1、绪 论,教学目的和要求,通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误差,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。,主要内容,重点和难点,研究误差的意义,研究误差的意义,研究误差的意义,研究误差的意义,我们对自然界中所有的量进行实验和测量时，由于参与测量的五个要素：测量装置（或测量仪器）、测量人员、测量方法、测量环境和被测对象自身都不能够做到完美无缺，使得对该量的测量结果与该量的真实值之间就存在一个差异，这个差异反映在数学上就是测量误差。,一、误差的概念,1、血压计自身存在一个固有误差,温度误差 重力加速度误差,2、环境条件误差,要求测量者听、看
2、、读三者同步，实际测量时无法做到。,3、测量方法误差,由于人眼的分辨率最多只能读出分度值的110（通常是15），而给测量血压带来一个测量人员的读数误差；,4、人员读数误差,被测量者的血压值不仅受患者疾病因素的影响，同时还受被测量者的情绪、运动程度、测量时间等外界因素的影响，使被测量者的自身血压也在变化。,5、被测量者自身的血压的变化,误差公理：测量结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程之中。误差具有普遍性和必然性。,二、误差公理,第一章 误差的基本概念,教学目的和要求,通过本章内容的教学，使学生对误差的定义、表达方法、分类和误差来源等基本概念有一个系统全面的了解，为后续内容
3、学习打下基础。要求学生理解真值的概念，掌握误差最常用的表达方式，了解误差来源的分析方法，正确使用近似数的修约准则。,主要内容,一、测量的概念二、误差的定义及基本概念三、测量误差的来源四、误差的分类五、近似数的修约与运算,定义：以确定量值为目的的一组操作。,目的：确定被测量的值或获取测量结果。,第一节 测量的概念测量,定义：实现单位统一、量值准确可靠的活动。,单位统一指的是计量单位的统一。计量单位的统一，是量值统一的重要前提。,量值准确可靠表征的是测量结果与被测量量的真值的接近程度，准的定量描述用误差或测量不确定度。“准”是计量的核心。,计量,1、测量是一个广义的概念，测量包括计量。,2、计量是
4、一种特殊的测量。,计量仪器必须有计量检定合格证书。,计量人员必须持证上岗。,计量环境必须满足国家技术规范的要求。,计量方法必须按国家计量检定规程进行。,计量结果必须给出误差与测量不确定度的大小。,3、计量是测量的基础，又是最高层次的测量。,测量与计量的关系,测量的分类,直接测量,指通过直接测量与被测量有函数关系的量，通过函数关系求得被测量值的测量方法。,指被测量与该标准量直接进行比较的测量，指该被测量的测量结果可以直接由测量仪器输出得到，而不再需要经过量值的变换与计算。,用游标卡尺测量小尺寸轴工件的直径时，游标卡尺的读数即是被测工件的直径,间接测量,用游标卡尺测大尺寸轴工件的直径，因量程不够，
5、采用测量弦长与矢高的方法，间接得到工件直径,按测量结果的获取方式分类,指在测量过程中被测量可以认为是固定不变的。因此，不需要考虑时间因素对测量的影响,指被测量在测量期间随时间（或其他影响量）发生变化,静态测量,在日常测量中，大多接触的是静态测量。对于这种测量，被测量和测量误差可以当作一种随机变量来处理,动态测量,弹道轨迹的测量、环境噪声的测量等。对这类被测量的测量，需要当作一种随机过程的问题来处理。,根据被测量对象在测量过程中所处的状态分类,指在测量过程中，测量仪器、测量方法、测量条件和操作人员都保持不变。因此，对同一被测量进行的多次测量结果可认为具有相同的信赖程度，应按同等原则对待。,指测量
6、过程中测量仪器、测量方法、测量条件或操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权原则进行处理。,等权测量,不等权测量,根据测量条件是否发生变化分类,第二节 测量误差的定义及基本概念一、测量误差,测量结果x的值是由测量所得到的赋予被测量的值。广义上我们可以把测得值、测量值、检测值、实验值、示值、名义值、标称值、预置值、给出值等均看作是测量结果。测量结果是我们要研究的对象。,测量结果,真值定义为与给定的特定量的定一致的值。理论真值一般只存在于纯理论之中。,三角形内角之和恒为180,一个整圆周角为360,真 值,指定值、约定值、参考值或最佳估计值,是指
7、对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。,约定真值,约定真值,二、基本表示方法,x-a,特点：绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。单位给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。,适用于同一量级的同种量的测量结果的误差比较和单次测量结果的误差计算。,绝对误差,绝对误差,与误差绝对值相等、符号相反的值，一般用c表示。,在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储在仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。,修正结果 是将测得值加上修正值后的测量结果，这样可提高测量准确度。,在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公式的形式给出。,修正值,修正值,用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查
8、该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V，被测电压的修正值为5V，则修正后的测量结果为226+(5V)=221V。,【例1-1】,定义,特点,相对误差只有大小和符号，而无量纲，一般用百分数来表示。,相对误差常用来衡量测量的相对准确程度。,相对误差（relative error）,用1m测长仪测量0.01m长的工件，其绝对误差=0.0006m，但用来测量1m长的工件，其绝对误差为0.0105m。,前者的相对误差为 后者的相对误差为,用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度。,绝对误差和相对误差的比较,定义,引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即
9、标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。,引用误差,我国电工仪表、压力表的准确度等级（accuracy class）就是按照引用误差进行分级的。,当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为,绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限xm成正比,电工仪表、压力表的准确度等级,用有一块测量范围为0.1MPa0.1MPa，2.5级的压力真空表，在进行计量校准时，各示值点上最大允许误差是多少？解：该压力真空表在0.1MPa0.1MPa范围内各示值点上的引用误差不应超过2.5，则各示值点上允许误差的最大示值误差应为：2.50.1（0.1）0
10、.005（MPa）引用误差专用于仪器仪表误差的描述。,【例1-2】,为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。,第三节 测量误差的来源,以固定形式复现标准量值的器具，如标准电阻、标准量块、标准砝码等等，他们本身体现的量值，不可避免地存在误差。一般要求标准器件的误差占总误差的1/31/10。,测量装置在制造过程中由于设计、制造、装配、检定等的不完善，以及在使用过程中，由于元器件的老化、机械部件磨损和疲劳等因素而使设备所产生的误差。,测量仪器所带附件和附属工具所带来的误差。,测量方法误差,测量方法误差,测量环境误差,测量
11、人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。,为了减小测量人员误差，就要求测量人员要认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握测量规程，精心进行测量操作，并正确处理测量结果。,测量人员误差,用工具显微镜测量圆的直径。右图是这一测量的示意图。测量时，调整显微镜指标线同圆的两侧直径方向相切。理论上要求指标线调至同圆的影象相切，指标线压住或脱离影象均会产生测量误差。在指标线和影象相切的同时，估计读取指标线在刻度尺的位置a和b，则圆的直径dba。在上述测量过程中，用人眼二次瞄准相切，二次估计读数均受到人眼最小分辨能力的限制。因此，在该测量过程中，有二次对线瞄准误差
12、和二次估读误差。,【例1-3】,被测对象在整个测量过程中处在不断地变化中。由于测量对象自身的变化而引起的测量误差称为测量对象变化误差。,例如，被测光度灯的光度，被测温度计的温度，被测线纹尺的长度，被测量块的尺寸等，在测量过程中均处于不停地变化中，由于它们的变化，使测量不准而带来误差。下述的测量实例说明了这一点。,被测对象变化误差,分析误差来源注意事项,第四节 误差的分类,系统误差（systematic error）,用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差,用千分表读数时，表盘安装偏心引起的示值误差,刻线尺的温度变化引起的示值误差,在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数的重复测量的算术
13、平均值减去约定真值来表示，又称其为测量器具的偏移或偏畸（bias）。,由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。,系统误差举例,随机误差（random error）,随机误差的特征,粗大误差（gross error）,如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用它来测量某电源的电压时
14、必带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。,误差性质的相互转化,1若舍去部分的数值大于保留末位的0.5，则末位加1，（大于5进）；2若舍去部分的数值小于保留末位的0.5，则末位不变，（小于5舍）；3若舍去部分的数值恰等于保留末位的0.5，此时，若末位是偶数；则末位不变，若末位是奇数，则末位加1，（等于5奇进偶不进）。,第五节 近似数的修约与运算近似数的基本修约规则,修约必须一次完成，不能连续修约，如：1.327 4651.327 461.327 51.328（正确为：1.3274651.327）若数字舍入恰巧发生在合
15、格与否的边界数字上时，则要用（）或（）分别补充表明它们的数值大小。如1.291.3（），13.21.3（）。误差或不确定度的舍入最好一律采用增大的方式，即只进不舍。后面将提到的有效自由度的计算，则采用截断小数取整的只舍不进的算法。,规则使用说明：,定义：是指经过修约后所得的近似数从左边第一 个不是零的数字起到末位上的所有数字。一个近似数有n个有效数字，也称这个近似数为n位有效数。,意义：有效数字描述了近似数的近似程度。,有效数字,1它可能是有效数字，也可能不是有效数字，这取决于它处在近似数中的位置。当零处在第一个有效数字之前时，则零不算有效数字。例如，近似数0.003 86前面的三个“0”，均
16、不是有效数字。当零处在第一个有效数字之后，则均为有效数字。例如，近似数110.00和200.030中的所有“0”均为有效数字。2小数点以后的零反映了近似数的误差，不能随意取舍。例如，近似数100，100.0和100.00。这三个近似数在数值上是相等的，但是它们的误差是各不相同的，由舍入误差原理知，这三个近似数的误差绝对值分别不超过0.5，0.05和0.005。3在第一个有效数字之前的零则与误差无关。例如，近似数0.003 6的误差绝对值不超过 0.000 05，而近似数 0.36102的误差绝对值也不超过0.0051020.000 05。,在判断有效数字时，对于零这个数字有三点说明：,几个（不
17、超过10个）近似数相加或相减时，小数位数较多的近似数，只须比小数位数最少的那个数多保留1位。在计算结果里，应保留的小数位数与原来小数位数最少的那个近似数相同。,近似数的加减运算,求近似数 1648.0，13.65，0.0082，1.632，86.82，5.135，316.34，0.545的和。解：1648.013.650.00821.63286.825.135 316.340.5451648.013.650.011.6386.825.14 316.340.542 072.132 072.1,【例1-4】,在几个近似数相乘或相除时，有效数字较多的近似数，只须比有效数字最少的那个多保留1位，其余均
18、舍去。计算结果应保留的有效数字的位数，与原来近似数里有效数字最少的那个相同。,近似数的乘除运算,求 0.012 11.368 72的积。解：0.012 11.368 72 0.012 11.369 0.016 564 9 0.016 6,【例1-5】,对于近似数的乘方和开方运算可归纳为；在近似数乘方或者开方时，计算结果应保留的有效数字与原来近似数的有效数字的位数相同。,近似数的乘方和开方运算,乘方：求近似数5.32的平方解：5.32228.302 428.3开方：求 3.164 3的开方。解：1.778 847 9411.778 8,【例1-6】,第二章 随机误差,教学目的和要求,通过本章内容
19、的教学，使学生对误差的概念有一个感性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误差,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机误差的特征；掌握随机误差 特征值的确定方法；了解随机误差的分布；正确求解极限误差。,重点和难点,3-65,主要内容,随机误差系指测量结果与在重复条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。随机误差等于误差减去系统误差。因为测量只能进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的估计值。,第一节随机误差概述,随机误差是由人们不能掌握，
20、不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给测量带来误差。,第一节随机误差概述,例 题,举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允许范围为（202）。为此，测量在恒温室内进行，恒温室温度控制能力达到（200.5），满足测量要求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化中，围绕平均温度20有微小的波动，温度时高时低，变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法确定，因此造成随机误差。
21、,随机误差性质上属随机变量，其处理方法的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可用随机变量的数学期望（算术平均值）、方差（标准偏差）和置信概率等三个特征量来描述。,服从正态分布随机误差的特征,3-72,第二节 随机误差的分布,一、正态分布随机误差概率分布密度函数表达式为：,图24,数学期望 E（）0方 差 D（）2,标准偏差,均匀分布又称等概率分布，其概率密度函数为：,它的数学期望为：E（）0,它的方差为：,它的标准偏差为：,二、均匀分布,三、三角分布,三角分布的概率密度函数为：,3-75,数学期望：,E（）0,它的方差为：,它的标准偏差为：,四、反正弦分布,它的概率密度为：数学期望：E（）0
22、方差为：标准偏差为：,3-76,五、2分布,设随机变量X1，X2，X相互独立，且都服从标准正态分布N（0，1），则随机变量 的概率密度为,3-77,特征量为：,六、t分布,设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布N（0，1），Y服从自由度为的2分布，则随机变量的概率密度 t分布的主要分布特征量为：,3-78,（232）（233）,七、F分布,设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为与的2分布，则随机变量的概率密度为,3-79,第三节 算术平均值原理,在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值,作为测量结果的最佳估计。,一、算术平均值,算术平均值原理,若
23、测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值,因为,根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有,最佳估计的意义,若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性,满足最小二乘原理,在正态分布条件下，满足最大似然原理,该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小,该测量事件发生的概率最大,二、残余误差,3-83,由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为残余误差。在规定测量条件下，同一被测量的测量列x1，x2，xn有算术平均值：则称为残余误差。,残余误差
24、可求，又称实用误差公式。残余误差具有两个重要特性。（一）残余误差具有低偿性残余误差代数和等于零（二）残余误差平方和为最小,二、残余误差,一、单次测量的标准偏差,定理：同一被测量，在相同条件下，测量列xi（x1，2，n）中单次测量的标准偏差（也称单次测量的标准不确定度）是表征同一被测量值n次测量所得结果的分散性参数，并按下式计算：式中：n测量次数（充分大）；i测量结果xi的随机误差。,第四节 测量的标准偏差,例题,3-86,单次测量的标准偏差,3-87,0.2m,二、标准偏差的基本估计贝塞尔公式,定理：对同一被测量，在相同测量条件下，进行有限次测量得测量列xi（i1，2，n），则单次测量标准偏差
25、的估计值为：,3-88,实验标准偏差s的标准差,设在同一条件下，对被测量进行n1次等精度测量，得测量列xi（i1，2，n）。用贝塞尔公式即可求得单次测量标准偏差要s1。仍在该条件下，再进行n2次测量，同样又可得到单次测量标准偏差s2。我们发现，无论两次的测量次数n1和n2是否相等，而s1和s2不一定相等，这说明由贝塞尔公式计算所得的测量标准偏差，也存在误差。标准偏差s的标准偏差ss由下式确定，即,3-89,三、算术平均值标准偏差,如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此
26、分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。,3-90,最佳测量次数确定,当n10以后，已减少得非常缓慢。由于测量次数愈大，也愈难保证测量条件的恒定，从而带来新的误差，因此一般情况下取n10以内较为适宜。总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数。,3-91,例 题,已知测量的单次测量标准偏差s0.12（略去单位）。问在不改变测量条件的情况下，使被测量估计值的标准偏差达到0.04，需测量多少次？解：以算术平均值作为被测量的估计值，适当增加测量次数，以满足测量精密度的需要。可
27、得：即测量次数：（次）即对被测量进行9次以上重复测量，它们的算术平均值的精密度便可达到要求。,3-92,四、标准差的其他估计方法,3-93,1、极差法,若等精度多次测量测得值x1，x2，xn服从正态分布，在其中选取最大值xmax与最小值xmin，则两者之差称为极差,nxmaxxmin,根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为：,标准差的其他估计方法,3-94,故可得s的无偏差估计值，若仍以s表示，则有,特点：极差法可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般在n10时均可采用。,因,2、最大误差法,测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式,估算时的相对误差,在已知被测量的真值的情形，多次独
28、立测得的数据 的真误差，其中的绝对值最大,在只进行一次性实验中，是唯一可用的方法,标准差的其他估计方法,3、最大残差法,在一般情况下，被测量的真值难以知道，无法应用最大误差法估计标准差,最大残余误差 估计标准差,最大残差法不适用于n=1的情形,标准差的其他估计方法,第五节 极限误差,极限误差是指极端误差，是误差不应超过的界限，此时对被测量的测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差，不超过极端误差的置信概率为p，并使差值1pa可以忽略。此极端误差称为测量的极限误差，并以表示。极限误差的值可依据测量标准差、误差分布及要求的置信概率确定：或 K称为置信因子，是误差分布、自由度和置信概率的函数，
29、通常有表可查。,3-97,第三章 系统误差,教学目的和要求,通过本章内容的教学，使学生对系统误差的产生原因、特征和消除方法，有一个整体的 认识。要求学生清楚系统误差的产生原因、特点和分类方法；了解系统误差处理的原则，了解系统误差的发现方法；初步掌握定值系统误差和变值系统误差的减弱和消除方法。,主要内容,第一节系统误差概述,二、系统误差产生的原因,系统误差是有固定不变的或按确定规律变化的因素造成，这些因素是可以掌握的。测量装置方面的因素 环境方面的因素 测量方法的因素 测量人员的因素,计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。,测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中
30、的温度、湿度按一定规律变化的误差等。,采用近似的测量方法或计算公司引起的误差等。,测量人员固有的测量习性引起的误差等。,激光数字波面干涉仪的系统误差来源,三、系统误差的特征,四、系统误差的分类,根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性，将系统误差分为恒定系统误差和可变系统误差两大类。（一）恒定(定值)系统误差 恒定（定值）系统误差是指在整个测量过程中，误差的大小和符号始终是不变的。如千分尺或测长仪读数装置的调零误差，量块或其它标准件尺寸的偏差等，均为恒定系统误差。它对每一测量值的影响均为一个常量，属于最常见的一类系统误差。（二）变化系统误差 变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和方向
31、随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，其种类较多，又可分为以下几种：,四、系统误差的分类,线性变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素而线性递增或递减的系统误差。周期变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素作周期变化的系统误差。,四、系统误差的分类,复杂规律变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素变化，误差按确定的更为复杂的规律变化，称其为复杂规律变化的系统误差。如对于刻度盘或标尺的刻度误差，就全量程而言，属复杂规律性的系统误差。因为虽然对各刻度点的误差的大小和符号是确定的，但对整个量程的误差变化规律只能用实验曲线表出，属复杂变化规律。,各类特征系统误差图示,已定系统误差和未
32、定系统误差,指误差的大小和符号均已确切掌握了的，因此在处理和表征测量结果时，是属于可修正的系统误差。,指这类系统误差的大小和符号不能完全确切掌握的，因此在处理和表征测量结果时，是属于不可修正的系统误差。,五、系统误差的特点,第二节 系统误差对测量结果的影响,（一）定值系统误差的影响 设有一组常量测量数据 中分别存在定值系统误差 和随机误差，真值记为。则这组测量数据的算术平均值为：当子样定容n足够大时，随机误差 对 的影响可忽略不计，而定值系统误差 都完全反映在 之中，视 的符号而使有所增减。由上式可看出，不影响残差计算，因而也不影响标准误差的计算，即 并不引起随机误差分布密度曲线的形状及其分布
33、范围的变化，只引起分布密度曲线的位置变化（平移值）。,第二节 系统误差对测量结果的影响,（二）变化系统误差的影响 同样，计算一组测量数据的算术平均值：上式中 为变化系统误差。当子样定容n足够大时，随机误差 对 的影响可忽略不计，而变化系统误差 则以算术平均值 反映在 之中，视 的符号而使有所增减。由上式可看出，因 且其数值不易确定，故变值系统误差 直接影响残差 的数值，因此也必然要影响标准误差的计算，且其影响难于确定，即变值系统误差不仅使随机误差的分布密度曲线的形状和分布范围发生变化，也使曲线的位置产生平移。,第三节 系统误差的发现方法,一、计量检定,在计量工作中，常用标准器具或标准物质作为检定工具，来检定某测量器具的标称值或测量值中是否含有显著的系统误差。标准器具所提供的标准量值的准确度应该比被检定测量器具的要高出12个等级或至少高几倍以上。,现对被检量重复测量 次，假设测量服从正态分布
