1、齐次和非齐次线性方程组地解法整理定稿4线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ( A)= r n , 若 AX = 0 （ A 为 m n 矩阵）的一组解为 , , r, 且满足：12n(1), , r线性无关 ;12n(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称 1, 2, n r 为 AX = 0的基础解系 .称 Xk1 1 k2 2kn r n r 为 AX = 0 的通解 。其中 k1, k2, ,kn-r 为任意常数 ).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组A
2、X=0（ A 为m n 矩阵）满足 r ( A) n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的 充要条件 是 r ( A) n .（注： 当 mn 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A0 . ）注： 1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AXB 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AXO 所对应的同解方程组。由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：1当mn时， r ( A)mn ，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组
3、中未知量的个数（ ）大于方程的个数就一定有非零解；（ 2）当 mn 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A0 ；（ 3）当 mn 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的行列式A 0，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当 mn 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。1、求 AX = 0 （ A 为 m n 矩阵）通解的三步骤（1） A行C （行最简形） ;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0 的基础解系 , ,;12nr(3)写出通解 Xk1 1k2 2knr nr 其中 k1, k2, , kn-r
4、为任意常数 .542x13x2x35x40,3x1x22x3x40,【例题 1】 解线性方程组x23x36x44x10,x12x24x37x40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵23151247071014312143A13600167412470007 2643显然有 r ( A)4n ，则方程组仅有零解，即x1 x2x3x40 .解法二： 由于方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121x1x2 x3 x4 0 .A13327 0 ，知方程组仅有零解，
5、即461247注： 此法仅对n 较小时方便x1x2x3x4x50,3x12x2x3x43x50,【例题 2】 解线性方程组x22x32x46x50,5x14x23x33x4x50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵1 111 1r1( 5) r4111 1 1r2 r1r2r32113r1( 3) r2012263r2 ( 1) r4A122601226( 1) r2054331012261 0 1 1 50 1 2 2 60 0 0 0 00 0 0 0 0可得 r ( A) 2n ，则方程组有无穷多解，其同解方程组 为x1x3x45x5 , （其中 x3 ， x4 ， x5 为自由未
6、知量）x22x32x46x5.令 x31 ， x40 ， x50 ，得 x11, x22 ；令 x0 ， x1 ， x50 ，得 x1, x22 ；341令 x0 ， x0 ， x51 ，得 x15, x26 ，34于是得到原方程组的一个基础解系 为541 1 52 2 61 1， 2 0， 3 0.0 1 00 0 1所以，原方程组的 通解 为 X k1 1 k2 2 k3 3 （ k1 ， k2 ， k3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ Am n, r ( A) r ）用初等行变换求解，不妨设前 r 列线性无关c11 c12c1rc1nd1c22c2 rc2
7、nd2( A b)行crrcrndr其中cii0(i 1,2, , r ), 所以知dr 100(1)dr 1 0 时 , 原方程组无解 .(2)dr 1 0, r n 时 , 原方程组有唯一解 .(3) dr1 0, r n 时 , 原方程组有无穷多解 .其通解为 X0k11 k2 2kn r n r， k1 , k2 , , kn r为任意常数。其中：12nr 为 AX = b 导出组 AX = 0的基础解系，0 为 AX = b 的特解，, , 【定理 1】 如果 是非齐次线性方程组 AX=b的解， 是其导出组 AX=0的一个解，则 是非齐次线性方程组 AX=b 的解。【定理 2】如果
8、0 是非齐次线性方程组的一个特解， 是其导出组的全部解，则 0 是非齐次线性方程组的全部解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为：0C1 1C2 2Cn rn r其中：0 是非齐次线性方程组的一个特解，1 , 2 , , n r 是导出组的一个基础解系。【例题3】判断下列命题是否正确, A 为 m n 矩阵 .(1)若=0 只有零解 , 则有唯一解 .答: 错,因( )=,r()=n=r(A|b)?AXAX=br AnA(2)若=0 有非零解 , 则有无穷多解 .答: 错,因( ),r()=r(A|) ?AXAX=br AnAb5
9、4(3) 若 AX=b有唯一解 , 则 AX=0 只有零解 . 答 : 对 , r ( A)= r ( A | b) = n.(4)若 AX=0 有非零解 , 则 ATX=0 也有非零解 .答: 错,A为,( )=,r(T)=,这时T0 只有零解 .例如A为3 4,()=3 4,r(T)=3= .m n rA m nAmA X=R AAm(5)若r()=r= , 则必有解 .答: 对,r()=(| ) .AmAX=bA rm= rA b(6)若r()=r= ,则必有唯一解 .答: 错,A为, 当m n时 ,可以r(A|b) =n+1.AnAX=bm n 唯一解： r ( A)r ( A)n线性
10、方程组有唯一解x1x22x31,【例题4】 解线性方程组2x1x22x34,4x1x24x32.1121r(2)r21121解：A (AB)21 2403261(4)r34142r10346r3(1)1 0 01r211 0 0120306( 3)0102r3 2 r2r3(4 )r0 0 10001031x11,可见 r ( A)r ( A)3，则方程组有唯一解，所以方程组的解为x22,x3 0. 无解： r ( A)r ( A)线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现0dr 10 ，则原方程组无解）2x1x2x31,【例题 5】解线性方程组x12x2x32,x1x22x34.211112121
11、212解：A (AB)1212r1 r20333r2 r303 33，r1 2 r 21124r1 ( 1) r303360003可见 r ( A) 3r ( A)2 ，所以原方程组无解 . 无穷多解： r ( A) r ( A) n 线性方程组有无穷多解x1x2x32x43,【例题 6】解线性方程组 2 x1x23x41,2x12 x310 x44.5411123r1 ( 2) r211123解：A (AB)2 1 03 101 275202104r1 2 r30241410r22r31015201275r 2 1r1r 2(1)00000可见 r ( A) r ( A)24，则方程组有无穷
12、多解，其同解方程组 为x12x35x4 ,（其中 x3 , x4 为自由未知量）x252x37x4 .2令 x0, x0, 得原方程组的一个特解5.3400又原方程组的 导出组 的同解方程组为x1x35x4,（其中 x3 ,x4 为自由未知量）x22 x37x4.令 x1 ， x0 ，得 x1,x22 ；令 x0 ， x1 ，得 x5, x7 ，341341215于是得到导出组的一个基础解系 为2， 27。11001所以，原方程组的通解 为Xk1 1k2 2（ k1 ， k2R ） .2x1x2x3x41,【例题7】 求线性方程组：x12x2x3x42,的全部解 .x1x22x3x43.2 11 1 1r1r21 21 1 2r1 ( 2) r2解： A (AB)1 21 1 2r1(1)r3033 3311213011211 21 1 2r2(3) r31 033 4r2r3r2 ( 2) r101121r2(1)0112103333006365413r3 (3)1001r312230103r3(02)2r310011212可见 r ( A)r ( A)34 ，所以方程组有无穷多解，其同解方程组 为x113 x4 ,2x23（其中 x4 为自由未知量）x4 ,2x311 x4 .210令 x4 0 ，可得原方程组的一个特解.10x3 x,124又原方程组的 导出组 的同解方程组
