1、李庆扬数值分析第五版第5章与第7章习题答案复习与思考题1.用髙斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用髙斯消去法时，在消元过程中可能出现a： =0的情况，这时消去法无法进行：即 时主元素。：工0,但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入 误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证汁算的进行和计 算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选 择列主元消去法。2、髙斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？人要满足什么 条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分
2、解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个 为上二角矩阵U, 个为下二角矩阵L。用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2, n-1）不为零。3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限左下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具 有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳泄？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳泄的 算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优
3、的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见P53,符合3个运算法则。正定性齐次性三角不等式设X为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章pl65）11x11,= 1 1J-1H 丨11叫=（工斤卩1-17、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给岀矩阵A = （aij）的三种范数|M|n |2, | 州卜，|M|h与|州|2哪个更容易计算?为什么?向量范数定义见P162,需要满足四个条件。正泄条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有II All,II A II,IIA llx从泄义可知，IIA%更容易计算。8、 什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是
4、病态的？答：设A为非奇异阵，称数cond（A. =|A-，|i |A|. 3 = 1,2,s ）为矩阵A的条件数当sM（A） 1时，方程是病态的。9、 满足下而哪个条件可判窪矩阵接近奇异?（1） 矩阵行列式的值很小。（2） 矩阵的范数小。（3） 矩阵的范数大。（4） 矩阵的条件数小。（5） 矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（1）、（2）注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、 判断下列命题是否正确:（1） 只要矩阵q非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。答：错误，主元位垃可能为0,导致无法计算结果。（2） 对称正泄
5、的线性方程组总是良态的。答：正确。（3） 一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4） 如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决泄的。答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。（5） 如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6） 范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。（7） 奇异矩阵的范数一泄是零。答：错误，卜.可以不为-（8） 如果矩阵对称,则|州|1=|州|。答：根据范数的左义，正确。(9)如果线性方程组是良态的，则髙斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为0。(10)在求解非奇异性线性方程组时，即使系数
6、矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很 小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。(M) II如I讦答：根据范数的定义，正确。(12)若人是gx门的非奇异矩阵，则cond(A) = cond(A*)。答：正确。人是CXG的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。cond(A) = |A|e|A,|根据条件数的定义有： H , , , , ,cond(犷)=|A-1| |(A-)-1| = | 附 |-1| 州=|A|. |f |习题1、设A是对称阵且0,经过髙斯消去法一步后，A约化为 称矩阵。t n0 人 ,证明儿是对证明:气%211 12。12 。22所以a：=如a.所以A2为对称矩阵。
7、2、设A是对称正立矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为A = (aij，其中A = (av)n.证明：(1) A的对角元素勺0 (i = l,2,/)： (2) A?是对称正立矩阵；(1)依次取如=(00,0。,0几 心12宀 则因为A是对称正定矩阵, r所以有5 =xJ Ax 0 a(2)人中的元素满足a,)* VL- “ QJ-23y)，乂因为A是对称正定5矩阵，满足 5=6、7J = 1,2,，“，所以 ap = a；j = aa即儿是对称矩阵。3、设厶为指标为R的初等下三角矩阵(除第R列对角元以下元素外，厶和单位阵/相同), 即1 14 = mkk 1 山 1求证当i.jk时，-=1血
8、1也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中切为初等置换矩 阵。4、 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的讣算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩 阵。本题不推导。参见书上例题。P147页。5、 设Ux = d,其中为三角矩阵。（1） 就u为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2） 计算解三角方程组& = d的乘除法次数（3） 设为非奇异矩阵，试推导求的计算公式本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-l,.2时对应的求解公式。 解法，略。6、证明:（1）如果A是对称正定矩阵，则A也是对称正泄矩阵（2）如果q是对称正左矩阵，则A可以唯一地写成a = l!l，其中
9、厶是具有正对角元的下三角矩阵均是对称正泄矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组12x（ 3x2 +3x3 = 151/2 = 2/3x, =）、一0皿= 2-（-l/2）x2/3 = 5/ 610、用改进的平方根法解方程组本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P15710 7 23坷=宀=严= 6。X、下列矩阵能否分解为厶U （苴中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么 分解是否唯一。1 2 3I 1 r1 2 6A =2 4 1,B =2 2 1,c =2 5 154 6 73 3 16 15 46LU分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行LU分解当
10、且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或 U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同, 并且总是唯一的。即使矩阵不可逆.LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。 解：乘积，并且分解是唯一的。12.设0.6 0.54 -|_00.3_P计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。本题考查的是矩阵范数的左义及求法行范数 0. 6+0. 5=1. 1列范数 0. 5+0. 3=0. 82-范数的计算需要用到特征值，特征值的汁算可以使用幕法进行计算，也可以直接求。A A的最大特征值为
11、0. 3690所以2-范数为0. 6074F-范数 0. 842623、求证：(a)l4H1,|oo：根据定义求证。n闊L =哦曲 |4 =工闯s禽闯訥比。r-lu u J.J-1|4=4J)14、 设P G Rnxn且非奇异，又设忖为R”上一向量范数，宦义卜|“=|刊|。试证明卜|”是 R上向疑的一种范数。根据向呈:范数的定义来证明:要求就有正宦性，齐次性，三角不等式等性质。显網|礼=|刊|“，冋=|阳|斗咔制厂Ikl +对|卩=IP3 +兀2)| = IP勺+列i因为II卜maxgv* MlAf |y| 1max = max - = E II*寸叫刎 II細I所以得证17、矩阵第一行乘以一
12、数，成为A =22 Z，证明当A = -时，condA)x有最小值。1 1 3本题考查条件数的计算 cond(A)x=jAl 首先计算A的逆阵112当 3,取得最小值为2|a-,| =丄 + 2 IAI丘以I ，当 取值越大，则最小值为2从而cond(A)x =”aJL |A|L =( j +2)max3|/l|,2, 乂当 |2| (+ 2) 2 = 7 oA 2当恥I时，cond(A)x =( + 2)max(3|2|,2= ( + 2)-3|A| = 3 + 6|2| 7 z z7 9综上所述，cond(A) =7时最小，这时|2| =-,即2 = -o18、设人=詈 ，计算人的条件数c
13、ond（A）v W = 2,s）可得|A|： = |a|L = J19603 + V384277608 ,从而cw/J(A)2 =|a_,|州、=19603 + 7384277608 39206o卜|L =199 刑L =199 从而cond(A)x = |A_,|J|A|x = 199x199 = 39601 19、证明：如果A是正交矩阵，则co（A）2 = 1若A是正交阵，则|=屮，从而ata = / （川）7才=A4 =/ ,故|州2=|冋2=1，c（a）2=|a-*|2H2=1o20、设A, B已册”，且卜|为尺呵上矩阵的算子范数，证明: cond(AB) cond(A)cond(B)
14、cond(AB) = |(AB)-,|AB| = |忙才 |的| A，A为对称正泄矩阵：(2) condi.A1 A) = (cond(A)2)2 x（A!A）x = （Ax）rAx = b209所以A?A为对称正圧矩阵。z 八宀 Amax(/17 A) (S(A)2)，.A min( AA )由于屮A为对称正泄矩阵，所以A7A = AAr0(屮小2=|屮班|(屮小-1_ /2max(AfA)r(A7A)Amin( A7 A)( A7 A)7)UmaxaAA7 /(A A)/ 几 min(A47)(AA)则=2 max(A AA A) A min( AAr AAr)2 max( Az A) 2
15、min(A4;)=(cond(A)2)2复习与思考题1什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？P213,若/(x)eCa,b且/(a)/(b)vO,根据连续函数性质可知/(x)= 0在切内至少 有一个实根，这时称“为f(x) = 0的有根区间。2.什么是二分法？用二分法求/ = 0的根，/要满足什么条件？P213一般地，对于函数f(x) = O如果存在实数c,当x=c时，若/(c) = 0,那么把x=c叫做函数 f(x) = 0的零点。解方程即要求f(x) = 0的所有零点。假泄/(兀)=0在区间(x, y)上连续，先找到a、b属于区间(x, y),使/(a)/(b)0tab 果/(a+b)/
16、2)=0,该点就是零点，如果/(a+b)/2)0,则在区间a,(a+b)/2)内有零点，从开始继续使用中点函数 值判断。3这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间 的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。4从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。3.什么是函数(p(x) = 0的不动点？如何确N次x)使它的不动点等价于f(x)的零点P215.将方程/(a) = 0改写成等价的形式x = 0(x),若要求X*满足/(卅)=0,则小=俠卅)；反之亦然，称X*为函数0(x)的一个不动点。4.什么是不动点迭代法？
17、0(x)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于0(X)的不动点P215求/(尤)=0的零点就等价丁求0(x)的不动点，选择一个初始近似值心，将它代入x =(p(x) 的右端，可求得= 0(心)，如此反复迭代有=(p(xk),k =0,1,2 0(x)称为迭代函数，如果对任何xoea,b,由母+=0(玉),上=0,1,2,得到的序列母有极限lim. =x* ,则称迭代方程收敛，且x* =(p(x*)为仅x)的不动点，故称札1 =0,1,2,为不动点迭代法。5.什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定不+1 =0(X)(* =0,1,2,.)的收敛阶P219设迭代过程
18、无科=0(忑)收敛于X = 0(X)的根X*,如果当&T8时，迭代误差乞=兀-X*满足渐近关系式也 tC,C = coEHO则称该迭代过程是P阶收敛的，特别点，p=l时称为线性收敛，P1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。6.什么是求解f（x） = 0的牛顿法？它是否总是收敛的？若/（x*） = 0, X*是单根，/是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法：当l/glvl时收敛。7什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算呈与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2计算量弦截法牛顿
19、法（减少了倒数的计算疑）8.什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？P229设C知方程/（X）=。的三个近似根，L2 ,以这三点为节点构造二次插值多项式p（X）,并适当选取p2 （x）的一个零点+1作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线 法。抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.61&小于牛顿法2可用于所想是的实根和复根的求解。9.什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给岀具有二阶收敛的讣算重根方 法。10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标疑函数（计算偏导 数与讣算函数值相当）11.判断下列命题是否正确：（1） 非线性方程（或方程
20、组）的解通常不唯一（正确）（2） 牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）（3） 不动点迭代法总是线性收敛的（错误）（4） 任何迭代法的收敛阶都不可能髙于牛顿法（正确）（5） 求多项式p（x）的零点问题一泄是病态的问题（错误）（7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）(8)牛顿法有可能不收敛(正确)(9)不动点迭代法X如=0(兀)，其中卅=0(卅)，若10(卅)| 1则对任意处置xO迭代都 收敛。(对)(10)弦截法也是不动点迭代法的特例(正确)习题1、 用二分法求方程x2-x- = 0的正根，要求误差o,所以有根区间为(1.5,1.75)；/(1.625) = 1.6252 一 1
21、.625-1 = 0,所以有根区间为(1.5,1.625)；64/(I) = (1)2-1 -1 = -0,所以有根区间为fl ,1.625；16 16 16 256 16 丿1o 5 1Q取 / =-(1 + 1-) = 1 = 1.59375,216 8 321Q 1这时它与精确解的距离v丄(1.625-1)=丄v 0.05。216 322.为求方程x3-x2-l = 0在x0=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形 式，并建立相应的迭代公式：1)x = l + l/x，迭代公式“+ = 1 + 1/x；2)X、= 1 +亍，迭代公式xk+l =芋1 +兀；3)x2 = ,迭代公式和
22、=1/J忑一1 ；x-1试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似 值。解1)设 0(X)= l + -!y,则(p(X = ,从而 |(1 .5)| = I- = 1 ,所以x x I 1.5 I 27迭代方法局部收敛。 ? 二2) iS(p(x) = Vl + x2 ,则0(x) = ；x(l +，)3 ,从而 1 ,Vx-1 2 2所以迭代方法发散。4)设0(x) = Jx -1 ,则 (x) = |x2(a? -1) 2,从而11 3128323.比较求ex+0x-2 = 0的根到三位小数所需的计算量：1)在区间0,1内用二分法；2)用迭代法无+| =(2-八
23、)/10,取初值x0=Oo解1)使用二分法，令/ = ex+10x-2,则 /(0) = -1, /(l) = e + 8,有根区间为0,1： /(0.5)=严+30,有根区间为0,0.5； /(0.25)=严 +0.50,有根区间为0,0.25； /(0.125)=必 一 0.75 0 ,有根区间为0,0.125； /(丄)=戶_匕=_0.5605 0,有根区间为:32 Io L】6 32.5 39 .53/()=严V 0 有根区间为,64 32 L64 32有根区间为128 64荐47/(凹-)=心一三20,有根区间为512 256 -qq .2L. S5Q/(0,有根区间为 1024 512u 肩 1 z 23 93、 185
