1、概率论与数理统计复习题及答案概率论与数理统计复习题及答案概率论与数理统计复习题 一、填空题 1. 已知P(AB)?P(A)，则A与B的关系是 独立 。 2已知A,B互相对立，则A与B的关系是 互相对立 。 ,B为随机事件，则P(AB)?。 P(A)?，P(B)?，P(A?B)?，4. 已知P(A)?，P(B)?，P(A?B)?，则P(A?B)?。 ,B为随机事件，P(A)?，P(B)?，P(AB)?，则P(BA)?_。 36已知P(BA)? ，P(A?B)?，则P(A)? 2 / 7。 7将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为。 8. 设某教研室共有教师11人，其中男教师7人
2、，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为_26_。 339. 设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出1_。 611110. 3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为,，则此密码被译出的5343概率为_。 5后不放回，则第2次抽出的是次品的概率为_11每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3235Cp(1?p)7次成功的概率为_。 12. 已知3次独立重复试验中事件A至少成功一次的概率为1事件A成功的概率p?_。 319，则一次试验中27c35813随机变量X能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则常
3、数c?_。 24815k14随机变量X分布律为P(X?k)?,k?1,2,3,4,5，则P(X?3X?5 )?_。15x?2,?0?X?(x)?2?x?0,是X的分布函数，则X分布律为_?pi?1x?0?0? ?_。?2?0,x?0?16随机变量X的分布函数为F(x)?sinx,0?x?，则2?1,x?2?P(X?3)?_3_。 217. 随机变量XN(,1)，P(X?3)?，P(X?)?_ 。 18. 设XN(3,22)，若P(X?C)?P(X?C), 则C?_3_。 19设X?N(?,?2)，其分布函数为F(x)，则有F(?+x?)?F(?x?)= 1 。 ?X?20已知随机变量X的分布律
4、为?42?Y22分布律为_?1?_。 ?3?则随机变量函数Y?sinX的4?，?21. 若X服从的分布是N(0,1)，则2X+1服从的分布是 N(1,4 ) 。 22总体X的密度函数f(x)?1,则样本(X1,X2,X3)的联合密度函数为： ?(1?x2)_f(x1,x2,x3)?1_。 3222?(1?x1)(1?x2)(1?x3)23设XN?2,9?,YN?1,16?，且X,Y相互独立，则X?Y_N(3,52)_。 )24若X?B(5,p),Y?B(8,pp ) 。，X,Y独立，则X?Y服从的分布是 B(13, ?P(8),Y?P(10)，X,Y独立，则X?Y服从的分布是 P(18) 。
5、26. 随机变量X?B?5,?，则E(2X?3)?_5_，D?2X?3?_，。 E(2X2?1)?_，27. 随机变量X?U?0,2?，则E?X?3?_-4_，D?X?3?_13_。 28. 设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1在0,6上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数为?3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3,则EY?_12_。 29总体X以等概率1?取值1,2,?,?，则未知参数?的矩估计量为_2X-1_。 30设X1,X2,.,Xn为X的样本，X?B(5,p），则关于p的矩估计量是 X5 。 二、选择题 1设A,B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确
6、的是。 (A)P(A?B)?P(A)P(AB)?P(A) (C)P(BA)?P(B) (D) P(B?A)?P(B)?P(A) 2事件A,B满足：P?AB?,P?B?,P?AB?,则P?A?B?。3.若P(B|A)?p;P(A|B)?q;则P(AB|A?B)?(C)(A)pqp?qpqpq P?q(B)pq(C)p?q?pq(D)p?q?pq4设事件A,B独立，且A与B互斥，则下列式子一定成立的是。 (A)P?AB?0P?AB?0 (C)P?AB?P?A?P?B?(D) P?A?1或P?B?1 5.随机变量 X 的概率分布为：P(X?k)?12k(k?1，2，?)，则 X 取偶数概率为(C(A
7、)15(B)14(C)13(D)126.连续型随机变量分布函数F(x)?a?be?x,x?0，其中常数a,b值为。 ?0,x?0)a?1,b?1a?0,b?1a?1,b?1a?1,b?1 7若f(x)?2x可以成为某随机变量X的概率密度函数，则随机变量X的可能值充满区间( B ), (0,)(0,1)0,?)(?,?) 8. 当随机变量X的可能值充满区间( A ),则f(x)?cosx可以成为某随机变量X的密度函数。 ?0, ,?0,? 2237 ?,? 249. 随机变量X服从参数?1/8的指数分布，则P(2?X?8)?。 ?8?x82x1?128?8?1edx ?edx (e4?e?1)
8、e4?e?1 88210. 随机变量X服从X?N?,?2?，若?增大，则P(X?3?)。 单调增大单调减小 增减不定 保持不变 11. 随机变量X的概率密度f(x)?1，则Y?2X的概率密度是。 ?(1?x2)1121arctany 222?(1?4y)?(4?y)?(1?y)12. 关于联合分布与边缘分布的关系，以下结论错误的是。 二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布 二维均匀分布的两个边缘分布未必是均匀分布 边缘分布可以唯一的确定联合分布 联合分布可以唯一的确定边缘分布 13. 设的联合分布函数为F(x,y)，则其边缘分布函数FX(x)?。 limF(x,y)limF(x,y)F(0,y
9、)F(x,0) x?y?1?1?0?0?14. 随机变量X,Y相互独立，且X?则必有。 ,Y?，?P(X?Y)?0P(X?Y)? P(X?Y)?1。X?Y15. 已知离散型随机变量X服从二项分布，且EX?,DX?，则二项分布的参数n,p的值为。 n?4,p?n?6,p? n?8,p?n?24,p? 16已知随机变量离散型随机变量X的可能取值为x1?1,x2?0,x3?1，且EX?,DX?，则对应于x1,x2,x3的概率p1,p2,p3为。 p1?,p2?,p3? p1?,p2?,p3? p1?,p2?,p3? p1?,p2?,p3? 17.设随机变量Xf(x)?,(x?0)，则下列计算正确的是
10、。 E(X)?D(X)?2 E(2X?1)?5 D(2X+1)?9 ?e?xx?0，18设随机变量X密度函数为f?x?，已知E(X)?1/2，若其他?xYP(?)，则下列计算正确的是。 E(Y)?2,D(Y)?4D(?2Y?2)?6 E(Y2)?4E(Y+1)2?11 19. 已知总体X服从参数?的泊松分布，X1,X2,.,Xn为X的样本，则。 1n1n?Xi?是一个统计量 ?Xi?EX是一个统计量 ni?1ni?11n21n2?Xi是一个统计量 ?Xi?DX是一个统计量 ni?1ni?120. 设总体XN(?,?2)，其中?已知，?2未知。X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，则非统计量是
11、。 1(X1?X2?X3)X1X2?2? 31222max(X1,X2,X3)2(X1?X2?X3)。 ?21. 人的体重为随机变量X，E(X)?a，D(X)?b，10个人的平均体重记为Y，则。 (A)E(Y)?a E(Y)? (C)D(Y)? (D) D(Y)?b 22设X服从正态分布N(1,32)，X1,X2,?,X9为取自总体X的一个样本，则。 X?1X?1N(0,1) N(0,1) 31X?1X?1N(0,1) N(0,1)。 9321n23设X服从正态分布，EX?1,EX?4,X?Xi，则X服从。 ni?13111N(?1,)N(?1,1) N(?,4)N(?,) nnnn24. 从
12、总体XN(?,?2)中抽取样本X1,X2,.,Xn，以下结论错误的是。 1n1n?Xi服从正态分布2?(Xi?X)2服从?2(n) ni?1?i?11n?21nD(?Xi)?E(?Xi)? ni?1ni?1n25. 设?2是总体X的方差存在，X1,X2,.,Xn为X的样本，以下关于?无偏估计量的是。 max(X1,X2,.,Xn) min(X1,X2,.,Xn)1nXiX1 ?n?1i?126. 若(X1，X2，X3，X4)为取自总体X的样本,且EX = p ,则关于p的无偏估计为( C ）。 1X1 612X1?X2 66123X1?X2?X3 6661234X1?X2?X3?X4 6666
13、27. 若(X1，X2，X3，X4)为取自总体X的样本, 且EX = p ,则关于p的最优估计为( D ）。 12X1?X2 33123X1?X2?X3 666111X1?X2?X3 3331234X1?X2?X3?X4 1010101028. 设?2是总体X的方差，X1,X2,.,Xn为X的样本，则样本方差S2为总体方差?2的。 矩估计量最大似然估计量无偏估计量有偏估计量 29. 设(?1,?2)是参数?置信度为1?的置信区间，则以下结论正确的是。 参数?落在区间(?1,?2)之内的概率为1? 参数?落在区间(?1,?2)之外的概率为? 区间(?1,?2)包含参数?的概率为1? 对不同的样本
14、观察值，区间(?1,?2)的长度相同 30. 设?为总体X的未知参数，?1,?2(?1?2)为样本统计量，随机区间(?1,?2)是。 ?的置信度为1?(0?1)的置信区间，则有P(?1?2)?P(?1?2)?1? P(?2)?1?P(?1)? 31在假设检验中，H0表示原假设，H1表示对立假设，则称为犯第一类错误的是。 (A) H1不真，接受H1 (B) H1不真，接受H0 (C) H0不真，接受H0 (D) H0不真，接受H1 32总体X?N?,?2?，样本X1,X2,?,Xn，假设检验H0:?0,H1:?0，则H0的拒绝域为。 X?0?u?2X?0?/nX?0S/n?/nX?0S/n?u?
15、 2 ?t?n?1? 2?t?n?1? 2三、计算题 1.若事件A与B相互独立，证明事件A与B也相互独立。(10分)证明：因为事件A与B相互独立，所以P(AB)?P(A)P(B)P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?1?P(A)?P(B)1?P(A)?1?P(A)1?P(B)?P(A)P(B)所以事件A与B相互独立。 2.若事件A与B相互独立；事件A与B互斥，证明必有P(A)?1 或 P(B)?1。 证明：因为事件A与B相互独立；所以事件A与B也相互独立，又于A与B互斥，则 0?P(AB)?P(A)P(B)，此
16、 P(A)?0 或 P(B)?0即必有 P(A)?1 或 P(B)?1 3某厂生产的100个产品中，有95个优质品，采用不放回抽样，每次从中任取一个，求：第一次抽到优质品；第一次、第二次都抽到优质品；第一次、第二次都抽到优质品、第三次抽到非优质品的概率。 解：设Ai：第i次取到优质品，(i?1,2,3) 959594?； P(A1A2)?； 1001009995945?。 P(A1A2A3)?1009998 P(A1)? 4玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱中含0，1只残次品的概率分别为和，一个顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时顾客开箱验货，顾客随机的察看了4只，若无残次品则购买下该箱玻璃杯，否
17、则退回。试问：顾客购买该箱玻璃的概率。 解：设 且已知： Ai=?箱中有i只残次品?,i?0,1,B?4只均无残次品?，4C19P(A0)?,P(A1)?,P(BA0）?1,P(BA1)?4?(B)?P(A0)P(BA0)?P(A1)P(BA1)?1+?= 5. 有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。然后从所选中的盒子中任取一球。求： 取出的球是白球的概率； 当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。 解：B：取到白球，B：取到黑球；A1：甲盒；A2：乙盒；A3：丙盒 取
18、到白球的概率P(A)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3)?3112234?。 636366931P(A1)P(BA1)6?33 取到白球是从甲盒中取出的概率P(A1B)?。 4P(B)89 6. 设一盒中有5个纪念章，编号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，用X表示取出的3个纪念章上的最大号码，求：随机变量X的分布律；分布函数；EX，DX。 解：设X为取出的3个纪念章上的最大号码，则X的可能取值为3,4,5； P(X?3)?113366； ?P(X?4)?P(X?5)?333C510C510C51045?； 于是X的分布律为?X3?x?3?0,?,
19、3?x?4? ；EX?3?4?5?， F(x)?,4?x?5?x?5?1,EX2?32?42?52?，DX?EX2?EX?。 2 7某型号电子管，其寿命为一随机变量，概率密度函数 ?100/x2,x?100 f(x)?otherwise?0,试求一个电子管使用150小时不用更换的概率； 某一电子设备中配有10个这样的电子管，电子管能否正常工作相互独立，设随机变量Y表示10个电子管中使用150小时不用更换的个数，求Y的分布律； 求P?Y?1?。 解：设电子管的寿命为随机变量X，P(X?150)?150f(x)dx?1002dx? 150x23?设10个电子管中使用150小时不用更换的个数为随机变
20、量Y，则依2k2k110?k()(),k?0,1,2,.,10。 题意，Y?B(10,)，P(Y?k)?C103331P?Y?1?1?P?Y?0?1?10。 3 8. 某人有9把钥匙，其中只有一把能打开一门。今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需要试开次数的数学期望和方差。 解：设X打开门的次数，X可能取值为1,2,3,?,9。 19 811P(X?2)? 9898711P(X?3)? 9879? P(X?1)?8711P(X?9)? 9819?X123?9?1111?，于是 所以，?P?9999?11111EX?1?2?9?(1?9)?45?5， 99999111195EX2?12?
21、22?92?(12?92)?， 99993DX?EX2?(EX)2?95220?5?。 33 ?a?bx,0?x?19. 设随机变量X的概率密度为f(x)?，EX?； 0,otherwise?试求：常数a,b；DX；设Y?eX，求EY。 解：?f(x)dx?(a?bx)dx?(ax?01EX?x(f)xd?x?10b21bx)0?a?1； 22a2b31ab(x?a)bx?dx(?x0)?x?； 于是，a?,b?。 EX2?x2f(x)dx?x2(a?bx)dx?(?x)3410?2365?， 1510150DX?EX2?(EX)2?6511?()2?。15015010EY?exf(x)dx?
22、ex(?)dx?(e?2)。 ? 10某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩近似服从正态分布，平均成绩72分，96分以上的考生占考生总数的%，试求考生的外语成绩在60-84分之间的概率。 附表： x ?(x) 0解：设考生外语成绩XN(?,?2),x?72 P(X?96)?1?P(X?96)?1?(P(60?X?84)?(96?72?)?1?(24?)?(24?)?1284?7260?72)?()?(1)?(?1)?2?(1)?1?。 1212 ?1x211.若随机变量 X的密度函数fX(x)?0x?1，求Y?X?1的密度函数fY(y)。x?1y?0y?0?P(X?1?y2)解：随机变量 Y 的
23、分布函数：FY(y)?P(Y?y)?P(X?1?y)?0?P(X?1?y2)y?0?y?00?1?y21?y2因当 y?0 时，P(X?1?y)?y2?所以 FY(y)?1?y2?0?y?0y?02?fX(x)dx?111y2dx?1?22x1?y1?y2?2y?随机变量 Y 的密度函数：fY(y)?FY(y)?(1?y2)2?0?y?0y?0 12. 口袋里有2个白球，3个黑球。现不放回地依次摸出2球，并设随机变量 ?1第一次摸出白球?1第二次摸出白球X?，Y?。 0第一次摸出黑球?0第二次摸出黑球 试求：?X,Y?的联合分布律； X和Y的边缘分布律； 问X,Y是否独立？D?2X?1?。 解
24、：联合分布为： XY 0 3 103 101 3 101 100 1 ?X?pi? 0351?Y?2?，?pj5?0351?2? ?5?P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0)，所以X与Y不独立。 22624EX?,EX2?,DX?。D(2X?1)?4DX?。 552525 13设随机变量X，Y相互独立，且等可能的取1，2，3为值，定义随机变量 U=max?X,Y?,V?min?X,Y?，试求：相互独立？ 解：因为X、Y独立，依题意X、Y的联合分布为 XY 1 2 3 1 1/9 1/9 1/9 2 1/9 1/9 1/9 3 1/9 1/9 1/9 又因为U=max?X,Y?,V?mi
25、n?X,Y?，则 UV 1 2 3 这里 1/9 2/9 2/9 0 1/9 2/9 0 0 1/9 1 2 3 P(U?1,V?1)?P(X?1,Y?1)?1/9P(U?1,V?2)?P(?)?0其余同理可得。 P(U?2,V?1)?P(X?2,Y?1)?P(X?1,Y?2)?2/9?P(U?1)?1/9,P(V?2)?3/9,P(U?1,V?2)?0?P(U?1,V?2)?P(U?1)P(V?2)。 ?U,V不独立。 14，设二维随机变量(X,Y)的联合分布为: XY 0 1 2 0 1/4 0 1/12 1 1/12 1/6 0 2 a 1/4 1/6 求a； Z = maxX,Y 的概
26、率分布； E(maxX,Y) ；D(maxX,Y)。 解：a = 1-(1/4 + 1/12 + 1/6 + 1/4 + 1/12 + 1/6) = 0 Z P 0 1 2 EZ = ；DZ = 15. 设同时独立地掷一枚硬币和一颗骰子两次，用X表示两次中硬币出现的正面次数，用Y表示两次骰子点数不超过4的次数。求X,Y的联合分布。求X?Y的和分布。P(X?Y?1) 解：设X可能取值为0，1，2；Y可能取值为0，1，2.于是， ?X0?1?P?4112?Y02?1， ?1?P?4?9149 2?4?. 于X与Y相互独立，所以联合分布为 ?9? 1 2Y 0 X 0 1 2 1 361 181 9
27、2 91 92 91 361 91 9?X?Y01234?111?1613124?，P(X?Y?1)?。 和分布为：?P?18963636363636? ?21?x?xy,16. 设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?3?0,试求：(X,Y)的边缘概率密度；P(X?Y?1)。 解： ?0?x?1,0?y?2otherwise， fX(x)?1222?22122?0(x?xy)dy?(xy?xy)0?2x?x,0?x?1 f(x,y)dy?363?otherwise?0,fY(y)?1211312111(x?xy)dx?(x?xy)?y,?0y?2?f(xy,dx)?0 336360?0
28、,otherwise?121112(x2?xy)dy?(x2y?xy2)1?xdx01?x0 3614154154165?(x2?x?x3)dx?(x3?x2?x)0?。 0326942475P(X?Y?1)?dx? 17. 设随机变量(X,Y)在区域D?(x,y)0?x?2,?1?y?2?上服从均匀分布， 试求：随机变量(X,Y)的概率密度函数；P(X?Y)。 解：因为服从均匀分布，所以其联合密度函数为 ?1,?1y?2?,0?x?2?f(x,y)?6。 ?0,其它P(X?Y)?f(x,y)dxdy?dx?D022x11dy?。 63 18. 设二维随机变量(X,Y)的概率为 ?e?y,0?
29、x?yf(x,y)? ?0,其他求(X,Y)的两个边缘密度；判断(X,Y)是否相互独立； 求P(X?Y?2)；求X的分布函数。 ?e?y解：f(x,y)?0fX?x?fY?y?,0?x?y,其它 ?y?x?xedyx?0?ef?x,y?dy?其他?0?0y?y?y?0edxy?0?yef?x,y?dx?其他?0?0x?0其他 y?0其他 ?fX?x?fY?y?f(x,y)，?X与Y不独立； P? 10?x?2xe?ydydx?1?2e?1?e?2 FX(x)? x?x?x?x?0edxx?0?1?e,x?0。 fX(x)dx?x?0?0,?x?0?0,19. 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 ?Ae?(2x?3y),x?0,y?0, f(x,y)?otherwise.?0,求常数A；求联合分布函数F(x,y)；求边缘密度；并问X,Y是否独立？求P(?1?X?1,?2?Y?2)。 解：于?0?0?f(x,y)dxdy ?0?1Ae?(2x?3y)dxdy?A(?e?2x)21(?e?3y)3?0?xA?1，得A?6。 6y当x?0或y?0时，因为f(x,y)?0，所以，F(x,y)?当x?0,y?0时， ? f(x,y)dxdy?0。F(x,y)?x?
