1、求轨迹方程的常用方法及练习求轨迹程的常用法一、 求轨迹程的注意事项：1.求轨迹程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。2.轨迹方程既可用普通方 程F（x,y） 0表示，又可用参数方程 f（t）（t为参数）y g（t）来表示，若要判断轨迹程表示种曲线，则往往需将参数程化为普通 程。3.求出轨迹程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以 该程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解（即轨迹上的某些点未能 用所求的程表示）。出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验法：研究运动 中的特殊情形或极端情形。 一般
2、画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。二、 常用法及例题1.用定义法求曲线轨迹（也叫待定系数法）如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹程，再根据已知条件，待定程中的常数 ，即可得到轨迹程。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：至俩定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3 ） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 抛物线：到定点与定直线距离相等 例1:已知 ABC的顶点 A，B的坐标分别为（-4，0 ），（ 4，0） ，C
3、为动点，且满足2 2x y图形为椭圆（不含左，右顶点）则轨迹程为 1 ( x 5)25 9【变式1 : 1:已知圆区亠疔+审=右的圆心为mi，圆（乳-心护=1的圆心为M2, 一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P的轨迹程。解：设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得： 丄 1 0动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4 , a=2 , b2=12。故所求轨迹程为却 122 2 2 22：一动圆与圆 O： x y 1外切，而与圆 C: x y 6x 8 0切，那么动圆的圆 心M的轨迹是：A :抛物线B :圆C:椭圆D:双曲线一支|MO| R 1【解答令动圆半径为 R,则有 ，则|M
4、O|-|MC|=2 ,满足双曲线定义。故选Do| MC | R 12.用直译法求曲线轨迹程如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断， 但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P所满足的几上的等量关系，再用点P的坐标（x, y）表示该等量关系式，即可得到轨迹程。例2 : 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求 AB中点M的轨迹程?解 设M 点的坐标为(x, y)由平几的中线定理：在直角三角形AOB11OM= AB 2a a,22；2 2 2 2 2x y a,x y aM点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆.1【点评】此题中找到了 OM= A
5、B这一等量关系是此题成功的关键所在。2一般直译法有下列几种情况：1)代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的法求其轨迹。2)列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹程。3)运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹程。4 )借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几定理的法是求动点轨迹的重要
6、法2),| pa |【变式2】：动点P( x,y )到两定点A (-3 ,0 )和B( 3,0)的距离的比等于2 (即|PB|求动点P的轨迹程？【解答】PAF J(x 3)2 y2 ,| PB| J(x 3)2 y2| pa | V(x 3)2 y2 2 2 2 2代入吻 2得 2-2 (x 3) y 4(x 3) 4y1PB 1 (x 3)2 y2化简得(x-5) 2+y2=16，轨迹是以(5 , 0 )为圆心，4为半径的圆.网。X。X。K例3 .过点P (2 , 4 )作两条互相垂直的直线 li , 12，若li交x轴于A点，I2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹程。(可用直译法和参数
7、法)解法1 :设 M (x, y),连结 MP，则 A(2x，0)，B( 0，2y ),|i丄12,.仲AB为直角三角形1由直角三角形的性质，|MP| |AB|.(x 2)2 (y 4)2 2 (2x)2 (2y)2化简，得x+ 2y 5 = 0,此即M的轨迹程。分析2 :设M (x , y),由已知11 X 12，联想到两直线垂直的充要条件： kik2 = 1，即可列B两点坐标。事实上，由 M为AB的中点，易找出(2x , 0 ), B (0, 2y)。出轨迹程，关键是如用 M点坐标表示A、它们的坐标之间的联系。解法2:设 M (x, y) , VM 为 AB 中点，二 A又 |1, |2
8、过点 P (2 , 4)，且 |1 丄 |2PAX PB ,从而 kPA kPB= 1 ,综上可知，点 M的轨迹程为x + 2y 5 = 0。分析3 :从运动的角度观察发现，点 M的运动是由直线li引发的，可设出li的斜率k作为参数，建立动点 M坐标(x，y)满足的参数程。3.用参数法求曲线轨迹程如果采用直译法求轨迹程难以奏效，则可寻求引发动点 P运动如果采用直译法求轨迹程难以奏效，则可寻求引发动点 P运动的函数关系 f(t)，进而通过y g t消参化为轨迹的普通程F (x, y )= 0。此类法主要在于设置合适的参数，求出参数程，最后消参，化为普通程。注意参数的取 值围。例3 .过点P (2
9、，4 )作两条互相垂直的直线 li，12，若li交x轴于A点，12交y轴于B点,解法3 :设M (x，y )，设直线li的程为y 4 = k (x 2)，( kO)1由li I2,贝U直线J的方程为y 4 (x 2)k4li与x轴交点A的坐标为(2 ,0)，k12与y轴交点B的坐标为(0,4 2)，kMl为AB的中点,42 -k224 -k22k （k为参数）消去k，得x + 2y 5= 0。当k不存在时，AB中点为M （1，2），也满足上述轨迹程。综上所述，M的轨迹程为x + 2y 5 = 0。一 1【点评】解法1 , 2为直译法，运用了 | MP | - | AB | kpAkpB= 1这
10、些等量关系。2解法3用了参数法，消参时应注意取值围。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几意义的量，如时间，速度， 距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具 体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值围对动点坐标取值围的影响。4.用代入法等其它法求轨迹程（也叫相关点法）如果动点P的运动是由另外某一点 P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线程），则可以设出P （x，y），用（x，y）表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线程，即可得到动点 P的轨迹程。x2 y2例4点B是椭圆丐 七1上的动点，A2a,0）为定点，求线段AB的中点
11、M的a b轨迹程。分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有 规律的，显然 M的运动是由B的运动而引发的，可见 M、B为相关点，故采用相关点法求动 点M的轨迹程。【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（xo，yo）则由M为线段AB中点，可得X 2a2x0 2x 2ay 2y即点B坐标可表为(2x 2a , 2y )2 2x y又点B(x0，y0)在椭圆一2 2 1上a b2x2a2 2 2 yo (2x 2a)2 (2y)2 d亍1 从而有 2 2 1，5.几法b2 a2 b2【点评】垂直平分线上的点到线段两端的距离相等2x 3【解答】：要使
12、得曲线上存在点 P满足|MP | |NP|,即要使得曲线与 MN的中垂线y有交点把直线程分别与四个曲线程联立求解 ，只有无解，则选D，该法经常与参数6 :交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这 类问题通常通过解程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求得所求的轨迹 程(若能直接消去两程的参数，也可直接消去参数得到轨迹程)法并用例6两条直线x my 1 0与mx y 1 0的交点的轨迹程是 .【解答】：直接消去参数 m即得佼轨法）：x2 y2 x y 07.常见错误：【例题】 ABC中，B，C坐标分别为（-3，0），（ 3，0），且三角形长为16，求点A的轨迹 程。x2
13、 y2【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10 ，满足椭圆的定义。令椭圆程为 2 2 1，则a b2 2由定义可知a 5,c 3，则b 4，得轨迹程为125 16【错因剖析】ABC为三角形，故 A，B，C不能三点共线。【正确解答】ABC为三角形，故 A，B，C不能三点共线。轨迹程里应除去点 （5,0）.（ 5,0），2 2即轨迹程为x y 1（x 5）25 16【总结】1 :在求轨迹程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线程的程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另 一面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案” 。2:求轨迹时法选择尤为
14、重要，首先应注意定义法，几法，直译法等 法的选择。3:求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的部分。针对性练习：1:已知圆的程为（x-1） 2+y 2=1,过原点0作圆的弦0A，则弦的中点 M的轨迹程是 .【解答】：令 M 点的坐标为（X, y）,则A的坐标为（2 x,2y），代入圆的程里面1 2 2 1得：（x 2） y2 4（x o）2:点M到点F（ 4,0）的距离比它到直线 X 50 的距离小1 ,则点M的轨迹程为 【解答】：依题意，点 M到点F （4, 0）的距离与它到直线 X 4的距离相等。则点 M的轨迹是以F （4，0）为焦点、x 4为准线的抛物线
15、。故所求轨迹程为 y2 16x。3:求与两定点距离 0（0,0）,A（3,0）的比为1: 2的点的轨迹程为 化简得：x2 y2 2x 3024抛物线y 4x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B两点，动点C在x1 2抛物线上，求 ABC重心P的轨迹程。【解答】：因点P x，y是重心，则由分点坐标公式得:即 x1 3x 2， y1 3y由点C %，%在抛物线y2 4x上，得：y： 4X12 4 2将X1 3x 2，y1 3y代入并化简，得：y x （ x 1）335.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F （，0），直线y=x - 1与其相交于M、 N两点，MN中点的横坐标为 弓，求此双曲线程。【解答】：设双曲线程为(b2 -aa)x3 + 2aax- a3的轨迹程。【解答】：由题意分析知直线I的斜率一定存在，设直线I的程y=kx。把它代入 抛物线程卩加+色，得-(4亠。因为直线和抛物线相交，所以40 , 解得 x ( , 4 2、6) ( 4 2 6,)。血十总 4 +k 4k + kas = i = t y = kK= 2 2 2卜咎I1 4k +由、-消去k得又 所以 x ( ,、6) (2 )。点M 的轨迹程为 y 2x2 4x,x ( , .6) 0 6,)。
