1、学年高中数学第七章复数711数系的扩充和复数的概念学案新人教A版71.1数系的扩充和复数的概念考点学习目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算 问题导学预习教材P68P70的内容，思考以下问题：1复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2复数分为哪两大类？3复数相等的条件是什么？1复数的有关概念(1)复数的定义形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i21(2)复数集全体复数所构成的集合Cabi|a，bR叫做复数集(3)复数的表示方法复数通常用字母z表示，即zabi(a，
2、bR)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成abi(a，bR)的形式，其中000i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数zabi只有在a，bR时才是复数的代数形式，否则不是代数形式2复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等当且仅当ac且bd3复数的分类(1)复数zabi(a，bR)(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系名师点拨复数bi(bR)不一定是纯虚数，只有当b0时，复数bi(bR)才是纯虚数 判断(正确的打“”，
3、错误的打“”)(1)若a，b为实数，则zabi为虚数()(2)复数z13i，z22i，则z1z2.()(3)复数zbi是纯虚数()(4)实数集与复数集的交集是实数集()答案：(1)(2)(3)(4) 若za(a21)i(aR，i为虚数单位)为实数，则a的值为()A0B1C1 D1或1答案：D 以3i的虚部为实部，以3i的实部为虚部的复数是()A33i B3iCi D.i答案：A 若(x2y)i2x13i，则实数x，y的值分别为_答案：复数的概念下列命题：若aR，则(a1)i是纯虚数；若a，bR，且ab，则aibi；若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2；实数集是复数集的真子集其中正确
4、的命题是()A BC D【解析】对于复数abi(a，bR)，当a0且b0时，为纯虚数对于，若a1，则(a1)i不是纯虚数，即错误；两个虚数不能比较大小，则错误；对于，若x2，则x240，x23x20，此时(x24)(x23x2)i0不是纯虚数，则错误；显然，正确故选D.【答案】D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为abi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部提醒解答复数概念题，一定
5、要紧扣复数的定义，牢记i的性质 对于复数abi(a，bR)，下列说法正确的是()A若a0，则abi为纯虚数B若a(b1)i32i，则a3，b2C若b0，则abi为实数Di的平方等于1解析：选C.对于A，当a0时，abi也可能为实数；对于B，若a(b1)i32i，则a3，b1；对于D，i的平方为1.故选C.复数的分类当实数m为何值时，复数z(m22m)i：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】(1)当即m2时，复数z是实数(2)当m22m0且m0，即m0且m2时，复数z是虚数(3)当即m3时，复数z是纯虚数解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为abi(
6、a，bR)的形式，以确定实部和虚部(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可(3)下结论：设所给复数为zabi(a，bR)，z为实数b0；z为虚数b0；z为纯虚数a0且b0. 1若复数a2a2(|a1|1)i(aR)不是纯虚数，则()Aa1 Ba1且a2Ca1 Da2解析：选C.复数a2a2(|a1|1)i(aR)不是纯虚数，则有a2a20或|a1|10，解得a1.故选C.2当实数m为何值时，复数lg(m22m7)(m25m6)i是：(1)纯虚数；(2)实数解：(1)复数lg(m22m7)(m25m6
7、)i是纯虚数，则，解得m4.(2)复数lg(m22m7)(m25m6)i是实数，则解得m2或m3.复数相等(1)(2019浙江杭州期末考试)若z134i，z2(n23m1)(n2m6)i(m，nR)，且z1z2，则mn()A4或0 B4或0C2或0 D2或0(2)若log2(x23x2)ilog2(x22x1)1，则实数x的值是_【解析】(1)由z1z2，得n23m13且n2m64，解得m2，n2，所以mn4或0，故选A.(2)因为log2(x23x2)ilog2(x22x1)1，所以即解得x2.【答案】(1)A(2)2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参
8、数解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解注意在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不能成立 已知A1，2，a23a1(a25a6)i，B1，3，AB3，求实数a的值解：由题意知，a23a1(a25a6)i3(aR)，所以即所以a1.1若复数zai2bi(a，bR)是纯虚数，则一定有()Ab0 Ba0且b0Ca0或b0 Dab0解析：选B.zai2biabi，由纯虚数的定义可得a0且b0.2若复数zm21(m2m2)i为实数，则实数m的
9、值为()A1 B2C1 D1或2解析：选D.因为复数zm21(m2m2)i为实数，所以m2m20，解得m1或m2.3若复数z(m1)(m29)i0，则实数m的值等于_解析：因为z0，所以解得m3.答案：34已知(x22x3)i(xR)，则x_解析：因为xR，所以R，由复数相等的条件得解得x3.答案：3A基础达标1以3i的虚部为实部，以3ii2的实部为虚部的复数是()A1i B1iC33i D33i解析：选A.3i的虚部为1，3ii213i的实部为1，故所求复数为1i.2在复平面内，复数z(a22a)(a2a2)i是纯虚数，则()Aa0或a2 Ba0Ca1且a2 Da1或a2解析：选B.因为复数
10、z(a22a)(a2a2)i是纯虚数，所以a22a0且a2a20，所以a0.3若xii2y2i，x，yR，则复数xyi()A2i B2iC12i D12i解析：选B.由i21，得xii21xi，则由题意得1xiy2i，根据复数相等的充要条件得x2，y1，故xyi2i.4复数za2b2(a|a|)i(a，bR)为实数的充要条件是()A|a|b| Ba0且ab Da0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a|a|0，即|a|a，得a0，故选D.5下列命题：若zabi，则仅当a0且b0时，z为纯虚数；若zz0，则z1z20；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系其中正确命题的个数是(
11、)A0 B1C2 D3解析：选A.在中未对zabi中a，b的取值加以限制，故错误；在中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z11，z2i，则zz110，但z1z20，故错误；在中忽视0i0，故也是错误的故选A.6如果x1yi与i3x为相等复数，x，y为实数，则x_，y_解析：由复数相等可知所以答案：17复数z1(2m7)(m22)i，z2(m28)(4m3)i，mR，若z1z2，则m_.解析：因为mR，z1z2，所以(2m7)(m22)i(m28)(4m3)i.由复数相等的充要条件得解得m5.答案：58设zlog2(1m)ilog(3m)(mR)是虚数，则m的取值范围是_解析：因为z为虚数，所以
12、log(3m)0，故解得1m3且m2.答案：(1，2)(2，3)9已知复数z(m25m6)(m22m15)i(mR)(1)若复数z是实数，求实数m的值；(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围；(3)若复数z是纯虚数，求实数m的值；(4)若复数z是0，求实数m的值解：(1)当m22m150时，复数z为实数，所以m5或3.(2)当m22m150时，复数z为虚数所以m5且m3.所以实数m的取值范围为m|m5且m3(3)当时，复数z是纯虚数，所以m2.(4)当时，复数z是0，所以m3.10已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值解：设(x0，y0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得
13、由得代入得所以实数a，b的值分别为1，2.B能力提升11“复数4a2(1aa2)i(aR)是纯虚数”是“a2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.因为1aa20，所以若复数4a2(1aa2)i(aR)是纯虚数，则4a20，即a2；当a2时，4a2(1aa2)i7i为纯虚数，故选B.12满足方程x22x3(9y26y1)i0的实数对(x，y)表示的点的个数为_解析：由题意知解得或所以实数对(x，y)表示的点有，共有2个答案：213已知复数zm23m1(m25m6)i0(mR)，则m的值为_解析：因为z0，不符合题意，舍去；当m2时，z10，符合题意故
14、m的值为2.答案：214已知集合M(a3)(b21)i，8，集合N3i，(a21)(b2)i，且MN M，MN，求整数a，b的值解：若MN3i，则(a3)(b21)i3i，即a30且b213，得a3，b2.当a3，b2时，M3i，8，N3i，8，MNM，不合题意，舍去；当a3，b2时，M3i，8，N3i，84i符合题意所以a3，b2.若MN8，则8(a21)(b2)i，即a218且b20，得a3，b2.当a3，b2时，不合题意，舍去；当a3，b2时，M63i，8，N3i，8，符合题意所以a3，b2.若MN(a3)(b21)i(a21)(b2)i，则即此方程组无整数解综上可得a3，b2或a3，b2.C拓展探究15已知复数z1a22aai，z22xy(xy)i，其中a，x，yR，且z1z2，求3xy的取值范围解：由复数相等的充要条件，得，消去a，得x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.法一：令t3xy，则y3xt.分析知圆心(1，1)到直线3xyt0的距离d，解得22t22，即3xy的取值范围是22，22法二：令得(R)所以3xysin 3cos 22sin()2(其中tan 3)，于是3xy的取值范围是22，22
