1、02利用待定系数法因式分解和分式的拆分等第 2 讲利用待定系数法因式分解、 分式的拆分等一、 方法技巧1.待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x) g(x)的充要条件是：对于一个任意的x=a值，都有f(x) g(x)；或者两个多项 式各关于x的同类项的系数对应相等.2.使用待定系数法解题的一般步骤是：( 1)确定所求问题含待定系数的一般解析式；( 2)根据条件，列出一组含待定系数的方程(组) ；( 3)解方程(组) ，从而使问题得到解决 .22例如：已知x 5 2 a x bx c，求a, b, c的值.”解答此题，并不困难只需将右式与左
2、式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到 a，b, c的值这里的a, b, c是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法.3.格式与步骤：(1)确定所求问题含待定系数的解析式 . 上面例题中,解析式就是： 2 a x2 bx c(2)根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程 .在这一题中,恒等条件是：2a1b0c5(3)或消去待定系数,从而使问题得到解决 .a1二 b 0c5二、应用举例类型一 利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知2x4 3x3 ax2 7x b能被x2 x 2整除.( 1 )求 a, b (2)分解因式： 2x4 3x3 ax2 7x b【答案】(1)
3、a 12和 b 6 (2) 2x4 3x3 12x2 7x 6 x2 x 2 2x2 5x 3【解析】试题分析：值.（2）由（ 1）可得结果 试题解析：4 3 2 2解：（1）2x4 3x3 ax2 7x b 能被 x2 x 2整除设 2x4 3x3 ax2 7x bx2 x 2 2x2 mx n ,整理,得 2x4 3x3ax2 7x b 2x4m 2 x32m n 4 x n 2m x 2nm 2 3m n 4 a n 2m 7 b 2n5312m n解得a b6 a、b的值分别为 12和6.考点： 1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组 .点评：用待定系数法,就是先按已知条件
4、把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可 先用表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定 系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值 .【难度】一般【例题 2】分解因式：2x25xy 3y23x 5y 2【答案】 2x2 5xy3y23x 5y 2(2x y1)( x 3y 2)【解析】试题分析：方法一 因为 2x25xy3y2 (2xy)( x3y）,因此，如果多项式能分解成两个关于 x、y的一次因式的乘积，那么设原式的分解式是 （2x-y+m）（ x 3y+n）,其中m、n为待定系数.然后展 开,利用多项式的恒等,求出 m、 n 的值
5、.试题解析：22解： 2x 5xy 3y （2x y）（ x 3y）,代入式也成立把它们分别代入恒等式检验,考点：1待定系数法分解因式 2解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验 若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所 设形成的因式【难度】较难【解析】试题分析:比较分子，得a c 0a b 0b c 1解得 a 1， b c 1.2 2考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为 Ax B形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难【例题4】计算:1a 9 a
6、 10【答案】a a 10【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若 是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题 .试题解析：解：我们设而A Ba a 1A a 1BaA B a Aa(a1)a a1AB0A1比较分子得：，解得:A1B1L 111所以a a 1aa11 1 a a 1010a a 10考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式1 1 1一1 丄拆分.n n 1 n n 1【难度】较难类型三利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【答案】C 【
7、解析】 试题分析：2将多项式 X mx 3 3x 2展开、合并，按x的降幕排列，根据积中不含x的二次项等价于的系数为零列方程即可求得 m的值 试题解析：解：3x3 3m 2 x2 9 2m x 6积中不含x的二次项, 3m 20,解得m23 .故选c考点：多项式乘以多项式点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值 【难度】一般三、实战演练1.若多项式3x2 5xy 2y2 x 9y n能被3x y 4整除，则n .【答案】 4【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式 =商乂除式(余式为 o),其除式为3x y 4即可试题解析：解：设原式3xy
8、 4x2y2 2m 3x 5xy 2y + 3m 4 x 8 m y 4m3m41比较系数，得:8m9n4m由，解得m 1 ,代入得n 4考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式 =商乂除式(余式为 0)是解题关键.【难度】容易4 3 2 彳2.分解因式：x x x x 14 3 2 2 1 y/5 2 1【答案】x4 x3 x2 x 1=(x2 x 1)(x2 x 1)2 2【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式， 又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法；虽多于三项，但分组之后分解不能继续 .因此，我们应采用其他的办法 一待定系数法.
9、这是一个四次五项式，首项系数为1,尾项也是1,所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：mn解得考点：待定系数法因式分解 .点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键【难度】容易2 23分解因式：2a 3ab 9b 14a 3b 202 2【答案】2a 3ab 9b 14a 3b 20 （2x 3b 4）a 3b 5【解析】试题分析：属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，先分解 2a2 3ab 9b2 2a 3b用多项式恒等列方程组即可求解 试题解析：方法解：m 4 n 53b 5 2a2 3ab 9b2 14a 3b 20 (
10、2x 3b 4)方法对于方法一中的恒等式(*)因为对a、b 取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求m、n的值.令a0，b0，得mn20令a1，b0，得m2n 14令a0，b1，得mn1m4解、组成的方程组，得n5m4当 时，成立n5 2a2 3ab 9b2 14a 3b 20 (2x 3b 4) a 3b 5考点： 1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组 . 点评：对于复杂的多项式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组， 最后解方程组即可求出待定系数的值 .【难度】较难4. 已知 f (x) 表示关于 x 的一个五次多项式，若f 2 f 1 f 0 f
11、1 0，f 2 24，f 3 360，求 f 4 的值.【答案】 1800【解析】 试题分析： 因为 f 2 f 1 f 0 f 1 0 ，所以这个多项式中必有因式 x 2 、x 1 、 x、x 1 ， 而四个的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因式的乘积，故式的乘积，故这个多项式可以设为 ，利用待定系数法求出 a、b 的值x 2 x 1 x x 1 ax b最后代入原多项式，即可求出 f 4 的值 .试题解析：解： f2 f 1f0f 1 0，设f(x) x2x1xx 1 ax b由f224，f3360，可得方程组432(2a b)24543 2(3ab
12、)360f 4 6 5 4 3 (8 3) 1800考点： 1.解二元一次方程组 2.多项式变形 点评：此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键 【难度】较难试题解析：11解得：11 ， n 4.故m考点：整式的除法点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式往往可转化成多项式乘以多项式【难度】一般6. 若多项式32x axbx 能被x 5 和x 6 整除，那么 a b . 该多项式因式分解为： 【答案】【解析】 试题分析：因为多项式32x axbx 能被x 5 和x6整除，则说明x 5 和x 6 都是多项式x3 ax2bx 的一个因式，故设32x axb
13、xx5x6x m ，展开即可求解 .试题解析：解：设 x3 ax2 bxx5x6xm2x11x30xm3x2 mx3011m x 30mam 11对比系数，得：b30 11m30m 0m0解得 : a 11 b 30故,a 11,b 30,32多项式因式分解为： x3 11x2 30x x x 5 x 6考点：整式除法与因式分解 点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如 A 被 B 整除，另外一层意思就 是B是A的因式 7. 分解因式： x4 x3 4x2 3x 5【答案】 x4 x3 4x2 3x 5 x2 x 1 x2 2x 5 【解析】试题分析：本题是关于 x 的四次
14、多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积 试题解析：解：设 x43x4x23x52xax1x2 bx54 xabx3 ab26 x2 5a b x 5ab1由恒等性质有：ab645ab3解得：a1代入ab64中，成立b2 x43x4x23x52xx12x2x 5说明：若设4 xx34x23x 52xax1 x2bx 5由待定系数法解题知关于 a 与 b 的方程无解，故 x4 x3 4x2 3x 5 x2 x 1 x2 2x 5考点：因式分解应用 点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键 . 【难度】较难8.在关于x的二次三项式中，当x 1 ,其值为
15、0 ;当x 3时，其值为0 ;当x 2时，其值为10, 求这个二次三项式 .【答案】 2x2 4x 6【解析】试题分析：思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒 等式的性质。试题解析：解：法1 先设出关于x的二次三项式ax2 bx c，abc0 把已知条件分别代入，得 9a 3b c 0 ，4a 2b c 10a2解得 b 4 c6故所求的二次三项式为 2x2 4x 6思路 2 根据已知 x 1, 3时，其值为 0 这一条件可设二次三项式为 a x 1 x 3 ，然后求出 a 的值.法 2 由已知条件 x 1, 3时，这个二次三项式的值为 0，故可设
16、这个二次三项式为 a x 1 x 3把 x 2 代入上式，得 5a 10 ，故所求的二次三项式为 2 x 1 x 3 ，即 2x2 4x 6考点：多项式点评：选用待定系数法 ,利用已知条件求多项式是解题关键 .【难度】一般329.已知多项式x bx cx d的系数都是整数， 若bd cd是奇数，证明这个多项式不能分解为两 个整系数多项式的乘积 .【答案】见解析【解析】试题分析：先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的试题解析：证明： x3 bx cx d x3 m n x2 mn r x mr m, n,r者E是整数 比较系数得：mr d因
17、为bd cd d b c是奇数，则b c与d都是奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得 出m,r也都是奇数在式中令x 1，得1 b c d 1 m 1 nr 由b c与 d是奇数，得1 b c d是奇数。而m为奇数，故1 m是偶数，所以1 m 1 nr是偶数这样的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的 因此题中多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积考点：多项式除法点评：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明【难度】容易a解得b【解析】试题分析:设 賓芒 =_? L，将等式右边通分，再利用分子恒等求出 a、b的值即可.(x 1)(x 2) x 1 x 2试题解析：方法一b _ (a
18、b)x (2a b) x 2= (x 1)(x 2)3x 5 = (a b)x (2 a b) (x 1)(x 2) = (x 1)(x 2)解得3x 5 _ 1(x 1)(x 2) x 1 x 2方法分式3x 5(X 1)(X 2)还可以先变形为:(3x 6) 1 = 3(x 2) 1(x 1)(x 2) = (x 1)(x 2)3 1Fl (x 1)(x 2)易知1 _ 1 (x 1)(x 2)x 1所以3x 5 _ 3(x 1)(x 2) T1(x 12)_ 2 x 1考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为 Ax + B形式，分母只含一次项，则设分子为常
19、数【难度】容易112.计算一x x 1【答案】x x 4个分式相加，无法通分,而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积利用111，进行拆分即可.n n1 nn 1_ 11111111xx 1x 1 x2x2x3x3x411xx 444是整数），试题解析:4x x（若解：原式【解析】试题分析:本题的4考点：分式计算点评：禾U用公式拆分，是解题关键，而原理就是设1 A ，求出n n 1 n n 1A 1,B 1,熟练后可直接运用公式【难度】容易(6y 1)(y 1)【答案】1 _ 6 1 (6y 1)(y 1)=5(6y 1) 5(y 1)【解析】 试题分析:1 a b设 1 = a ，
20、将等式右边通分，再利用分子恒等求出 a、b的值即可.(6y 1)(y 1) 6y 1 y 1试题解析：a6y 1a解得bb (a 6b) y (a b) T= (6y 1)(y 1)即 1 =(a 6b)y (a b) (6y 1)(y 1)= (6y 1)(y 1)【答案】x2 2【解析】试题分析：试题解析:2ax考点：分式的加减法点评：本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题关键【难度】一般【答案】B【解析】 试题分析：项的系数为零列方程即可求得 试题解析：方法一解：5 3x mx2 6x3 12x 5 13x (m 6) x2 ( 2m 6) x3 12x4结果中不含x3的项，
21、2m 6 0，解得 m 3.故选B.方法二由于x3项可由x项与x2项相乘或x3与常数项相乘得到，故展开式中只需计算 x项乘以x2项及x3乘以常数项即可.解：t mx2 2x 6x3 1 2mx3 6x3 （ 2m 6） x3又结果中不含x3的项， 2m 6 0，解得 m 3.故选B.考点：多项式乘法.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值 【难度】一般16.如果x 12 2x 5ax a的乘积中不含x项，贝U a为（1 1A. 5 B. - C. - D 55 5【答案】B【解析】试题分析：将多项式 x 1 x2 5ax a展开、合并，按 x的降
22、幕排列，根据积中不含 x2项等价于x2项的系数为零列方程即可求得 a的值.试题解析：解：原式 x3 5ax2 ax x2 5ax a x3 1 5a x2 4ax a.不含x2项， 1 5a 0.1解得a .5故选B.考点：多项式乘多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值【难度】一般17.若（y玄）与（y 7）的乘积中不含y的一次项，则a的值为（ ）A. 7 B. -7 C. 0 D. 14【答案】A【解析】试题分析：先用多项式乘以多项式的运算法则展开， 并且把a看作常数，合并关于y的同类项，令y的系数为0,得出关于a的方程，求出a的值.试
23、题解析：解： y a y 7 y2 7y ay 7a y2 7 ay 7a.又乘积中不含y的一次项，7 a 0.解得a=7.故选A.考点：多项式乘法点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值 【难度】一般218.要使2x 3x 1与关于x的二项式ax b的积中不含x的二次项，则a: b 【答案】2:3【解析】试题分析：根据多项式乘以多项式，可得整式，根据整式不含二次项，可得关于 a,b的二元一次方程，根据等式性质，可得答案.试题解析：解： 2x2 3x 1 ax b 2ax3 2b 3a x2 3b a x b积中不含x的二次项， 2b 3a 0.a
24、 2两边都除以2b得：一一b 3故答案为：2:3 .考点：多项式乘以多项式.点评：本题考查了多项式乘以多项式，利用了多项式乘以多项式法则，整式不含二次项，得出关于a、b的二元一次方程是解题关键 .【难度】一般19.若x2 px q x2 3x 2的乘积中不含x2和x叽则p, q的值分别是多少？6 4【答案】p 6, q 4【解析】试题分析：将多项式 x2 px q x2 3x 2展开、合并，按 x降幕排列，根据不含 x2和x项，则x2项和x 项的系数为零，从而列出关于 p, q的方程组，解之即可求得 p, q的值. 试题解析：解：T x2 px q x2 3x 24小3小2 3小2小 2x 3
25、x 2x px 3px 2 px qx 3qx 2q x4 p 3 x3 2 3p q x2 2p 3q x 2q,解得:考点：1多项式乘法 2二元一次方程组.点评：此题考查了多项式的乘法以及解二元一次方程组，利用了多项式乘以多项式的运算法则，整 式不含x2和x项，得出关于 p, q的二元一次方程组 是解本题的关键.【难度】一般 20.已知 X p X 1中不含x的一次项，求 p的值.一变：已知 ax2 3x 18 （2x 3）（ kx 6），求 a，k 的值.二变：k是什么数时，x2 6x k可以写成（x a）2的形式？【答案】p 1; 一变：a 10, k 5;二变：k 9.【解析】试题分
26、析：将多项式 x p x 1展开、合并，并且按 x降幕排列，根据不含 x的一次项，x项的系数为零, 从而列出关于p的方程，解之即可求得 p的值；一变：将 2x 3 kx 6展开、合并，再由多项式恒等列方程组即可求 a，k的值；一变：将 （x a）展开、合并，再由多项式恒等列方程组亦可求 a， k的值试题解析：解：（x p）（x21) x x px p2 x(p1)xp ,因为不含x的一次项，所以 p1=0,即p1一变：ax2 3x 18 2kx212x3kx182kx2 (12 3k)x 18, 12 3k 3,k 5;a 2k 10，即a 10, k 5.二变：设 x2 6x k x2 2ax a2，贝V 2a 6,a 3,k a2 9，即当k 9时，x2 6x k可以写成（x a）2的形式.考点：1.多项式乘以多项式 2.完全平方式 点评：此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运输法则是解本题的关键 【难度】一般
