1、重庆市重庆市渝中区巴蜀中学学年高考适应性月考卷三数学文试题重庆市重庆市渝中区巴蜀中学2020-2021学年高考适应性月考卷（三）数学（文）试题学校: 姓名： 班级： 考号： 一、单选题1.设集合S = 1,3,5,7,9，集合 A = 3,5,9, 3 = 1,3,7,9,则(CsA)rB=()A. 1,7 B. 3,9C. 1,5,7 D. 1,7,92.已知MBC的内角A，B, C的对边分别为a, b, c,且（a+b）2-c2=ab,则 角仑=（）A. 30 B. 60C. 120 D. 1503.已知等差数列%的前5项和为10,（抵=4,则（）A. 2 B. 3C. 4 D. 54.已
2、知函数_/（兀）是偶函数，其图象与x轴有9个交点，则方程f（x） = 0的所有实根 之和为（）A. 0 B. 3C. 6 D 95数拯，花，勺，尢，兀5，几的方差是5,则数据2召一2, 2兀一2, 2兀3-2, 2兀一2, 2x5-2, 2x6-2的方差是（）A. 20 B. 18C10 D86.设方与乙是相互垂直的两个向虽:，间=2, ”卜1且满足（加+5）丄（5）,则2 =（）A. - B. 42C. 2 D.-47.已知函数/(x) = log20I9(2x + a/1 + 4x2) + x3,则不等式/(2x+I) + /(1-3a)0的解集为()1 )z 1A.-SlB.,4-oo2
3、丿4）, M是BC的中点，点P是侧面内的动点（包括四条边上的点），且满足tanZAPD = 3kmZMPB,则三棱锥P-ABC的体积的最大值是 三、解答题17.已知，如图甲，正方形ABCD的边长为4, E, F分别为AD, 3C的中点，以EF 为棱将正方形ABCD折成如图乙所示，且ZDEA = ZCFB = 60。，点M在线段AB上 且不与点A , 3重合，直线MF与由A, D, E三点所确泄的平而相交，交点为0（1） 若4= 试确定点。的位宜，并证明直线OD/平而EMC；AB 2（2） 若求点O到平面CDEF的距离.AB 818.在公差不为0的等差数列匕中，4=1,且 g 5成等比数列数列他
4、满（1） 求数列d,J的通项公式：（2） 求数列$的前加项和石”.19.2021年12月19 0,2021年中国数学奥林匹克竞赛（第30届全国中学生数学冬令营） 在重庆市巴蜀中学举行参加本届中国数学奥林匹克竞赛共有来自各省、市（自治区、 直辖市）、香港地区、澳门地区，以及俄罗斯、新加坡等国的30余支代表队，共317久 选手竞赛为期2天，每天3道题，限时4个半小时完成部分优胜者将参加为国际数学 奥林匹克竞赛而组建的中国国家集训队.中国数学奥林匹克竞赛（全国中学生数学冬令 营）是在全国髙中数学联赛基础上进行的一次较高层次的数学竞赛，该项活动也是中国 中学生级别最髙、规模最大、最有影响的全国性数学竞
5、赛.2021年第29届全国中学生生 物学竞赛也将在重庆巴蜀中学举行巴蜀中学校本选修课“数学建模”兴趣小组调查了 2021年参加全国生物竞赛的200爼学生（其中男生、女生各100人）的成绩，得到这200 需学生成绩的中位数为78.这200需学生成绩均在50与110之间，且成绩在90,100）内 的人数为30,这200名学生成绩的髙于平均数的男生有62塔，女生有38名.并根拯调 查结果画出如图所示的频率分布直方图.（2）填写下表,能否有99.9%的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系?男生女生总计成绩不高于平均数成绩髙于平均数总计参考公式及数据：宀（“ +呗爲）（：）（ ）,其中P（Kk0）
6、0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82820.已知函数/（x） = x2-21nx.（1） 求函数在点A（l,y。）处的切线方程:（2） 求函数_/（x）在上的值域：（3） 若存在xrx2,-,x ，使得/（xi） + /（）+ + /（兀Li）sf （兀）成立,求“的最大值.（其中自然常数0 = 2.71828）2 221.已知椭圆厂的方程为二+二=1（0），椭圆r的离心率正好是双曲线cr-x2 = i的离心率的倒数，椭圆r的短轴长等于抛物线/ =4x 一点p（3,b）到抛物线焦点F的距离.（1） 求椭圆17的标准方程；（2） 若直线/与椭圆r的两个交点
7、为C, D两点,已知圆0： x2 + /= 4与X轴的交点分别为A , B （点A在x轴的正半轴），且直线/与圆0相切.求MCD的面积与A5CD的而枳乘积的最大值.3x = 2 + -t5t 4 v = l + -r 5（1） 求曲线G的极坐标方程：23.已知函数/(x) = |x+a| + |x-l|.(1)当a = 2时,求不等式/(x)x+8的解集；(2)若关于x的不等式/(x)|x-5|的解集包含0,2,求实数。的取值范围.参考答案1.A【解析】【分析】根据集合的补集运算，得到CSA,再由交集运算，得到(C5A)AB,得到答案.【详解】因为集合5 =1,3,5,7,9,集合A = 3,
8、5,9,所以 C/ = 1,7,而集合 B = 1,3,7,9,所以(CsA)DB = l,7,故选：A.【点睛】本题考査集合的补集运算和交集运算，属于简单题.2.C【分析】对条件中(a + b)2-c2=ab进行化简整理，然后代入到余弦定理cosC的表达式中，得到答 案.【详解】因为(a + b)2 -c2 =ab ,所以/ +Z?2 -c2 =-ab ,所以 cosC=/+，_c=M = _1,2ab 2ab 2因为Cw(0),所以C = 120，故选c.【点睛】本题考査余弦宦理求角的大小，属于简单题.【分析】根据等差数列前”项和的公式，得到厲+。5，根据等差中项，得到的值，结合条件，再
9、利用一次等差中项，得到9的值，得到答案.【详解】因为。”为等差数列，所以s 丄)=0,即勺+冬=4,2所以根据等差中项可得，山=匚匕=2,2因为5=4,所以根据等差中项可得，他= = 3,故选：B.【点睛】本题考査等差数列前项和，等差中项，属于简单题.4. A【分析】根据偶函数的图像的特点，得到零点关于y轴对称，从而得到答案.【详解】因为/(兀)偶函数，所以其图像与x的交点关于)轴对称，故如果门0) H 0 ,则/(x)图像与X的交点个数应是偶数个，而已知条件中，f(x)图象与x轴有9个交点，所以可得/(0)= 0,其它8个交点两两关于轴对称，故方程f (x) = 0的所有实根之和为0.故选A
10、.【点睛】本题考査偶函数图像的性质和特点.属于简单题.【分析】根据已知方差和对应数据的变化情况，得到答案.【详解】因为数据X，尤2，尤3，勺，尤5，应的方差是5，所以数据 2召2, 2x2 2 , 2x3 - 2 , 2x4 - 2, 2x5 - 2 , 2x6 -2 的方差是 22x5 = 20,故选A.【点睛】本题考査数据同时变化后对方差的影响，属于简单题.6. D【分析】由题意得到茴=0,再根据（跖+可丄（方一可，得到（加+用O = o,展开代入已 知条件，得到几的方程，求出答案.【详解】因为2与乙是相互垂直的两个向量，所以方易=0,因为（加+可丄（-可，所以（加+ 5）.（d-b） =
11、 0,即几/+（1-几）“乙一5 =0 因为 a = 2 , b = .所以4兄一1 = 0，解得2 =4故选：D.【点睛】本题考査垂直向量的表示，向量数量积的运算律，属于简单题.【分析】判断出f(x)为奇函数，且在上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为 /(2x+l)/(3x-l),利用单调性解得答案.【详解】函数 /(X)= log2019 (2x + J1 + 4+ ) + A3 ,泄义域(-屯炖)，f (X)=】Og2()19 ( 2x + Jl + 4.) 一 X、= Tog20i9=-f (x)，且/(0) = 0所以才(兀)为奇函数，因为=log2019 t，1 = 2x+J
12、1+4F和)=十都是增函数所以 / (x) = log20Iy+ Vl + 4x2) + X3 是增函数，所以由 /(2x+1) + /(1-3a)0,得到 f (2a*+1) f (13x) = /(3x1),所以 2x+l 2故选C.【点睛】本题考査判断函数的奇偶性，单调性，根据函数性质解不等式，属于中档题.8.C【分析】读懂条件中给出的左义，得到兀,y对应的取值情况，然后根据所求的集合A = (x,y)l.vOy = 10,列岀满足要求的(x,y),得到其子集个数.【详解】根据条件中的左义可知，当x,yeN且兀,y同为奇数或者同为偶数时，有=当x,ywN,且x为偶数，为奇数时，有=故集合
13、 A = (x, y) 1= 10中Ay = 10,当兀y同为奇数或若同为偶数时，x+y = 0,(兀刃可取(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (&2), (9,1),当x为偶数，)为奇数时，-X)=10(兀刃可取(2,5), (10,1),所以(x,y)可取的情况共有11种，即集合A中有11个元素，所以集合A得子集个数为2故选C.【点睛】本题考査对给岀的新左义的理解，读懂题目是关键,考查了根据集合元素个数求子集的个数, 属于中档题.9.B【分析】对函数/(X)求导，得到广(x),然后根据题意得到fx)0恒成立，得到【详解】因为函数
14、 / ( X)= 2 In x+4a-2 + Z?.v+5 ,泄义域(0, +s)z、 2所以 fr(x) = - + 8x + b ,X因为/(x)图象上的任意一点的切线斜率都大于0,2所以fx) = - + Sx + b 0对任意的xe(0,+co)恒成立，X所以b 8x,x?设g(x) = -8x,则唤X令g(x) = O,得到x = -,舍去负根,2所以当时,g(x)0g(x)单调递增,当XeT+一8,故选B.【点睹】本题考査利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极 值、最值，属于中档题.10.B【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，利用得到各点坐标，得
15、到丽和BC；的坐标，利用向量 的夹角公式，得到异而直线所成角的余弦值.【详解】以D为原点，可为X轴，反为轴，DD；为Z轴，建立空间直角坐标系，如图所示所以 A(25,o,o), A(2的,0,2问,B(2jJ,3,0), q(0,3,2冋,E为棱AA的中点，所以E(2*Q间,F是棱上的点，AF:FB = 1:2,所以F(2*12冋,所以丽=(0丄冋,西=(-2点0,2列设异而直线EF与BC、所成角为0【点睛】本题考査利用空间向量求异而直线所成的角的余弦值，属于简单题.11.D【分析】对/(X)进行整理，然后根据对称轴为x = 得到f- = 2,从而得到0,然后取不 同的R值，得到不同的0的值，
16、与选项进行比较，得到答案.【详解】c c 兀 cos 2x-& + =2 sin 2x_e根据题意，是/（兀）的一条对称轴,0所以 0 = 2kn: + ng = 2kfr-,6 2 6 2即*送或“s+彳，展Z,故选D.【点睛】本题考査辅助角公式，根拯正弦型函数的对称性求值，属于中档题.12.A【分析】 先写岀5，色,他以及心卫3，山之间的大小关系，进行猜想，然后根据数学归纳法证明猜想, 得到答案.【详解】2 （2 Yn因为色利=t ，j j2听以“，= = a.-匕丿3 1所以 1。2 i2所以得到二3即 axa3 a2即 a3a4 a2,所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数加时，有吆-v
17、呵v吆2以下为证明：当并=1时,a3 a4a2成立，设当 n = k 时，21 v a2k a2k2 成立,U = k + 1 时，因为 2-1 VV。2-2 即叫 2*+1 一 匕丿(3丿(3丿所以即如+】 %2 a2k所以当n = k +1时，猜想也成立.故当连续三项的下标最大项为偶数2时，有“2心V% = 3tanZjWPB,得到PA = jPB9从而得到P到平而ABC的距离PN,然后求出PN的最大值，从而得到三棱锥P-ABC的体积的最大值.【详解】脱PN丄AB于N , 在长方体ABCD-AQD,中，DA丄平而ABB , CB丄平而所以在RZDA和RZBC中,型，tan如吩型AP PB因
18、为tan加ianZA/胶 BM=LBC = LAD,所以吩|刖,因为CB丄平而ABB, PNu平而AABB,所UCB丄PN,又ZW丄AB于N, ABcBC = B 所以可得PN丄平而ABC,设 PN = h、AN = x,则 BN = 4-x, xw0,4, 由 pa = -PB.得PA? = PB?39即胪+宀扌/+(4_洞，整理得h2 =-x2-x+t xg0,4开口向下，对称轴x = ,5所以在A G 0,4单调减， 64所以x = 0时，/取最大值，为心=一所以三棱锥P-ABC的体积的最大值为1x1x4x4x = .3 2 5 15故答案为洋【点睹】本题考查了空间几何体中的最值问题，关
19、键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即 可，属于难题.17.(1)延长交E4的延长线于点0,证明见解析(2) 8丁亍【分析】(1)延长加交E4的延长线于点0,可得M为OF的中点，A为OE的中点，连接DF交CE于点N ,则N为FQ的中点，从而得到DO/MV,然后可得DO/平而EMC. (2)a jf r根据AM | EF得到比例线段，然后根据二-=一，得到04的长度，从而得到OE的长,AB 8利用等体积转化V()-DEF = VF-ODE 分别表示出体积，从而得到点。到平而CDEF的距离.【详解】解：(1)如图，延长加交E4的延长线于点0,TM为AB的中点，AE/BF,为”的中点，又 AB
20、HEF , A为OE的中点，连接DF交CE于点、N ,则N为FQ的中点，所以 DO/MN.又 Dg平而 EMC, M/Vu平WEMC,. DO/平而 EMC.根据平而图形可知，EF丄DE,EF丄EO而DE,EOu平而EDO,且DEEO = E , 所以EF丄平而EDO.因为 AM | EF , AM OA所以=，EF OEAM AM 7而 = =-EF AB 8所以OE = 6=VODE，所以-Sa. = Sa* EF ,所以 1X-DEEFd = LxLoEDEsin60EF ,3 2 3 2所以d = 8 ,点0到平而CDEF的距离为8 JL【点睛】本题考查线而平行的判宦，利用等体积转化求
21、点到平而的距离，属于中档题.18. (1) ar=n heN* (2) 3(： 1)+4川(” + )【分析】（1）根据题意得到a；=叽,用5和d表示出来，从而可解得5和d的值，得到匕的通项:（2）根据题意写岀化的通项，利用分组求和的方法，求出其前2项的和，得到答案.【详解】解：（I）在公差不为0的等差数列中，由5,，丿成等比数列，川 f j d； = qa，又终=1,可得（再再（q+&/）,化简可得4= = 1,数列$的前2项和T“ =(3 + 33+35 + + 32n,) + (8 + 16 + 24 + + 8/?) + 4(小)【点睛】 本题考査等差数列通项中基本量的计算，分组求和的
22、方法求数列的和，属于简单题.19.（1） x = 0.025, y = 0.02（2）列联表见解析，有99.9%的把握认为学生成绩是否髙于平均数与性别有关系.【分析】（1）表示出成绩在90,100）内的频率，根据各组频率之和为1,以及中位数为78,得到关 于的方程组，解岀儿歹的值：（2）根据题意，写出成绩不高于平均数的男、女生数呈:, 填写好列联表，然后根据公式求岀K?的值，进行判断，得到答案.【详解】解：(1) 成绩在90J00)内的人数为30,由频率分布直方图得(O.Ol + y + x+x+O.OO5)xlO+O.15 = l ,化简得y + 2x = 007,由中位数可得0.01xl0
23、+10y+(78-70)x = 0.5,化简得5y + 4x = 02,由解得x = 0.025, y = 002(2) 200名学生成绩的髙于平均数的男生有62名，女生有38需,因男.女生各100名，所以可得成绩不髙于平均数的男生有38名，女生有62名,根据题意得到列联表：男生女生总计成绩不高于平均数3862100成绩髙于平均数6238100总计100100200n(ad-bey(a + /?)(c +)(a+ 10.828,200x(38x38-62x62/100x100x100x100有99.9%的把握认为学生成绩是否髙于平均数与性别有关系.【点睛】本题考査根据频率分布直方图求频数，中位数等，完善列联表，卡方的计算和判断，属于中 档题.20.(1) )-1=0 (2) /(x)el,e2-2 (3) ”的最大值为6.【分析】)(1)对/(X)求导得到f(x)，然后代入切点横坐标，得到斜率，点斜式写出切线方程,整理得答案：(2)利用导数判断出/(“)的单调性，根据单调性求出其最小值，并比较在两 个端点时的函数值，得到最大值，从而得到答案：(3)由(2)可得/(x)?-2,要使 门州)+ /(勺)+ /()今(兀)成立，且的值最大,则门召)，
