1、李庆扬数值分析第五版第7章习题答案0824汇编第7章复习与思考题1什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？P213，若f(x) Ca,b且f(a)f(b) ：0，根据连续函数性质可知 f(x) = O在a,b内至少有一个实根，这时称a,b为f(x) =0的有根区间。2什么是二分法？用二分法求 f(x)=0的根，f要满足什么条件？P213一般地，对于函数 f(x)=0如果存在实数 c,当x=c时，若f(c)=0,那么把x=c叫做函数 f(x) =0的零点。解方程即要求 f(x) =0的所有零点。假定f (x) =0在区间(x, y)上连续，先找到a、b属于区间(x，y)，使f(a)f(b) 0，
2、说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f(a b)/2)，现在假设 f (a) 0, f (b) 0,a 时，迭代误差ek = xk - x *满足渐近关系式t C,C =const 式 0 e/则称该迭代过程是 p阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P1时称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。6什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。Xk 1 =Xkf (Xk)f (Xk)牛顿法:当| f (Xk)卜J时收敛。7什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差
3、别。 在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。 收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2计算量弦截法 牛顿法(减少了倒数的计算量)8什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？P229设已知方程f （x） = 0的三个近似根，Xk，Xk，Xk2 ，以这三点为节点构造二次插值多项式 p（x），并适当选取p2（ x）的一个零点Xk卅作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618，小于牛顿法2可用于所想是的实根和复根的求解。9什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。10.什么是求
4、解n维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导 数与计算函数值相当）11.判断下列命题是否正确：（1） 非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）（2） 牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）（3 ）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）（4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）（5 ）求多项式p（x）的零点问题一定是病态的问题（错误）（7） 二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）（8） 牛顿法有可能不收敛（正确）（9） 不动点迭代法Xk 1 =（Xk），其中八 （x*），若|（X*）卜：1则对任意处置x0迭代 都收敛。（对）（10） 弦截法也是不动点迭代
5、法的特例（正确）习题1、用二分法求方程x2_x-1=0的正根，要求误差:0.05。解令 f(x)=xX-1，则 f(0) = -1，f(2)=1，所以有根区间为 0,2 ；又因为，所以有根区间为1,2 ；f(1.5) =1.5 -1.5 -1 - -0.25，所以有根区间为 1.5,2 ；f(1.75) M752 -1.75 -1 =5 0，所以有根区间为 1.5,1.75 ；161f(1.625) =1.6252 -1.625 -1 0，所以有根区间为 1.5,1.625 ；64f(1_L) =(1_L)2 1_L1 =_旦 c0，所以有根区间为 V9 ,1.625 i；16 16 16 2
6、56 16 丿取 x、1 (1 9 15) J9 =1.59375 ,2 16 8 3219 1这时它与精确解的距离:(1.625 -1 9 ) = 1，所以迭代方法发散。2 8 383.比较求ex 10x 2 = 0的根到三位小数所需的计算量：1)在区间0,1内用二分法；2 )用迭代法Xk.1 =(2exk)/10，取初值X0 =0从而 X* = ( 23 93 ) = 185 = 0.090332，共二分 10 次。2 256 1024 20482 eXk 2 e 2 e0.12)使用迭代法 xk 厂 ，则治= -0.1 , x2 = .=0.0894829 ,10 10 1023f(23
7、e-141256 128：0,有根区间为_256,32f(：2)47= e512277256有根区间为蠢5：；f(931024)931024559512有根区间为国._256,1024 c 0.0894829 小 0.09063912 e 2 ex3 0.0906391 , x4 0.0905126 ,10 10即 x* =x4 = 0.0905126，共迭代 4 次。4.给定函数f (x)，设对一切x, f (x)存在且0 ： m乞f (x)岂M，证明对于范围0 ： 2/M内的任意定数,迭代过程xk d = x-：- f (xk)均收敛于f(x) =0的根*x。证明由 Xk 1 二 Xk -
8、 f(Xk)可知，令(X)二 X- f(X)，贝厂(x) = 1 一 f(x)，又因2为 0mf(x)EM , 0 k ，所以 1 沁(x) a -1，即 (x)| 1，从而迭代 M格式收敛。5.用斯特芬森迭代法计算第2题中(2)和(3)的近似根，精确到10出。斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。6.设：:(x)二x - p(x) f (x)-q(x) f (x)，试确定函数 p(x)和 q(x)，使求解 f(x)=0且以:(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。(3)抛物线法，取X0 =1必=3,x2 =2f(Xk)二Xk解1 ) Xk Xk - v 、f (Xk
9、)x；_3xk_1 2x3+13xk-32 x“2,3x： -3 Xi32 2 13 22 -3J7 =1.888889 ,9105555616.87945，迭代停止。Xk 1 二Xkf(Xk)2)(Xkf (Xk) - f (Xk)xk - 3xk - 1-3xk _ 1) _ (xk3xk J_1严)XkXkj(Xk - Xkj) - 12 2Xk XkXkj Xk-3Xi= 1.9, x21.9 2 (1.9 2) 1-2 21.9 1.9 2 2 -315.828.411582841= 1.881094X31582汉1.9沢( +1.9) +1841 841(1582)2 1582 1
10、.9 . 1.92 _3841 84129558143.42 8411582迭代停止。15822 1582 1.9 841 0.61 8412J026542442 =1.879411 5462043213) Xk 1 二 Xk _f (Xk).2 ，其中灼 士普4f (Xk)fXk,XkXk=f xk , xk 4 f xk , xkxk(xk - xk 4 ) , Xo =人 X1 = 3, X2 = 2f(X0)=-3 , f(X1)=17 , f(X2)=1 , f X0, X1 ：X1 X017 十0 ,3 -1fX2, X1戸f(X2)- f (xjX2 _X1一仃吨,2 -3fXo
11、,X1,X2】f X1,X2-fXo,X1X2 _Xo16 一10 =6 , 0 =16+6(2-3)=10 ,2-110 102 -4 1 6 21-1.9465745，下略。10 、768.分别用二分法和牛顿法求x-tanx=0的最小正根。解：0是函数的一个根，0二时，x单调递增，tanx单调递减，趋于负无穷。2在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于 -.2当x接近且大于二时，函数值为正，当x接近且大于时，函数值为负。因此,2 2最小正根区间为(二,),选择x仁2,函数值为-0.1850按二分法计算，略，x* =4.493424。按牛顿迭代法，其迭代公式为f(&) 轨ta nx/Xk
12、1 Xk Xk f (xk) (1-ctanxk )，取初始值 x=4.6，得 x 4.4934249.研究求/a的牛顿公式Xk1(xk a), X。.0,证明对一切k=1,2,，2 Xkxk _ a且序列x1, x2/是递减的。证:减的。10.对于f(x) =0的牛顿公式xk厂xk - f(xk)/f (xk)，证明r * * 、 . *Rk =(Xk -Xk)/(Xk丄XkR 收敛到- f (x )/(2 f (x )，这里 x 为 f (x) =0 的根。证:2 Rk =(& -Xk4)/(Xk4 -XkQ =-f (XkJ / f (Xk4) -(-f(X2)/f (Xk22 R 1
13、二区 1 -Xk)/(Xk -Xk _ -f (xj/f (xj(-f(x/f D2、211.用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14）计算方程f（x“ sinx2 的 一个近似根，准确到10，初始值Xo二二2xk 1 - xk - mf(Xk)f (xQ二 xksin XkXksinxXk k 2COSXk牛顿法（4.13）, m=2需要计算到 10出，取二=3.1415926。 x* =x=1.8955求重根迭代法(4.14)f (xQf (xQXk 1 二 Xk - 2f (Xk) - f(Xk)f (Xk)2(sin x 0.5x)(2(sin x 0.5x cosx 0.5 )注
14、：matlab编程计算得出的结果。12.应用牛顿法于方程x3 - a = 0 ,导出求立方根3 a的迭代公式，并讨论其收敛 性。3xk3Xk _ a Xk3Xk213.应用牛顿法于方程f(x) =1 一勒=，导出求 石的迭代公式，并求 J15的x值。3axk 2 -1 3axk - kI 2axk I 2a丿二 Xk=XkXk2aXk3 Xk3k 2 2ax = 1X1 =10.6522 令 X2 =10.7231x3 =10.7238x4 =10.7238f(Xk) Xkn aXk1讥f (兀厂忑一 nxL (n -1)Xkn an -1 aXk n4(n -1) Xkn(需-xQn -4n
15、xk2= lim字)k j-2(n a -Xk)nx：%a Xk十n nxk(n-1)= lim 一即严 = lim 厂k 2nnn ax： -(n 1)x： k 2nna-(n 1)Xk(n -1) _1 -2nn a -(n 1)n a 2n af(x1 xn 0的迭代公式f (Xk) 1 -aXk_Xk 1 = Xk Xk n 1f (Xk) naxk 一(n 1)aXk - -1n 1n axk -n 1 xkXkn nal n 厂(n +1)axk Xk _a - xk 1 na na a - (n 1)axk xklim 2 = lim 2 二 lim 2-kY(Va Xk) kY
16、 (aXk) j na(JaXk)-(n+1)a+(n+1)x： (n +1)(x： -a) (n +1)nx：-1=lim lim lim kY -2na(2a _xk) -2na(需一xk) 2nan A(n 1)a n n 1 二 2a na16.用抛物线法求多项式 p（x）=4x4 -10x3 1.25x 5x 1.5的两个零点，再利用降阶求出全部零点。在(0.4,0.7)t附近有一个解，构造一个不动17.非线性方程组 曲严2：0）3xj X2 X1 -d =0点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到 10（按* ：）X2 y2 = 1 T18.用牛顿法解方程组 2 y2 取x（0）= 161.2 TX 一讨 1解1 )使用二分法，令f(x)二ex10x 2，则f(0H -1， f (1) =e 8，有根区间为 0,11； f(0.5) =e0.5 3 0，有根区间为 0,0.5；f(0.25e0.25 0.5 0，有根区间为 0,0.25；f (0.125) =e0.125 -0.75 0，有根区间为 0,0.125】；1 - 13陀八宀訂-。.5605 有根区间为
