1、五年级上 数学应用题及解析类型五 盈亏问题 人教新课标版优选类型五 盈亏问题【知识讲解】一、盈亏问题：把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。二、盈亏问题类型：（一）盈盈 或 亏亏（1）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）（两次每人分配数的差）=人数例如：士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多280发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？士兵：（680-280）（50-45）=80（人）子弹：5080+280=4280（发）答：有士兵80人，有
2、子弹4280发。（2）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）（两次每人分配数的差）=人数例如：将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生和多少本本子？学生：（90-8）（10-8）=41（人）本：1041-90=320（本）答：有41学生和320本本子。（二）盈+亏（3）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）（两次每人分配数的差）=人数例如：小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？小朋友：（7+9）（10-8）=8（人）桃子：108-9=71（个）答：有8个小朋友和71个桃子。（三）一次盈 或 亏（
3、4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏（两次每人分配数的差）=人数例如：老师将一些练习本发给班上的学生。如果每人发10本，则有两个学生没分到；如果每人发8本，则正好发完。有多少个学生？多少本练习本？学生：102（10-8）=10（个）练习本：810=80（本）（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈（两次每人分配数的差）=人数例如：某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会有余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？班级：24（20-18）=12（个）树苗：2012=240（棵）答：这个学校有12个班，这批树苗共有24
4、0棵。【例题讲解】【例题1】小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小明和小妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨。如果小明1人分6个梨，其余每人分4个梨，又差12个梨。小明家有多少人？这筐梨子有多少个？【解析】第一种分法是小明、小妹各4个梨，其余每人2个梨，多余4个梨假设小明、小妹也分2个梨，那么会多多少个梨呢？很容易想，多出：22+4=8（各）。第二种分法是小明一人得6个梨，其余每人4个梨，差12个梨假设小明也只分4个，那么就只差：12-2=10（个）。【答案】解：小明家的人数为：22+4+（12-2）=18（个）182=9（人）梨子的个数为：42+2（9-2）+4=26（个）或：6
5、+4（9-1）-12=26（个）答：小明家有9个人，这筐梨有26个。小结：解决此类问题的关键是把小明和小妹先看和其他家人分一样多的，从而从中找出人与梨的个数的关系。【例题2】小华家买来许多苹果和橘子，橘子的个数是苹果的3倍，如果每人分2个苹果，还多1个苹果；如果每人分8个橘子，还差5个橘子问小华家有几人？买来苹果和橘子各多少个？【解析】苹果每人分2个多1个，橘子是苹果的3倍，也就是说：如果橘子每人分6个多3个；再由“如果每人分8个橘子，还差5个橘子”，可知橘子前后共相差：5+3=8（个）；前后每人分得的橘子相差：8-6=2（个），也就是每人多分2个橘子，就会多出8个橘子，那么人数为：82=4（
6、人）；则有苹果：42+1=9（个）；橘子：84-5=27（个）。【答案】解：人数为：（5+13）2=82=4（人）苹果数量：42+1=9（个）橘子数量：84-5=27（个）答：小华家有4人，买来苹果9个，橘子27个。小结：解决此类问题的关键是根据“苹果每人分2个多1个，橘子是苹果的3倍”，推出“橘子每人分6个多3个”，然后再根据数量关系解答。 【巩固练习】一、盈盈 或 亏亏1.晶晶读一本故事书，原计划若干天读完。如果每天读11页，可以比原计划提前2天读完；如果每天读13页，可以比原计划提前4天读完。求原计划多少天读完？这本书共有多少页？2. 某年级同学春游时租船游湖，若每只船乘10人，还多2个
7、座位；若每只船多坐2人，可少租一条船，这时每人可节省5角钱。租一只船需要多少钱？3. 同学们去买作文书，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元那么有多少个同学去买书？这本书多少钱？4. 老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？5. 有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？6. 幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？7.老师把一堆苹果分给小朋友，每人分的同样多。
8、如果分给9个人，那么还剩下21个苹果；如果分给12个人，就只剩下12个苹果。请问：这堆苹果一共有多少个？二、盈+亏8.一个植树小组去栽树，如果每人栽3棵，还剩下15棵树苗；如果每人栽5棵，就缺少9棵树苗。求这个小组有多少人？一共有多少棵树苗？9. 悦悦每天早晨7点30分从家出发上学去，如果每分钟走45米，则迟到4分钟到校；如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校。求从家出发需要走多少分钟才能准时到校？悦悦的家离学校有多少米？10.幼儿园把一箱苹果分给一批小朋友，如果每人3个，则多12个，如果每人4个，则少34个。问幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个苹果？11. 实验小学学生乘车春游，如果每车坐
9、60人，则有15人上不了车；如果每车坐65人，恰好多出一辆车。问一共有几辆车？有多少个学生？12. 学生分练习本，如果每人分4本，则多4本；如果有1人分10本，其余每人分6本，则缺18本。学生有多少人？练习本有多少本？13. 小强从家到学校，如果每分走50米，上课就要迟到3分；如果每分走60米，就可以比上课时间提前2分到校。小强家到学校的路程是多少千米？14. 张华离家到县城去上学，他以每分50米的速度走了2分后，发现按这个速度走下去就要迟到8分。于是他加快了速度，每分多走10米，结果到校时，离上课还有5分。张华家到学校的路程是多少？15. 一组学生植树，每人栽6棵还剩4棵；如果其中3人各栽5
10、棵，其余每人各栽7棵，正好栽完。这一组学生有多少人？一共栽多少棵？16. 小红的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小红和小妹两人每人分4个，其余每人分两个，还多出4个；如果小红一人分6个，其余每人分4个，又差12个。小红家有多少人？这筐梨有多少个？17. 有一批正方形的砖，排成一个大正方形，余下32块；如果将它们改排成每边比原来多一块砖的正方形，就要差49块。这批砖原有多少块？18. 小李到市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元。已知牛肉比猪肉每千克贵8角。牛肉、猪肉各多少钱一千克？19. 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5
11、块，则少2块砖这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？20. 学校有一批树苗，交给若干少先队员去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不够分了；如果再拿来8棵树苗，那么每个少先队员正好栽10棵。参加栽树的少先队员有多少人？原有树苗多少棵？21. 学校买来一批篮球与排球分给各班，篮球是排球的3倍，排球每班分2个，多1个；若蓝球每班分8个，少5个。学校有几个班？篮球与排球各买了几个？三、盈/亏22. 一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到；如果每只猴子分8个桃子，则刚好分完。求有多少只猴子？多少个桃子？23. 猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条
12、鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？24. 学校给三年级的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？25. 学校买来一批足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，学校一共有多少个班？买来多少个足球？26. 一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？四、复杂盈亏27. 实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？28.佳佳的奶奶
13、买回一筐梨，分给全家人，如果佳佳和妹妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨；如果佳佳1人分6个梨，其余每人分4个梨，还差12个梨佳佳家有多少人？这筐梨有多少个？29.张老师给学生分苹果和橘子，苹果是橘子的2倍，橘子每人分3个，则多4个；苹果每人分7个，则少5个。问有多少学生？苹果和橘子各有多少个？30.有一个筐中装有苹果和桔子，苹果的个数是桔子的3倍。现在将它们分给小朋友，每人分5个苹果和2个桔子，最后正好把桔子分完，而苹果还有11个。求筐中原有苹果和桔子各多少个？31.某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？32.
14、少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？33.在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。问：桥有多高？绳子有多长？34.有若干个苹果和若干个梨。如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨。问：苹果和梨各有多少个？35. 王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。工作4天后，由于改进了技术，每天可多加工5个，结果提前3天完成。问：这批零件有多少个？36. 甲、乙两人各买了相
15、同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？参考答案与解析1. 【解析】已知如果每天读11页，可以比原计划提前2天读完，这就是说，如果继续读2天的话，还可以多读（112=）22页；又知如果每天读13页，可以比原计划提前4天读完，这就是说，如果继续读4天的话，还可以多读（134=）52页。两种情况，虽然都可以多读，但是它们之间有差别。就是说，在一定的日期之内，第二种方法比第一种方法多读（52-22=）30页。为什么能多读30页呢？就是因为每天多读13-11
16、=2页。由于每天多读2页，结果一共可以多读30页。这是多少天读的呢，问题不就解决了吗！【答案】解：（1）原计划多少天读完这本书？（134-112）（13-11）=（52-22）2=302=15（天）答：原计划15天读完这本书。（2）这本书共有多少页？11（15-2）=1113=143（页）答：这本书共有143页。2. 【解析】因去的学生一定，根据题意知：船数102=（船数1）（10+2），据此等量关系可列方程解答，求出船的只数，进而求出总人数，继而求出租一只船需的钱数。【答案】解：设租了x条船，根据题意得10x2=（10+2）（x1）10x2=12x1210x2+2=12x12+210x=12
17、x10x=55102=502=48（人）480.5=24（元）答：租一只船需24元钱。3. 【解析】买书的总差额是：84=4（元），两次的每份的差额是：87=1（元），根据“总差额每份的差额=总人数”，列式为：41=4（人）；那么书的价钱是：848=24（元），据此解答。【答案】解：人数：（84）（87）=41=4（人）书：848=24（元）答：同学有4人，书的单价是24元。4.【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是9-2=7（个），两次分配之差是11-10=1（个），由盈亏问题公式得，有小猴子： 71=7（只），老猴子有710+9=79（个）桃子。【答案】解：
18、小猴子：（9-2）（11-10）=71=7（只）桃子：710+9=79（个）答：一共有7只小猴子，老猴子一共有79个桃子。5.【解析】由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案分配结果相差： 70-10=60（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差： 7-5=2（本），相差60本的学生有： 602=30（人）。练习本有： 305+70=220（本）（或307+10=220）。【答案】解：学生有：（70-10）（7-5）=30（人）练习本有： 305+70=220（本）（或307+10=220）答：这个班有30学生，220练习本。6.【解析】由题意
19、知：两次的分配结果相差： 24-12=12（块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：9-6=3（块），多少人相差12块呢？123=4（人），糖果数是： 64-12=12（块）（或94-24=12）。【答案】解：小朋友：（24-12）（9-6）=4（人）糖果数： 64-12=12（块）（或94-24=12）答：总共有12块糖。7. 【解析】题意，每人分的同样多，如果分给9个人，那么还剩下21个苹果；如果分给12个人，就只剩下12个苹果，即多分给（12-9）人就多分了（21-12）个，由此可求得每人分多少个，进而求得这堆苹果一共有多少个。【答案】（21-12）（12-9）9+21=939+21
20、=27+21=48（个）答：这堆苹果一共有48个。8. 【解析】已知如果每人栽3棵，还剩下15棵树苗，也就是说还有15棵树苗没有栽上，树苗余下了；又知如果每人栽5棵，就缺少9棵树苗，这就是说，树苗不够了。按照第一种方案去栽，树苗余下了，若按照第二种方案去栽，树苗不足了。一个是余下一个是不足，这两个方案之间相差多少棵呢？相差（159=）24棵，也就是说，如果按照第二种方案去栽的话，可以比第一种方案多栽24棵树。为什么能多栽24棵树呢？因为每个人多栽（5-3=）2棵。由于每一个人多栽2棵树，一共多栽24棵树，即“2棵树”对应于“1个人”。这样，小组的人数可以求得。随之，树苗的棵数也可以求得。【答案
21、】（1）小组的人数：（159）（5-3）=242=12（人）（2）树苗的棵数：312+15=51（棵）答：这个小组有12人，一共有51棵树苗。9.【解析】已知如果悦悦每分钟走45米，则迟到4分钟，这就是说，按照规定到校的时刻来说，还距离学校有（454=）180米的路；又知如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校，这就是说，到校之后还可以多走出（754=）300米的路。这样，一个慢一个快，在同样时间之内，速度快要比速度慢多走出（180+300=）480米的路。又知每分钟多走（75-45=）30米。总之，由于每分钟多走30米，一共多走出480米；因此，从家到学校所需要的时间就可以求出来了，随之，悦
22、悦的家距离学校的米数也可以求出来了。【答案】解：（1）准时到校需要多少分钟？（454+754）（75-45）=48030=16（分钟）（2）悦悦家与学校距离多少米？4516+454=720+180=900（米）答：准时到校需要16分钟，悦悦家离学校900米。【答案】10. 【解析】两次分配的数量差为：12+34=46（个），第二次比第一次每人多分43=1（个）；所以用两次分配的数量差除以除以每个小朋友得到的苹果的数量差，就可以求出总人数，列式为：461=46（人），进而求出苹果的总数量。【答案】解：（12+34）（43）=461=46（人）答：幼儿园有46个小朋友。463+12=138+12=
23、150（个）答：这筐苹果共有150个。11. 【解析】每车多坐5人，也就是每车坐60+5=65人，恰好多余了一辆车，也就是还差一辆车的人，即65人。因此，问题转化为：如果每车坐60人，则有15人不能乘车。如果每车多坐5人，则还差65人。求有多少人和多少辆汽车。【答案】解：（15+60+5）5=805=16（辆）6016+15=960+15=975（人）答：一共有16辆汽车，975位学生。12. 【解析】把“其中两人每人分6本，其余每人分4本，则多4本；”看作：每人分4本，则多4+（64）2=8本；同理，把“有一人分10本，其余的人分6本，则少18本。”看作：每人分6本，则少18（106）=14
24、本；由每人分4本到每人分6本，每个人增加了（64）2本，则总本数少了：8+14=22本，据此可求出总人数，列式为：222=11人；进而求总本数列式为：10+6（111）18，然后解答即可。【答案】解：如果每人都分4本，则多：4+（64）2=4+4=8（本）如果每人分6本，则少：18（106）=184=14（本）总人数为：（14+8）（42）=222=11（人）总本数为：10+6（111）18=10+6018，=52（本）；答：学生有11人；练习本有52本。13. 【解析】根据“每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校”可知：路程相差503+602=
25、270米，速度相差6050=10米；则小军从家到学校的准时时间为27010=27分钟；继而根据“如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟”进行解答即可。【答案】解：按时时间：（503+602）（6050）=27010=27（分钟）50（27+3）=5030=1500（米）答：小强家到学校的路程是1500米。14. 【解析】每分钟50米，要迟到8分钟，也就是少走508=400（米）；每分钟走50+10=60（米），早到5分钟，也就是能多走605=300（米）那么预定时间为：（400+300）10=70（分钟），这个预定时间为剩余路程所需的时间。剩余路程为：50（70+8）=3900（米），因此，从
26、家到学校的路程为：3900+502=4000（米）。【解答】解：预定时间为：（508+605）10=（400+300）10=70010=70（分钟）从家到学校的路程为：50（70+8）+502=5078+100=3900+100=4000（千米）答：张冬家到学校的路程是4000千米。15. 【解析】根据“如果其中3人各栽5棵，”可知这其中3人每人栽7棵树会少（75）3=6（棵），即每人栽7棵还差6棵，两次的总差额为：4+6=10（棵），每次的差额为：76=1（棵），所以可以求出总人数：101=10（人），这一组的栽树的棵数为：106+4=64（棵），据此解答。【答案】解：3（75）=6（棵）（
27、4+6）（76）=101=10（人）106+4=64（棵）答：这一组学生有10人，一共栽64棵。16. 【解析】第一种分法是小明、小妹各4个梨，其余每人2个梨，多余4个梨。假设小明、小妹也分2个梨，那么会多多少个梨呢？很容易想，多出：22+4=8（各）。第二种分法是小明一人得6个梨，其余每人4个梨，差12个梨。假设小明也只分4个，那么就只差：122=10（个）。【答案】解：小明家的人数为：22+4+（122）=18（个）182=9（人）梨子的个数为：42+2（92）+4=26（个）或：6+4（91）12=26（个）答：小明家有9个人，这筐梨有26个。17. 【解析】改拼成一个每边比原来多一块的
28、正方形，缺49块，所以32+49=81（块）正好拼满在首次拼成的大正方形的相邻两边周围，再减去相邻两边1个角上的地砖，等于首次拼成的大正方形边长的2倍，所以首次拼成的大正方形每边地砖数：（32+491）2=40（块）。这批砖共有4040+32，计算解决问题。【答案】解：原大正方形每边地砖有：（32+491）2=802=40（块）这批砖原来有：4040+32=1600+32=1632（块）答：这批砖原来有1632块。18. 【解析】如果把“买牛肉18千克”转化成“买猪肉18千克”，由于“每千克牛肉比猪肉贵8元”，那么猪肉每千克就要节省0.8元，18千克牛肉变成18千克猪肉就要节省180.8=14
29、.4（元）。这样，由原来“买牛肉18千克还差4元”变为买猪肉18千克剩余：14.44=10.4（元）；20千克猪肉还剩2元，则2千克猪肉的价格为10.42=8.4（元），每千克猪肉的价格为8.42=4.2（元）。则牛肉每千克：4.2+0.8=5（元）。【答案】解：8角=0.8元买18千克猪肉还剩：180.84=14.4（元）每千克猪肉的价格为：（14.44）（2018）=4.2（元）牛肉每千克：4.2+0.8=5（元）答：每千克猪肉的价格为4.2元，每千克牛肉的价格为5元。19. 【解析】 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块。这两次搬砖，每人相差5-
30、4=1（块）。第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数： 7+2=9（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员91=9（人）。共有砖： 49+7=43（块）。【答案】解：少先队员：（7+2）（5-4）=9（人）共有砖： 49+7=43（块）答：这个班少先队有9个人；要搬的砖共有43块。20. 【解析】最后剩下12棵，不够分了，可知，少先队员数应大于12，再拿来8棵正好平均分完（每人10棵）由于812，所以可知少先队员数应为：12+8=20（人）；又再拿来8棵，那么每个少先队员正好栽10棵，由此可得树苗应为10208=192（棵）。【答案】解：人数为：12+8=20（人）树苗的棵数为：10208=192（棵）答：参加栽树的少先队员有20人，原来有树苗共192棵。21. 【解析】排球每班分2个，还多1个；篮球每班分8个，还少5个；由于篮球是排球个数的3倍，将排球个数扩大三倍，则排球每班分23个，还多13个，由此根据盈亏问题可知
