中，正方形ABCD的边长是12厘米，P是AB边上任意一点，M,N,I,H分别是BC，AD的三等分点，E,F,G是CD的四等分点，求图中阴影部分的面积。 7. 正三角形ABC的边长为12厘米，BD，DE，EF，FG四条线段把它的面积5等分，求AF，FD，DC，AG，GE，EB的长。 8. 下图中，BD=2DC，AE=BE，已知三角形ABC的面积是18平方厘米，求四边形AEDC的面积等于多少平方厘米。
